高中化高三大題練習(xí)解題5數(shù)列第22練基本量-破解等差、等比數(shù)列的法寶

高中化學(xué)教學(xué)同步課件專題5數(shù)列第22練基本量——破解等差、等比數(shù)列的法寶題型分析·高考展望等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，再加一個(gè)解答題的形式考查，題目難度可大可小，有時(shí)為中檔題，有時(shí)解答題難度較大.解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量，即通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì).?？碱}型精析高考題型精練題型一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用常考題型精析題型一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105，且a10＝2a5.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Tn，由T5＝105，a10＝2a5，解得a1＝7，d＝7.因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*).(2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.解對(duì)m∈N*，若an＝7n≤72m，則n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以數(shù)列{bm}是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列，點(diǎn)評(píng)等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本的元素.(2)解題思路：①設(shè)基本量a1和公差d(公比q)；②列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少計(jì)算量.變式訓(xùn)練1

(1)(2014·安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝____________.解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，1(2)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7等于(

)A.21

B.42

C.63

D.84解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故選B.B題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2

(1)(2015·廣東)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________.解析因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.10(2)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(

)A.150 B.－200C.150或－200 D.400或－50解析依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，答案A點(diǎn)評(píng)等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)類型等差數(shù)列等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)2ak＝am＋al(m，k，l∈N*且m，k，l成等差數(shù)列)a＝am·al(m，k，l∈N*且m，k，l成等差數(shù)列)am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q)am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q)和的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Sn＝na當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：

＝q(公比)依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠－1)變式訓(xùn)練2

(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，前20項(xiàng)和為100，則a7·a14的最大值是________.∴a1＋a20＝10.∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.當(dāng)且僅當(dāng)a7＝a14時(shí)取等號(hào).故a7·a14的最大值為25.答案25

(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2016，其前n項(xiàng)和為Sn，若

＝2，則S2016的值為________.所以S2016＝－2016.－2016題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3

(2015·陜西)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x＞0，n∈N，n≥2.(1)證明：函數(shù)Fn(x)＝fn(x)－2在

內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為xn)，且證明

Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，則Fn(1)＝n－1＞0，又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0(x＞0)，因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn)，所以Fn(xn)＝0，(2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明.設(shè)h(x)＝fn(x)－gn(x)當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)；所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)，綜上所述，當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)；當(dāng)x≠1時(shí)，fn(x)＜gn(x).方法二由已知，記等差數(shù)列為{ak}，等比數(shù)列為{bk}，k＝1,2，…，n＋1，則a1＝b1＝1，an＋1＝bn＋1＝xn，bk＝xk－1(2≤k≤n)，當(dāng)x＝1時(shí)，ak＝bk，所以fn(x)＝gn(x)，＝(k－1)xk－2(xx－k＋1－1)，而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k＋1≥1，若0＜x＜1，xx－k＋1＜1，m′k(x)＜0；若x＞1，xx－k＋1＞1，m′k(x)＞0，從而mk(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，所以mk(x)＞mk(1)＝0，所以當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，ak＞bk(2≤k≤n)，又a1＝b1，an＋1＝bn＋1，故fn(x)＜gn(x)，綜上所述，當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)；當(dāng)x≠1時(shí)，fn(x)＜gn(x).點(diǎn)評(píng)(1)對(duì)數(shù)列{an}，首先弄清是等差還是等比，然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量，從而確定an、Sn.(2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，也是解決此類題目的主要方法.變式訓(xùn)練3

(2015·北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍4－a3＝2，所以d＝2.又因?yàn)閍1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…).(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？解設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2，得n＝63，所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等.高考題型精練1.(2014·重慶)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(

)A.a1，a3，a9成等比數(shù)列B.a2，a3，a6成等比數(shù)列C.a2，a4，a8成等比數(shù)列D.a3，a6，a9成等比數(shù)列123456789101112高考題型精練123456789101112解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，答案D高考題型精練1234567891011122.(2014·天津)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于(

)

D高考題型精練1234567891011123.已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為(

)A.－110 B.－90C.90 D.110解析∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，高考題型精練123456789101112∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.答案D高考題型精練1234567891011124.(2014·大綱全國(guó))等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和等于(

)A.6 B.5 C.4 D.3解析數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.C高考題型精練123456789101112

高考題型精練123456789101112解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2＋a3符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正負(fù)不確定，因而a1＋a2符號(hào)不確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)；高考題型精練123456789101112若a1<0，則(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故選項(xiàng)D錯(cuò).答案C高考題型精練123456789101112A.2 B.3 C.4 D.5解析由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.答案

D高考題型精練1234567891011127.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，

－23,19,37,82}中，則6q＝________.解析由題意知，數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，

－23，19,37,82}中，說明{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù)，高考題型精練123456789101112∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的連續(xù)四項(xiàng)為－24,36，－54，81，∴6q＝－9.答案

－9高考題型精練1234567891011128.(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.解析∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n＝8.8高考題型精練1234567891011129.(2015·浙江)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________.解析因?yàn)閍2，a3，a7成等比數(shù)列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，高考題型精練123456789101112∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，高考題型精練12345678910111210.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________.解析

根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有