2022屆雅禮中學(xué)高三第三次月考試卷（文數(shù)）

2022屆雅禮中學(xué)高三第三次月考試卷數(shù)學(xué)（文科）一．選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則實數(shù)（）（A）1或-1（B）1（C）-1（D）22．給出以下四個命題，正確的選項為（）A．若m>0，n>0，則方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓；B．△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若a＝1，b＝eq\r(3)，則A＝30°是B＝60°的充要條件．C．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)D．?x∈(0，＋∞)，ex>x＋13．某班甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，5次考試成績中甲的的平均數(shù)與乙的中位數(shù)分別是（）（A）80和80（B）84和82（C）81和82（D）83和824．已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．8B．C．D．5．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，根據(jù)流程圖輸出的的值為（）（A）（B）（C）（D）6．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC一定是 （）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等邊三角形7.設(shè)數(shù)列，通項公式是（）（A）（B）（C）（D）8．F1、F2為雙曲線C：（＞0，b＞0）的焦點，A、B分別為雙曲線的左、A. B. C. D.9．已右函數(shù)，把函數(shù)的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為（） A． B． C． D．二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡對應(yīng)題號后的橫線上．（一）選做題（請在第10，11兩題中任選一題作答，如果全做，則按前一題記分）10．已知直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為，則直線被圓C截得的弦長為；11．某實驗的因素范圍是［100，1100］，現(xiàn)準(zhǔn)備用黃金分割法進(jìn)行實驗找到最優(yōu)加入量，如果若干次實驗后的存優(yōu)范圍包含在區(qū)間［700，750］內(nèi)，則第三次實驗的加入量為（二）必做題12．若是虛數(shù)單位），則。13．某學(xué)校對高三學(xué)生體質(zhì)健康測試結(jié)果進(jìn)行綜合評定，分成優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，等級系數(shù)X依次為1．2．3．4．為了了解學(xué)生體質(zhì)狀況，現(xiàn)從中隨機抽取50人，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：等級系數(shù)X1234頻率fab若所抽取的50人中，等級系數(shù)為1的恰有4人，則的值為；14．將函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為；15.設(shè)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為6，則的最小值為.16．已知函數(shù).(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分12分）已知關(guān)于的一元二次方程．（Ⅰ）若滿足，列出所有可能的結(jié)果，求方程有兩正實根的概率；（Ⅱ）若滿足，求方程沒有實根的概率．18．（本小題滿分12分）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，，且，（1）求證：AC（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，若，求的最大值．20．（本小題滿分13分）如圖所示，已知兩平面向量和的夾角為，模長均為1，點在以為圓心的圓弧上運動（不含）。（1）求四邊形的面積的最大值；（2）若，求的取值范圍；21．（本小題滿分13分）已知二次函數(shù)的一個零點是，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線過坐標(biāo)原點的切線方程；（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。22.（本小題滿分13分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程；（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值．2022屆雅禮中學(xué)高三第三次月考答案數(shù)學(xué)（文科）一．選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則實數(shù)（）（A）1或-1（B）1（C）-1（D）2【答案】C2．給出以下四個命題，正確的選項為（）A．若m>0，n>0，則方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓；B．△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若a＝1，b＝eq\r(3)，則A＝30°是B＝60°的充要條件．C．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)D．?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1【答案】D【解析】：逐一驗證，A，B，C不正確，故選D3．某班甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，5次考試成績中甲的的平均數(shù)與乙的中位數(shù)分別是（）甲乙6797438028091（A）80和80（B）84和82（C）81和82（D）83和82【答案】B4．已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．8B．C．D．【答案】C【解析】：幾何體是正方體截去一個三棱臺，.5．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，根據(jù)流程圖輸出的的值為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C6．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC一定是 （）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等邊三角形答案B7．設(shè)數(shù)列，通項公式是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C8．F1、F2為雙曲線C：（＞0，b＞0）的焦點，A、B分別為雙曲線的左、A. B. C. D.【答案】B.【解析】由，解得，即交點M的坐標(biāo)，連結(jié)MB，則,即為直角三角形，9．已右函數(shù)，把函數(shù)的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為 （） A． B． C． D．【答案】C.二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡對應(yīng)題號后的橫線上．（一）選做題（請在第10，11兩題中任選一題作答，如果全做，則按前一題記分）10．已知直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為，則直線被圓C截得的弦長為；【答案】11．某實驗的因素范圍是［100，1100］，現(xiàn)準(zhǔn)備用黃金分割法進(jìn)行實驗找到最優(yōu)加入量，如果若干次實驗后的存優(yōu)范圍包含在區(qū)間［700，750］內(nèi)，則第三次實驗的加入量為【答案】864（二）必做題12．若是虛數(shù)單位），則?！敬鸢浮?3．某學(xué)校對高三學(xué)生體質(zhì)健康測試結(jié)果進(jìn)行綜合評定，分成優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，等級系數(shù)X依次為1．2．3．4．為了了解學(xué)生體質(zhì)狀況，現(xiàn)從中隨機抽取50人，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：等級系數(shù)X1234頻率fab若所抽取的50人中，等級系數(shù)為1的恰有4人，則的值為；【答案】【解析】由頻率分布表得，因為抽取的50人中，等級系數(shù)為1的恰有4人，等級系數(shù)為4的恰有2人，所以14．將函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為；【解析】15.設(shè)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為6，則的最小值為.【答案】2【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,可知當(dāng)直線經(jīng)過點(2,4)時,z取最大值,所以,即,所以+=3,所以=2,故的最小值為2.16．已知函數(shù).(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】（1）；（2）【解析】（2）顯然是方程的一個根；當(dāng)時，方程化為（），令方程有三個不同的實數(shù)解，方程（）有兩個實數(shù)解作圖知三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分12分）已知關(guān)于的一元二次方程．（Ⅰ）若滿足，列出所有可能的結(jié)果，求方程有兩正實根的概率；（Ⅱ）若滿足，求方程沒有實根的概率．已知關(guān)于的一元二次方程．解：（Ⅰ）基本事件所有可能的結(jié)果為：共有12個，方程有兩正根等價于，即。設(shè)“方程有兩個正實根”為事件，則事件包含的基本事件為共2個，故所求的概率為；………6分（Ⅱ）試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域，其面積為設(shè)“方程無實根”為事件，則構(gòu)成事件的區(qū)域為，其面積為故所求的概率為……………12分19．（本小題滿分12分）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，，且，（1）求證：AC（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，若，求的最大值．解析：（Ⅰ）由已知可得，即，即∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列……4分由（Ⅰ）知，∴………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）知相減得：∴…………10分單調(diào)遞增，的最大值為7……12分20．（本小題滿分13分）如圖所示，已知兩平面向量和的夾角為，模長均為1，點在以為圓心的圓弧上運動（不含）。（1）求四邊形的面積的最大值；（2）若，求的取值范圍；解：（1）設(shè)，（2）由題意，，又，21．（本小題滿分13分）已知二次函數(shù)的一個零點是，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線過坐標(biāo)原點的切線方程；（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。解：（Ⅰ）∵-a是二次函數(shù)的一個零點，∴b=0.當(dāng)時，設(shè)切點為則切線的方程為.將（0，0）代入，得，整理得.得故曲線過坐標(biāo)原點的切線方程為…………6分（Ⅱ）設(shè)則.………………8分易知在上是減函數(shù)，從而.（1）當(dāng)2-a0，即時，，h(x)在間（0，1）上是增函數(shù)。∵在上恒成立，即在上恒成立?！郌(x)在區(qū)間上是減函數(shù)。所以，滿足題意.…………10分（2）當(dāng)2-a<0，即a>2時，設(shè)函數(shù)的唯一零點為，則在（0，）上遞增，在上遞減。又∵.又∵，∴h(x)在（0，1）內(nèi)有唯一一個零點，當(dāng)時，h（x）<0,當(dāng)時，h(x)>0.從而F（x）在（0，）遞減，在（，1）遞增，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾?！郺>2不合題意.綜合（1）（2）得，.即a的取值范圍是.…………13分22.（本小題滿分13分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程；（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值．解：（1）依題意，得，，；故橢圓的方程為．……4分（2）方法一：點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，，不妨設(shè)．由于點在橢圓上，所以．（*）……………4分由已知，則，，．………6分由于，故當(dāng)時，取得最小值為．由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．故圓的方程為：．…………8分方法二：點與點關(guān)于軸對稱，故設(shè)，由已知，則,．……………………6分故當(dāng)時，取得最小值為，此時，又點在圓上，代入圓的方程得到．故圓的方程為：．…………8分方法二：設(shè)，，其中．則直線的方程為：，令，得，同理：，………12分故．所以為定值．…………………14分高考湖南數(shù)學(xué)（文科）卷知識細(xì)目表小題必考試卷結(jié)構(gòu)表集合常用邏輯用語函數(shù)概