極坐標(biāo)與參數(shù)方程

極坐標(biāo)與參數(shù)方程

第三組起源、考綱要求、重要性基本知識(shí)點(diǎn)與性質(zhì)高考中的極坐標(biāo)與參數(shù)方程高等數(shù)學(xué)中的極坐標(biāo)與參數(shù)方程極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、希臘人最早使用了角度和弧度的概念?！籼煳膶W(xué)家喜帕恰斯制成了一張求各角所對(duì)弦的弦長(zhǎng)函數(shù)的表格。并且，曾有人引用了他的極坐標(biāo)系來(lái)確定恒星位置。◆在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個(gè)半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻(xiàn)，盡管最終并沒(méi)有建立整個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。二、極坐標(biāo)系概念的引入◆格雷瓜·德·圣-萬(wàn)桑特和博納文圖拉·卡瓦列里，被認(rèn)為在幾乎同時(shí)、并獨(dú)立地各自引入了極坐標(biāo)系這一概念。◆圣-萬(wàn)桑特在1625年的私人文稿中進(jìn)行了論述并發(fā)表于1647年，而卡瓦列里在1635進(jìn)行了發(fā)表，而后又于1653年進(jìn)行了更正?！艨ㄍ吡欣锸状卫脴O坐標(biāo)系來(lái)解決一個(gè)關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問(wèn)題。布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算拋物線的長(zhǎng)度。三、極坐標(biāo)的正式應(yīng)用和擴(kuò)展◆1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)中，牛頓第一個(gè)將極坐標(biāo)系應(yīng)用于表示平面上的任何一點(diǎn)。牛頓在書(shū)中驗(yàn)證了極坐標(biāo)和其他九種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系?！粼?691年出版的《博學(xué)通報(bào)》一書(shū)中伯努利正式使用定點(diǎn)和從定點(diǎn)引出的一條射線，定點(diǎn)稱為極點(diǎn)，射線稱為極軸。平面內(nèi)任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都通過(guò)該點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和與極軸的夾角來(lái)表示。伯努利通過(guò)極坐標(biāo)系對(duì)曲線的曲率半徑進(jìn)行了研究?！艨巳R羅和歐拉被認(rèn)為是將平面極坐標(biāo)系擴(kuò)展到三維空間的數(shù)學(xué)家。

考試大綱要求1.理解坐標(biāo)系的作用。了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置。理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程。通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義；⒋了解參數(shù)方程及其意義，能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程；5.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程。關(guān)于教材編排參數(shù)方程是選修4-4專題的一個(gè)重要內(nèi)容。這一專題包含、涉及了很多高中內(nèi)容。利用高二學(xué)生已掌握的直線、圓和圓錐曲線曲線方程為基礎(chǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生利用參數(shù)的思想對(duì)它們進(jìn)行探究解析，以及能學(xué)習(xí)掌握如何優(yōu)化參數(shù)的選擇推出已知曲線方程的參數(shù)形式，能等價(jià)互化參數(shù)方程與普通方程；借助實(shí)際生活例子或相應(yīng)習(xí)題體會(huì)參數(shù)方程的優(yōu)勢(shì)，理解學(xué)習(xí)參數(shù)方程的緣由。

數(shù)與形的結(jié)合、運(yùn)動(dòng)與變化、相對(duì)與絕對(duì)、分解與綜合等思想方法十分突出，是培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)的好素材。

學(xué)習(xí)本部分知識(shí)的意義◆掌握極坐標(biāo)系和參數(shù)方程的基本概念，對(duì)曲線有多種表現(xiàn)方式也會(huì)有深刻認(rèn)識(shí)；◆重溫坐標(biāo)法思想，拓寬了學(xué)生思維寬度；◆體會(huì)從各種生產(chǎn)生活問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的探究精神，了解數(shù)學(xué)的實(shí)用意義，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。

極坐標(biāo)系和參數(shù)方程雖為選修內(nèi)容，高中學(xué)生也應(yīng)該重視對(duì)本專題的學(xué)習(xí)，既可以體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，也能提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，而且可以與已學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通極坐標(biāo)系定義：平面內(nèi)的一條有規(guī)定有單位長(zhǎng)度的射線0x,0為極點(diǎn)，0x為極軸，選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。OxP（ρ,θ）ρθ1

極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P的極坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離|OP|稱為極徑P，OP與OX軸的夾角θ稱為極角，有序數(shù)對(duì)P（ρ，θ），就叫做點(diǎn)P的極坐標(biāo)P（ρ，θ）xyθOρ（1）一般情況下。不特加以說(shuō)明時(shí)P表示非負(fù)數(shù)：當(dāng)ρ=0時(shí)表示極點(diǎn)：當(dāng)ρ<0時(shí)，點(diǎn)P（ρ，θ）的位置這樣確定，作射線OP,使∠x(chóng)OP=θ，在OP的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P＇，使得|OP＇|=ρ，點(diǎn)P＇即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)P（ρ，θ）與點(diǎn)（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）所表示的是同一個(gè)點(diǎn)，即角θ與2kπ+θ的終邊是相同的。綜上所述，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)之間不是一一對(duì)應(yīng)而是一對(duì)多的對(duì)應(yīng)(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均表示同一個(gè)點(diǎn)3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化（1）互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，如圖所示：（2）互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)私（x,y），極坐標(biāo)是（ρ,θ）（ρ≥0），于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：在一般情況下，由tanθ確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角xyMρOθNyx點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x,y）極坐標(biāo)（ρ,θ）互化公式Ρ2=x2+y2

tanθ=y/x(x≠0)x=ρcosθy=ρsinθ4.直線的極坐標(biāo)方程：（1）過(guò)極點(diǎn)傾斜角為α的直線：θ=α（ρ∈R）或?qū)懗搔?α及θ=α+π（2）過(guò)A（a,α）垂直于極軸的直線：ρcosθ=acosα5.圓的極坐標(biāo)方程：（1）以極點(diǎn)為O為圓心，a（a>0）為半徑的圓：ρ=a.（2）過(guò)O（0,0），A（2a,0）（a>0）,以O(shè)A為直徑的圓：ρ=2acosθ參數(shù)方程1.概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變量t的函數(shù)：并且對(duì)于每個(gè)t的每一個(gè)允許值，方程所確定的點(diǎn)M（x,y）都是在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x,y間的關(guān)系,變數(shù)t叫做參變數(shù)（簡(jiǎn)稱參數(shù)）相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程F（x,y）=0，叫做曲線的普通方程。x=f(t)y=g(t)x=f(t)y=g(t)2.參數(shù)方程和普通方程的互化（1）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以聽(tīng)過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。（2）如果知道變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x=f(t)把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t)，那么x=f(t)y=g(t)注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值保持一致。注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一，應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。就是曲線的參數(shù)方程。3.圓的參數(shù)圓心為（a，b），半徑為r的圓的普通方程是（x-a）2+（y-b）2=r2參數(shù)方程為x=a+rcosθ(θ為參數(shù))。y=b+rsinθ4.橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（a>b>0）,其參數(shù)方程為x=acos

ψ(ψ為參數(shù))，其中參數(shù)ψ

稱為離心角y=bsinψ焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（a>b>0）,其參數(shù)方程為x=bcosψ(ψ)為參數(shù)，其中參數(shù)ψ仍為離心