全國高中數(shù)學(xué)競賽中的4大-平面幾何名定理

4大數(shù)學(xué)競賽中的平面幾何名定理四個(gè)重要定理:梅涅勞斯(Menelaus)定理(梅氏線)△48(3的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn)P、Q、R,則P、Q、RBPCQAR1 =1共線的充要條件是PCQARE塞瓦(Ceva)定理(塞瓦點(diǎn))△48(3的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R，則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要BPCQAR. =]條件是PCQARB。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松(Simson)定理(西姆松線)從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。例題講解AE_2AF1.設(shè)AD是^ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：EDFB。BDC2.過^ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F,交CB于D。求證:3.D、E、F分別在^ABC的BC、CA、AB邊上，EAFABD_AF_CE_DC-FB-EA-,AD、BE、CF交成ALMN。求SALMN.以^ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、^CAF、^ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。t

t.已知448(3中，NB=2NC。求證：ACa二AB2+AB-BC。111

= 1 .已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：A1A口A1AmA1A4。7.4ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P,作PELAB于E,延長ED交AC延長線于F。求證：BC?EF=BF-CE+BE-CF。EF.正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求ko(23-IMQ-5)

EF.O為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以R「Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。求證：(1)a?R三b?db+c?d;⑵a?RNc?db+b?d;(3)Ra+Rb+RcN2(da+db+dc)。c10.4ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。（歐拉線）cn.0°i和?！?與AABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長線交于P。求證：PALBC。12.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分NBAD。在CD上取一點(diǎn)E,延長DF交BC于G。求證：NGAC二NEAC。例題答案：AEDCBF1 -———-=1.分析：CEF截4ABD-EDCBFA（梅氏定理）評注：也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。.分析：連結(jié)并延長AG交BC于M,則M為BC的中點(diǎn)。BEAGMD1 - - =1DEG截4ABM-EAGMDB （梅氏定理）CFAGMD1 ■— —=1DGF截△ACM-F且GMDC （梅氏定理）BECFGM-（DB+DQGM2MD.?.EAFA二AG-MD=2GM.MD=15BE與AC相交于F,Ac一D B M L：c B%?T7 ''6評注：梅氏定理.梅氏定理.塞瓦定理.分析：過A作BC的平行線交^ABC的外接圓于D,連結(jié)BD。則CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理，AC-BD=AD-BC+CD-AB。評注：托勒密定理.評注：托勒密定理.評注：西姆松定理（西姆松線）.評注：面積法.評注：面積法.評注：同一法.證明：連結(jié)BD交AC于H。對4BCD用CGBHDE. - - =1塞瓦定理，可得GBHDEC因?yàn)锳H是NBAD的角平分線，由角平分線定理，BHABCGABDE1 = - - =1可得HD且口，故GEADEC。過C作AB的平行線交AG的延長線于I,過C作AD的平行線交AE的延長線于J。CG_CIDE_AD則歪=最‘市=百，CIABAD. --——=1所以AEADCJ，從而