分離變量法在線性偏微分方程邊值問題中的應(yīng)用

分離變量法在線性偏微分方程邊值問題中的應(yīng)用

1有條件易產(chǎn)生的節(jié)約性分離變量法的關(guān)鍵是將分離變量形狀的檢測(cè)解替換為參考微分方程，將其分解為幾個(gè)普通微分方程，并將問題轉(zhuǎn)換為解普通微分方程。另一方面,代入齊次邊界條件把它轉(zhuǎn)化為常微分方程的附加條件,這些條件與相應(yīng)的常微分方程構(gòu)成本征值問題。雖然我們是從駐波引出解題的線索,其實(shí)整個(gè)求解過程跟駐波并沒有特殊的關(guān)系,從數(shù)學(xué)上講,完全可以推廣應(yīng)用于線性齊次方程和線性齊次邊界條件的多種定解問題。這個(gè)方法,按照它的特點(diǎn),叫做分離變量法。2采用分段變量法求解方程的應(yīng)用2.1兩端固定弦本征研究?jī)啥斯潭ǖ木鶆蛳业淖杂烧駝?dòng),即定解問題這里研究的弦是有限長(zhǎng)的,它有兩個(gè)端點(diǎn),波就在這兩端點(diǎn)之間往復(fù)反射,兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。這就是啟發(fā)我們嘗試從駐波出發(fā)解決問題。這樣,駐波的一般表示為在這里自變數(shù)x只出現(xiàn)于X之中,自變數(shù)t只出現(xiàn)于T之中,駐波的一般表示式具有分離變數(shù)的形式。那么,在兩端固定的弦上究竟有哪些駐波呢?把駐波的一般表示式(4)代入弦振動(dòng)方程(1)和邊界條件(2),得條件(6)的意義很清楚:不論在什么時(shí)刻t,X(0)T(t)和X(l)T(t)總是零。這只能是注意:由于邊界條件是齊次的,才得出(7)這樣簡(jiǎn)單的結(jié)論,現(xiàn)在再看方程(5),用a2XT遍除各項(xiàng)即得。左邊是時(shí)間t的函數(shù),跟坐標(biāo)x無關(guān);右邊則是坐標(biāo)x的函數(shù),跟時(shí)間t無關(guān)。兩邊相等顯然是不可能的,除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)。把這個(gè)常數(shù)記作,這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程,前者還附帶有條件(7),先求解X,將λ<0,λ=0,λ>0三種可能性逐一加考察。①λ<0,方程(8)的解是,積分常數(shù)C1和C2由條件(1.7)確定,即,由此解出C1=0,C2=0,從而X(x)≡0,所求駐波u(x,t)=X(x)T(t)≡0,這是沒有意義的。于是,λ<0的可能性就排除了。③λ>0,方程(8)的解是是,積分常數(shù)C1和C2由條件(7)確定,即,如,則仍然解出C1=0,C2=0.從而u(x,t)≡0,同樣沒有意義,應(yīng)序排除?，F(xiàn)只剩下一種可能性:,于是,(n為正整數(shù)),即C2為任意常數(shù)。請(qǐng)注意,(11)正是博里葉正玄級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族。這樣,分離變數(shù)過程中引入的常數(shù)λ不能負(fù)數(shù)或零,甚至也不能是任意的正數(shù),它必須取(10)所給出的特定數(shù)值,才可能從方程(8)和條件(7)求出有意義的解。常數(shù)λ的這種特定數(shù)值叫作本征值,相應(yīng)的解叫作本征函數(shù)。方程(8)和條件(7)則構(gòu)成所謂本征值問題。其中A和B積分常數(shù),把(11)和(12)代入(4),得到分離變數(shù)形式的解n為正整數(shù),這就是兩端固定弦上的可能的駐波。每一個(gè)n對(duì)應(yīng)于一種駐波,這些駐波也叫作兩端固定弦的本征振動(dòng),在x=κl/n(κ=0,1,2,....n)共計(jì)n+1點(diǎn)上,sin(nπxl)=sinκπ=0,從而un(x,t)=0。這些點(diǎn)就是駐波的節(jié)點(diǎn),相令節(jié)點(diǎn)間隔l/n應(yīng)為半波長(zhǎng),所以波長(zhǎng)=2l/n。本征振動(dòng)(13)的角頻率(又叫圓頻率)是ω=nπa/l,從而頻率f=ω2π=na/2l。n=1的駐波除兩端x=0和x=l外沒有其它節(jié)點(diǎn),它的波長(zhǎng)2/l在所有本征振動(dòng)中是最長(zhǎng)的,相應(yīng)地,它的頻率a/2l在所有本征振動(dòng)中最低的。這個(gè)駐波叫作基波。n>1的各個(gè)駐波分別叫作n次諧波。n次諧波的波長(zhǎng)2l/n是基波的1/n,頻率na/2l則是基波的n倍。以上本征振動(dòng)是滿足弦振動(dòng)方程(1)和邊界條件(2)的線性獨(dú)立的特解。由于方程(1)和邊界條件(2)都是線性而且齊次的,本征振動(dòng)的線性疊加仍然滿足方程(1)和邊界條件(2),這就是滿足方程(1)和邊界條件(2)的一般解,其中An和Bn為任意常數(shù)。這里尚未考慮初始條件。下面的任務(wù)便是求定解問題(1)∽(3)的確定解,在數(shù)學(xué)上,就是要選取適當(dāng)?shù)寞B加系數(shù)An和Bn使(14)滿足初始條件(3)。為此,以(14)代入(3),(15)的左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù),這就提示我們把右邊的?(x)和φ(x)展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù),然后比較兩邊的系數(shù)就可以確定An和Bn,至此,定解問題(1)∽(3)已經(jīng)解出,答案是(14),其中系數(shù)An和Bn取決于弦的初始狀態(tài),具體計(jì)算公式是(16)。解(14)正好是傅里葉正弦級(jí)數(shù),這是在x=0和x=l處的第一類齊次邊界條件(2)所決定的。2.2本征值及積分常數(shù)的求解前面已研究了區(qū)間兩端均為第一類齊次邊界條件的定解問題,下面例是區(qū)間兩端均為第二類齊次邊界條件的例題。即定解問題解按照分離變量法的步驟,先也分離變量形式的試探解代入泛定方程(1)和邊界條件(2),得再看方程(5),用a2XT遍出各項(xiàng)即得:,兩邊分別是時(shí)間t和坐標(biāo)x的函數(shù),不可能相等,除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)。把這個(gè)常數(shù)記作-λ,,這可分離變?yōu)殛P(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程,前者附帶有條件(7),即有:求解本征值問題(8),(7)。如果λ<0,只能得到無意義的解X(x)≡0。如果λ=0,則方程(7)的解是X(x)=C0+D0x,代入條件(7),得D0=0,于是X(x)=C0,C0為任意常數(shù),這是對(duì)應(yīng)于本征值λ=0的本征函數(shù)。如果λ>0,方程(8)的解是:,積分常數(shù)C1和C2由條件(7)確定,即。由于,所以。如果C1=0,則得無意義的解X(x)≡0;因此。于是,即λ=n2π2/l2(n=1,2....),這是λ>0情況下的本征值。相應(yīng)的本征函數(shù)是X(x)=C1cos(nπx/l)(n=1,2....),現(xiàn)在把λ=0與λ>0情況的本征值和本征函數(shù)合在一起,有C1為任意常數(shù)。(11)即傅里葉余弦的基本函數(shù)族。當(dāng)λ≥0時(shí),將本征值(10)代入T的方程(9),有T″=0及,請(qǐng)注意,(14)正是傅里葉余弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族。所有本征振動(dòng)的疊加應(yīng)是一般解u(x,t),即系數(shù)A0,B0,An,Bn應(yīng)由初始條件(3)確定,以(15)代入(3),有把右邊的?(x)和φ(x)展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù),然后比較兩邊的系數(shù),得(15)中的A0+B0t描寫桿的整體移動(dòng),其余部分才真正描寫桿的縱振動(dòng),從(16)知道A0與B0分別等于平均初始位移和平均初始速度,由于不受外力作用,桿以不變的速度B0移動(dòng),解(15)正是傅里葉余弦級(jí)數(shù),這是在x=0和x=l處的第二類齊次邊界條件(2)決定的。3利用數(shù)學(xué)知識(shí)所解的方程本文通過兩種不同邊界條件下振動(dòng)方程的求解,不難看出,分離變量法的基本思想是把多元函數(shù)所滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化為若干個(gè)一元函數(shù)的常微分方程,主要是產(chǎn)生本征值方程,再借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)得到相應(yīng)方程的解。②λ=0,方程(8)的解是X(x)=C1x+C2積分常數(shù)C1和C2由條件(1.7)確定,即,