第一章數(shù)值計(jì)算方法

第一章數(shù)值計(jì)算方法第1頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)學(xué)發(fā)展中，理論和計(jì)算是緊密聯(lián)系的?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算創(chuàng)造了條件，集中而系統(tǒng)的研究適用于計(jì)算機(jī)的數(shù)值方法變得十分迫切和必要。數(shù)值計(jì)算方法正是在大量的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論分析工作的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它不僅僅是一些數(shù)值方法的簡單積累，而且揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的相同的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的原理。數(shù)值算法是進(jìn)行科學(xué)計(jì)算必不可缺少的起碼常識(shí)；更為重要的是通過對它們的討論，能夠使人們掌握設(shè)計(jì)數(shù)值算法的基本方法和一般原理，為在計(jì)算機(jī)上解決科學(xué)計(jì)算問題打下基礎(chǔ)。因此，計(jì)算方法已經(jīng)成為工科大學(xué)生必修課程。為什么要開設(shè)這個(gè)課呢？第2頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.認(rèn)識(shí)建立算法和對每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)“公式多”的特點(diǎn)；

2.注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基本提法，逐步深入；

3.理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對最基本的算法要非常熟悉；

4.認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會(huì)算。如何進(jìn)行學(xué)習(xí)？第3頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月科學(xué)素質(zhì)：拓寬對21世紀(jì)科學(xué)的了解；

加深對數(shù)學(xué)思想的理解；

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思考世界的習(xí)慣

數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力；

對專業(yè)中問題建立數(shù)學(xué)求解方法與

實(shí)際計(jì)算能力

應(yīng)用問題中數(shù)學(xué)創(chuàng)造性能力

計(jì)算知識(shí)：常用算法的數(shù)學(xué)理論；

在“誤差、存貯、速度”之下的實(shí)

際計(jì)算方法；

對結(jié)果的數(shù)值分析方法

第4頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月?記好課堂筆記?保證課堂紀(jì)律?按時(shí)完成作業(yè)?按時(shí)上課，不遲到早退幾點(diǎn)要求第5頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析講述的基本內(nèi)容如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問題如何制定快速的算法如何估計(jì)一個(gè)給定算法的精度分析誤差在計(jì)算過程中的積累和傳播如何構(gòu)造精度更高的算法如何使算法較少的占用存儲(chǔ)量如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)第6頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月本課程的基本要求掌握數(shù)值方法的基本原理掌握常用的科學(xué)與工程計(jì)算的基本方法能用所學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上算出正確結(jié)果

第7頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

本章內(nèi)容§1引言§2誤差的來源及分類§3誤差的度量§4誤差的傳播§5減少運(yùn)算誤差的原則第一章計(jì)算方法與誤差小結(jié)第8頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月要求掌握的內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差概念包括有效數(shù)字、絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限等誤差 截?cái)嗾`差、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種類等分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若干原則第9頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1引言數(shù)值分析又稱計(jì)算方法,它是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其理論的一門學(xué)科。數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算數(shù)值結(jié)果

根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過程邊是數(shù)值分析研究的對象第10頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型2.研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法和過程3.按照2進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式進(jìn)行計(jì)算數(shù)值方法解題的一般過程第11頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算機(jī)模擬（包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)實(shí)的方法），已經(jīng)是在工程技術(shù)研究和經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)中廣泛應(yīng)用的方法，帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益天氣預(yù)報(bào)與億次計(jì)算機(jī)波音777的無紙?jiān)O(shè)計(jì)與有限元CT、核磁共振計(jì)算流體力學(xué)與爆炸工程能源問題與大型計(jì)算第一章計(jì)算方法與誤差計(jì)算作為工程技術(shù)研究方法第12頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計(jì)算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。第一章計(jì)算方法與誤差第13頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一根,但找不出求根的解析式,只能用數(shù)值計(jì)算方法求其近似解。有些數(shù)學(xué)問題雖有理論上的準(zhǔn)確的公式解,但不一定實(shí)用,例如行列式解法的Cramer法則原則上可用來求解線性方程組,用這種方法解一個(gè)n元方程組,要算n+1個(gè)階行列式的值,總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,當(dāng)n=20時(shí),其乘除法運(yùn)算次數(shù)約需1021次方,即使用每秒千億次的計(jì)算機(jī)也得需要上百年,而用高斯（Guass）消去法約需2660次乘除法運(yùn)算,并且愈大,相差就愈大?？梢娧芯亢瓦x擇好的算法是非常重要的。

第14頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問題的過程。數(shù)值算法的特點(diǎn)?目的性，條件和結(jié)論、輸入和輸出數(shù)據(jù)均要有明確的規(guī)定與要求。?確定性，精確地給出每一步的操作(不一定都是運(yùn)算)定義,不容許有歧義。?可執(zhí)行性，算法中的每個(gè)操作都是可執(zhí)行的?有窮性，在有限步內(nèi)能夠結(jié)束解題過程計(jì)算機(jī)上的算法，按面向求解問題的不同，分為數(shù)值算法和非數(shù)值算法。第15頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章計(jì)算方法與誤差1.2誤差的來源及分類

早在中學(xué)我們就接觸過誤差的概念，如在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計(jì)上讀出的溫度是23.4度，就不是一個(gè)精確的值，而是含有誤差的近似值。事實(shí)上，誤差在我們的日常生活中無處不在，無處不有。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無誤的，都含有誤差。第16頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月在用數(shù)值方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來有如下幾類：1.模型誤差2.觀測誤差3.截?cái)嗾`差4.舍入誤差第一章計(jì)算方法與誤差第17頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來的有關(guān)量的描述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實(shí)際問題的真解不同實(shí)際問題的真解數(shù)學(xué)模型的真解為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與實(shí)際條件有別1.模型誤差第18頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗(yàn)得到的由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差根據(jù)實(shí)際情況可以得到誤差上下界數(shù)值方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應(yīng)2.觀測誤差第19頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差例如,函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式

3.截?cái)嗾`差（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是截?cái)嗾`差的大小直接影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差第20頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)值計(jì)算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差4.舍入誤差第21頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章計(jì)算方法與誤差例如在計(jì)算時(shí)用3.14159近似代替，產(chǎn)生的誤差R=-3.14159=0.0000026…就是舍入誤差。上述種種誤差都會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計(jì)算中將著重研究截?cái)嗾`差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析第22頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3

誤差的度量

1.3.1絕對誤差和絕對誤差限定義1.1

設(shè)精確值x的近似值

x*

，稱差

e(x*)

=x-x*近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差。e(x*)又記為e*

當(dāng)e*>0時(shí)，x*稱為弱近似值，當(dāng)e*<0時(shí)，x*稱為強(qiáng)近似值,|e*|越小，x*的精度越高由于精確值一般是未知的,因而e*

不能求出來,但可以根據(jù)測量誤差或計(jì)算情況設(shè)法估計(jì)出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個(gè)上界或稱誤差限。第23頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3

誤差的度量

定義1.2

設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個(gè)量來衡量誤差限,這就是說,如果近似數(shù)的誤差限為,則表明準(zhǔn)確值x必落在

上,常采用下面的寫法來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。第24頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3誤差的度量a-εa+εaA例1

設(shè)x

=

=3.1415926…

近似值x*

=3.14,它的絕對誤差是0.0015926…，有

??

x-x*=0.0015926…

0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對誤差是

0.0000074…，有

x-x*=0.0000074…

0.000008=0.810-5例3

而近似值x*

=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3可見，絕對誤差限

*不是唯一的，但*越小越好第25頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2相對誤差和相對誤差限只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè),乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè),他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè),但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必須顧及量的本身。定義1.3絕對誤差與精確值x的比值

稱為相對誤差。簡記為第26頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2相對誤差和相對誤差限

相對誤差越小,精度就越高,實(shí)際計(jì)算時(shí),x通常是不知道的,因此可用下列公式計(jì)算相對誤差定義1.4設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使

則稱為近似值的相對誤差限。簡記為第27頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2相對誤差和相對誤差限例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè)，求其相對誤差解：根椐定義:甲打字時(shí)的相對誤差

乙打字時(shí)的相對誤差第28頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.3

有效數(shù)字定義1.5設(shè)x的近似值

其中是0到9之間的任一個(gè)數(shù),但n是正整數(shù),m是整數(shù),若

則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到第n位，是的有效數(shù)字。

第29頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時(shí)有幾位有效數(shù)字解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×

|＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字第30頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)

-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.0005=1/210-2

m-n=1-n=-2所以n=3具有3位有效數(shù)字推論如果近似數(shù)x*誤差限是某一位的半個(gè)單位,由該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位

x*就有n位有效數(shù)字,也就是說準(zhǔn)確到該位第31頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月再如3.1416作為

的近似值時(shí)

-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

≤0.0000074<0.00005<0.510-4m-n=1-n=-4所以n=5x*=3.1416有5位有效數(shù)字第32頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于有效數(shù)字說明①用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則

x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141為3位有效數(shù)字②有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對誤差不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣

x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù)④準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字,如三角形面積S=1/2ah=0.5ah

因?yàn)?.5是真值,沒有誤差

*=0,因此n,準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字第33頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.4有效數(shù)字與相對誤差定理1.1若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差證:∵x*

=0.x1x2…xn10m

∴

x*

≥x110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則x-x*

≤1/210m-n∴第34頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

一般應(yīng)用中可以取

r*=1/2x110-(n-1),n越大,

r*越小,∴有效數(shù)字越多，相對誤差就越小例7取3.14作為

的四舍五入的近似值時(shí)，求其相對誤差解：3.14=0.314101x1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2x110-(n-1)=1/2*310-2=17%1.3.4有效數(shù)字與相對誤差第35頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相對誤差限解：已知n=2代入公式

r*=1/2x110-(n-1)得

r*=1/2x110-1

x*的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進(jìn)行如下討論：當(dāng)

x1=1

r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%

x1=9

r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%

取x1=1時(shí)相對誤差為最大，即5%1.3.4有效數(shù)字與相對誤差第36頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.4有效數(shù)字與相對誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對誤差

則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴

x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢第37頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例9已知近似數(shù)x*的相對誤差限為0.3%，問x*有幾位有效數(shù)字？解：由得ⅰ當(dāng)x1=1時(shí),310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當(dāng)x1=9時(shí),310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數(shù)字

第38頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例10為使的近似數(shù)的相對誤差小于0.1%，問查開方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448

∴n>2.7448取n=3即查平方表時(shí)

8.37取三位有效數(shù)字

∴第39頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

注意:已知有效數(shù)字,求相對誤差用公式

已知相對誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式第40頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊除以得

(1.3)和（1.4）給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。1.4.2、算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)

1.一元函數(shù)情形設(shè)則，由Taylor展開公式

(1.4)（1.3）第41頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.多元函數(shù)情形

設(shè)，則，由多元函數(shù)的Taylor展開公式類似可得（1.5）（1.6）在（1.6）式中，分別取,可得同號(hào))（1.7）（1.8）（1.9）(,第42頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由d(x±y)=dx±dy可得兩數(shù)之和(差）的誤差等于兩數(shù)的誤差之和（差）；由可得兩數(shù)之積的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和；由可得兩數(shù)商的相對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差。第43頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例12正方形的邊長約為100cm,怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?解：設(shè)正方形邊長為xcm,測量值為x*cm,面積

y=f(x)=x2由于f

(x)=2x記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e*、e(y*),則

e*=x-x*

e(y*)=y-y*

f(x*)(x-x*)=2x*e*=200e*現(xiàn)要求e(y*)200e*<1,于是

e*≤（1/200）cm=0.005cm要使正方形面積誤差不超過1cm2，測量邊長時(shí)絕對誤差應(yīng)不超過0.005cm。第44頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5減少運(yùn)算誤差原則誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志為此對每一個(gè)算法都要進(jìn)行誤差分析(1)兩個(gè)相近的數(shù)相減，會(huì)嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效數(shù)字，但x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字通常采用的方法是改變計(jì)算公式,例如當(dāng)與很接近時(shí),由于用右端代替左端公式計(jì)算,有效數(shù)字就不會(huì)損失

第45頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)x很大時(shí)可作相應(yīng)的變換

則用右端來代替左端。

第46頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5減少運(yùn)算誤差若干原則當(dāng)x接近0時(shí)一般情況，當(dāng)f(x)≈f(x*)時(shí)，可用泰勒展開取右端的有限項(xiàng)近似左端。如果計(jì)算公式不能改變，則可采用增加有效位數(shù)的方法保證精度第47頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例求二次方程x2-105x+1=0的根解：按二次方程求根公式

x1=(105+(1010-4)1/2)/2x2=(105-(1010-4)1/2)/2在8位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算得

x1=(105+105)/2=105(正確）,

x2=(105-105)/2=0(錯(cuò)誤）產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因 ①出現(xiàn)大數(shù)1010吃掉小數(shù)4的情況 ②分子部分出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減而喪失有效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消第48頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí),會(huì)喪失有效數(shù)字這里分子的誤差被擴(kuò)大104倍,再如若將分母變?yōu)?.0011,即分母只有0.0001的變化時(shí),計(jì)算結(jié)果卻有了很大變化1.5減少運(yùn)算誤差若干原則第49頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.8計(jì)算 解:分子分母分別計(jì)算后相除(取9位小數(shù))

A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012=0.000000009(有舍入)

B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135=0.000000051(有舍入)

D=A/B=0.17647 真值為0.16948148…，所以D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位1.5減少運(yùn)算誤差若干原則例：計(jì)算第50頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計(jì)算

a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入)

b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入)

D=a*b*c=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482,準(zhǔn)確到小數(shù)后5位。bca1.5減少運(yùn)算誤差若干原則第51頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

x255=xx2x4x8x16x32x64x128原先要做254次乘法現(xiàn)只需14次即可又如計(jì)算多項(xiàng)式

p(x)=anxn