《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)-高一數(shù)學(xué)(人教A版2023年必修第一冊(cè))

《5.4.21教材內(nèi)容：質(zhì)，可培育學(xué)生數(shù)形結(jié)合與直觀想象的力氣。教學(xué)目標(biāo)：了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的意義，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；會(huì)求常見三角函數(shù)的的周期，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；直觀想象的核心素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：12、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性，以及周期函數(shù)、(最小正)周期的意義。教學(xué)過程設(shè)計(jì)：〔一〕知導(dǎo)入9:249點(diǎn)鐘.由于你很清楚,01232324是星期一,問你:7二……星期天,7天就重復(fù)消滅一次.一樣的間隔重復(fù)消滅的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象,如“241天”“71星期”“3651年”就是我們所生疏的周期現(xiàn)象.自然界中有很多周期現(xiàn)象,如日出日落、月圓月缺、四季交替等.【想一想】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否有這樣的周期性呢?【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義，用聯(lián)系的觀點(diǎn)引入本節(jié)課，建立學(xué)問間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括推理的力氣?！捕痴摇⒂嘞液瘮?shù)的性質(zhì)【1】f(x)的局部圖象,函數(shù)圖象每相隔多少個(gè)單位重復(fù)消滅?12】由誘導(dǎo)公式一:sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx.結(jié)合正(余)弦曲線,可以看出正(余)弦函數(shù)怎樣的特征?圖象變化趨勢(shì)是怎樣的?【提示】自變量x2π的整數(shù)倍時(shí),函數(shù)值重復(fù)消滅,圖象發(fā)生“周而復(fù)始”的變化.函數(shù)的周期性f(x)DT，使得對(duì)每一個(gè)x∈D數(shù)的周期．f(x)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期．正弦、余弦函數(shù)的周期性2π.【留意】對(duì)周期函數(shù)的三點(diǎn)說(shuō)明并不是每一個(gè)函數(shù)都是周期函數(shù)，假設(shè)函數(shù)具有周期性，則其周期也不愿定唯一．(2)假設(shè)T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(3)f(x)＝C(C為常數(shù)，x∈R)，全部的非零實(shí)T都是它的周期，不存在最小正周期．【做一做1】推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)3 3 2＋4 sin4，則2是函數(shù)π π (1由于sin ＝ ＝six的一個(gè)周期( )(2)由于sinx＋4π＝sinx，所以函數(shù)3 3 2＋4 sin4，則2是函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)假設(shè)有則是周期函數(shù)是的一個(gè)周期)正弦、余弦函數(shù)的奇偶性1】觀看正弦曲線和余弦曲線具有怎樣的對(duì)稱性?【提示】y=sinx,x∈R的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,y=cosx,x∈R的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.2】上述特征反映出正、余弦函數(shù)的什么性質(zhì)?【提示】上述特征反映出正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù),余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).3】對(duì)于x∈R，依據(jù)誘導(dǎo)公式sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說(shuō)明正、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？【提示】函數(shù)的奇偶性。正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．1】推斷函數(shù)的奇偶性的步驟？【提示】1：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2f(xf(－x)的關(guān)系．對(duì)于三角子的等價(jià)性．2】推斷函數(shù)的奇偶性還有什么方法？y軸對(duì)稱，則該函數(shù)是偶函數(shù)．〔三〕典型例題正、余弦函數(shù)的周期性例1. 求以下三角函數(shù)的最小正周期:(1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; x|,x∈R.

1 x ),x∈R; (4)y=|cos2 6【解析】(1)3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函數(shù)的定義知,y=3cosx的最小正周期為2π.由于sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=sin2x的最小正周期為π.由于sin1(x4sinx2sinx,所以由周期函數(shù)的定義知,2

6

6 2 6 y2sinx 2 6

y=|cosx|的圖象如圖(實(shí)線局部)所示.由圖象可知,y=|cosx|π.【思考】三角函數(shù)的周期與哪個(gè)量有關(guān)？【提示】與ω的大小有關(guān)，由此得到周期公式：T=

2π.|ω|(1)T=2π=2π〔2〕T=2π=π,〔3〕T=2π

=4π.1 2 12【類題通法】求函數(shù)最小正周期的常用方法定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．公式法，對(duì)于形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，且ω≠0)函數(shù)的周期求法常直接利用T＝2π來(lái)求解；形如y＝|Asinωx|或y＝|Acosωx|的周期常結(jié)合函數(shù)|ω|的圖象，觀看求解．圖象法，即通過畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀看即可．三種方法各有所長(zhǎng)，要依據(jù)函數(shù)式的構(gòu)造特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓痉€(wěn)固練習(xí)1】〔1〕函數(shù)y=2sin(3x+π),x∈R的最小正周期是( )6π332

(D)π(2)函數(shù)y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期為 .【解析】〔1〕T2π3作出y=|sin2x|(x∈R)的圖象(如以下圖).由圖象可知,y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期為π.2【答案】〔1〕B 〔2〕π2奇偶性2.推斷以下函數(shù)的奇偶性:21cosx+cosx1.(1)f(x)= sin2x;(2)f(x)=sin(21cosx+cosx1.2422【解析】(1)x∈R,f(-x)=2

2sin(-2x)=-

f(x)=

2sin2x是奇函數(shù).2(2)由于x∈R,f(x)=sin(3x3π)=-cos3x,所以f(-x)=-cos(-3x)=-cos3x=f(x),4 2 4 4 4所以函數(shù)f(x)=sin(3x3π)是偶函數(shù).4 2明顯x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin|x|是偶函數(shù).cosx10,由1cosx0,得coscosx10,函數(shù)又是偶函數(shù).【類題通法】推斷函數(shù)奇偶性的方法利用定義推斷一個(gè)函數(shù)f(x)的奇偶性,要考慮兩方面:①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②f(-x)f(x)的關(guān)系;:①定義法;②圖象法.【穩(wěn)固練習(xí)2】1.以下函數(shù)中,最小正周期為π的奇函數(shù)是( )2y=sin(2x+π) (B)y=cos(2x+π) (C)y=sin(2x+π) (D)y= sin(x+π)22 2 4 4【答案】B【解析】A中,y=sin(2x+π),y=cos2x,為偶函數(shù);C,D中,函數(shù)為非奇非偶函數(shù);B2中,y=cos(2x+π)=-sin2x,是奇函數(shù),T=2π=π,B.2 2三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用例3. 定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)假設(shè)f(x)的最小正周期為π，且0 π

5π當(dāng)x∈，2時(shí)，f(x)＝sinx，則f3等于( )3232A 1 13232．－2 B.2 C．－ D.答案D解析f5π＝f5π－π＝f2π＝f2π－π＝f－π＝fπ＝sinπ＝33 3 3 3 3 3 3 2.變式探究 假設(shè)本例中“偶”變“奇”f 5 －π＝－fπ＝－sin

π＝－3解f3π＝f

3

3 2.假設(shè)本例中函數(shù)的最小正周期變?yōu)棣衒－17π的值．22解f(x)的最小正周期是π，2

6 所以f－17 －3π＋π＝f－6×π＋π＝fπ＝1 6π＝f 6 2 6 6 2.【類題通法】三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略y＝Asin(ωx＋φy＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．推斷函數(shù)通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為0 π3f(x)πx∈，2時(shí)，f(x)＝1－sinx，求當(dāng)5 f(x)的解析式．5

π，解x∈2π，3π時(shí)，3π－x∈0，2x∈0，π時(shí)，f(x)＝1－sinx， 2f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.f(x)π為周期的偶函數(shù)，f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，f(x)＝1－sinx，x∈5π，3π.2 〔四〕操作演練素養(yǎng)提升1 π．以下函數(shù)中，周期為2的是( )2y＝sinxC．y＝cosx2

y＝sin2xD．y＝cos4x的奇偶性是( )A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)2π π2數(shù)f(x)＝sinx－－1，則以下命題正確的選項(xiàng)是( )A．f(x)是周期為1的奇函數(shù) 是周期為2的偶函數(shù)C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù) 是周期為2的非奇非偶函數(shù)πx π函數(shù)f(x)＝3sin2－4，x∈R的最小正周期為 ．答案：1.D 2.A 3.B 4.4【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)穩(wěn)固本節(jié)所學(xué)學(xué)問，提高