初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽圓

2、（05）已知點(diǎn)I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1,B1,C1分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)。若點(diǎn)B在AAIBICI的外接圓上，則NABC等于（ ）A、30° B、45° C、60° D、90°（06）正方形ABCD內(nèi)接于。O,點(diǎn)P在劣弧AB上，連結(jié)DP,QC交AC于點(diǎn)Q.若QP=QO,則的值為（ ）QA（A）2+3-1（B）2-<3（C）<3+.&（D）<3+25（07）已知4ABC為銳角三角形，。O經(jīng)過點(diǎn)B,C,且與邊AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E.若。O的半徑與^ADE的外接圓的半徑相等，則。O一定經(jīng)過^ABC的（）.6）內(nèi)心 6）外心 （。重心（0）垂心10.已知線段AB的中點(diǎn)為C,以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,使得BD=AC；再以點(diǎn)D為圓心,DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與。A分別相交于F,G兩點(diǎn)，連接FG交ABAH于點(diǎn)H,則 的值為AB8>AABC中，AB=7,BC=8,CA=9,過4ABC的內(nèi)切圓圓心l作DE〃BC,分別與AB、AC相交于點(diǎn)D,E,則DE的長(zhǎng)為。（第3題圖）9、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=a<1,以AB為一邊在圓O內(nèi)作正AABC,點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB=AB=a,DC的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為

（第3題圖）A、)。5aa B、1 C、2D、a1(04).D是4ABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AD,P是4ABC外接圓上一點(diǎn)，使得A、)。5aa B、1 C、2D、aPD(06)如圖，點(diǎn)P為。O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.過點(diǎn)A作并延長(zhǎng)AE交PB于點(diǎn)K.求(第4題)PB的平行線，交。O于點(diǎn)C.連結(jié)PC,交。并延長(zhǎng)AE交PB于點(diǎn)K.求(第4題)B為圓心，BP為半徑作。B,0B與半圓O相交于點(diǎn)D,且線段CD的中點(diǎn)為M.求證：MP分別與。A和。B相切.7.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長(zhǎng)線上，且滿足DE=AD?若CD,FE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,△DEG的CFBC外接圓與^CFG的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，連接PA,PB,PC,PD.求證:ADPD(1) =；BCPC(2)APAB-△PDC.11(10).如圖，AABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的氤點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是4ABDEFEF和AACD的外接圓直徑，連接EF.求證：tan/PAD=—.BC12(11)、如圖，點(diǎn)H為4ABC的垂心，以AB為直徑的。01和4BCH的外接圓。O2相交于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AD交CH于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽《圓》歷屆考題

1（04）.D是4ABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AD,P是4ABC外接圓上一點(diǎn)，使得ZADP=/ACB，求PB的值.PD解：連結(jié)AP,則U/APB=ZACB=ZADP,所以，1（04）.D是4ABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AD,P是4ABC外接圓上一點(diǎn)，使得ZADP=/ACB，求PB的值.PD解：連結(jié)AP,則U/APB=ZACB=ZADP,所以，△APBs^ADP, ABAP ,APAD所以AP2=AB?AD=3AD2,???AP=v3AD,所以PBAP（5分）（10分）PDAD（15分）2、（05）已知點(diǎn)I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1,B1,C1分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)。若點(diǎn)B在△A1B1C1的外接C1圓上，則NABC等于（A、30°B、45°)C、60°D、90°答：C解：因?yàn)镮A1=IB1=IC1=2r（r為AABC的內(nèi)切圓半徑），所以點(diǎn)I同時(shí)是△A1B1C1的外接圓的圓心，設(shè)IA1與BC的交點(diǎn)為D,2ID,所以NIBD=30°,同理，NIBA=30°,于是，NABC=60°Bi貝UIB=IA1=QC的值為（ ）QA(A)2V3-1(B)2v3(C)v3+22(D)?右+2答：D.解：如圖，設(shè)。O的半徑為r,QO=m，則QP=m,QC=r+m,QA二r一m.在。O中，根據(jù)相交弦定理，得QA-QC=QP-QD.r2—m2即 (r—m)(r+m)=m?QD，所以QD= .連結(jié)DO,P（第3題圖）由勾股定理，得QDP（第3題圖）由勾股定理，得QD2=DO2+QO2,所以KP所以KP=KB.10分（r2—m2）2 ,弋3 QCr+m<3+1 -小即 =r2+m2，解得m=~~r所以，——= =———=<3+2Im） 3 QAr-m43-1（06）如圖，點(diǎn)P為。O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.過點(diǎn)A作PB的平行線，交。O于點(diǎn)C.連結(jié)PC,交。O于點(diǎn)E；連結(jié)AE,并延長(zhǎng)AE交PB于點(diǎn)K.求證：PE?AC=CE?KB.證明：因?yàn)锳C〃PB,所以NKPE二NACE.又PA是。O的切線，所以NKAP二NACE,故NKPE二NKAP,于是△KPE^AKAP,KPKE所以 =——，即KP2=KE?KA.KAKP由切割線定理得 KB2=KE?KA A即PE?AC=CE?KB.即PE?AC=CE?KB. 15分（第4題）因?yàn)锳C〃PB,^KPEs^ACE,于是PEKP PEKB一二一 故 一二一CEAC CEAC5（07）已知^ABC為銳角三角形，。O經(jīng)過點(diǎn)B,C,且與邊AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E.若。O的半徑與^ADE的外接圓的半徑相等，則。O一定經(jīng)過^ABC的（）.6）內(nèi)心6）外心（。重心 （0）垂心答：（B）.解：如圖，連接BE,因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以/BAC,乙ABE均為銳角.又因?yàn)?。O的半徑與^ADE的外接圓的半徑相等，且DE為兩圓的公共弦，所以/BAC=ZABE.于是，/BEC=/BAC+ZABE=2/BAC.若^ABC的外心為O,則/BOC=2BC,所以，。O一定過△ABC1 1的外心.故選（B）..已知AB為半圓O的直徑，點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn).以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作。A,0A與半圓O相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑作。B,0B與半圓O相交于點(diǎn)D,且線段CD的中

點(diǎn)為M.求證：MP分別與。A和。B相切.證明：如圖，連接AC,AD,BC,BD,并且分別過點(diǎn)C,D作AB的垂線，垂足分別為E,F,(第13A題答案圖)則CE〃DF.因?yàn)锳B是。O的直徑，所以/ACB=/ADB=90。.在RtAABC和RtAABD中，由射影定理得尸A2=AC2=AE?AB,PB2=BD2=BF?AB. 5分兩式相減可得PA2-PB2=AB(AE—BF),又PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),于是有AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF,所以PE=PF,也就是說，點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn).因此，MP是直角梯形CDFE的中位線，于是有MP±AB,從而可得MP分別與。A和。B相切..如圖，點(diǎn)E,F分別在四邊形ABCD的邊AD,BC的延長(zhǎng)線上，且滿足DE=AD.若CD,CFBCFE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,△DEG的外接圓與△CFG的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，連接PA,PBPC,PD.求證:(1)ADPDBCPC(2)△PAB-△PDC.證明：(1)連接PE,PF,PG,因?yàn)?PDG=/PEG所以/PDC=/PEF.又因?yàn)?PCG=/PFG接PA,PBPC,PD.求證:(1)ADPDBCPC(2)△PAB-△PDC.證明：(1)連接PE,PF,PG,因?yàn)?PDG=/PEG所以/PDC=/PEF.又因?yàn)?PCG=/PFG，所以△PDC-△PEF,于是有PDPEPDPC-PFDE,/CPD=/FPE,從而△PDE-△PCF,所10分PCCF.又已知DE_ADCFBC,所以,ADPDBCPC(2)由于/PDA=/PGE=/PCB，結(jié)合(1)知，△PDA-△PCB，從而有PA_PDPB―PC，PDC./DPA=/CPB,所以/AP歷/DP因此△pab^△15分8、4ABC中，AB=7,BC=8,CA=9,過AABC的內(nèi)切圓圓心l作DE〃BC,分別與AB、AC相交于點(diǎn)D,E,則DE的長(zhǎng)為—3解：如圖，設(shè)4ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,內(nèi)切圓l的半徑為r,BC邊上的高為人/則(第8題)1 ra—ah=S =—(a+b+c)r，所以一二 ,aaabc 2 h a+b+ca因?yàn)椤鰽DEs^ABC,所以它們對(duì)應(yīng)線段成比例，因此々==DEhBCh-r八r、廠a a(b+c)/所以DE——a a=(1-—)a=(1- )a= h ha+b+c a+b+c故DE—8*(7+9)=巴8+7+9 69、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB—a<1,以AB為一邊在圓O內(nèi)作正AABC,點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB—AB―a,DC的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（B）。A、——a B、1C、——D、a2 2解：如圖，連接OE,OA,OB,設(shè)ND=a，則NECA=120°—a=ZEAC又因?yàn)镹ABO=1/ABD=1(60。+180。-2a)=120。2 2所以AACE2AABO,于是AE=OA=110.已知線段AB的中點(diǎn)為C,以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,使得BD—AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與。AAH分別相交于F,G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H,則的值為AB（第10題）解：如圖，延長(zhǎng)AD與。D交于點(diǎn)E,連接AF,EF.（第10題）題設(shè)知AC=1AD,AB=1AE，在^FHAff△EFA中，3 3/EFA=ZFHA=90。，/FAH=ZEAF所以Rt△FHAsRt△EFA,AH_AF AH1A^~AE,而AF=AB,所以~BB=3

EFtan/PAD=.BC11(10).如圖，4ABC為等腰三角形，AP是底邊BCEFtan/PAD=.BC和CF分別是4ABD和4ACD的外接圓直徑，連接EF.求證:證明：如圖，連接ED,FD.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以ED±BC, FDXBC,因此D,E,F三點(diǎn)共線. （5分）連接AE,AF,則ZAEF=/ABC=/ACB=/AFD,所以，△ABCs^AEF. （10分）作AHLEF,垂足為H,則AH=PD.由△ABCs^AEF可得EF_AH = ,BCAP從而所以EF_PD = ,BCAP從而所以(20