2022高中數(shù)學模塊綜合檢測蘇教版

模塊綜合檢測(時間：120分鐘；滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計70分．把答案填在題中橫線上)1．給出下列說法：①如果一個幾何體的三視圖是完全相同的，則這個幾何體是正方體②如果一個幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體③如果一個幾何體的三視圖是矩形，則這個幾何體是長方體④如果一個幾何體的正視圖和側視圖都是等腰梯形，則這個幾何體是圓臺．其中正確說法的個數(shù)是________．解析：①不正確，因為球也是三視圖完全相同的幾何體；②不正確，因為一個橫放在水平位置的圓柱，其正視圖和俯視圖都是矩形；易知③正確；④不正確，因為一個正四棱臺的正視圖和側視圖也都是等腰梯形．答案：12．下列結論中，正確的是________(填序號)．①經(jīng)過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直；②如果一條直線和兩個垂直平面中的一個垂直，它必和另一個平行；③過不在平面內(nèi)的一條直線可作無數(shù)個平面與已知平面垂直；④如果兩個平面互相垂直，經(jīng)過一個平面內(nèi)一點與另一平面垂直的直線在第一個平面內(nèi)．解析：過平面外一點可作一條直線與已知平面垂直，過該直線的任何一個平面都與已知平面垂直，所以①不對；若α⊥β，a⊥α則a?β或a∥β，②不對；③當平面外的直線是平面的垂線時，能作無數(shù)個平面與已知平面垂直，否則只能作一個，因而③也不對．答案：④3．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為________．解析：設圓心坐標為(a，b)，由所求圓與x軸相切且與圓x2＋(y－3)2＝1相內(nèi)切可知，所求圓的圓心必在x軸的上方，且b＝6，即圓心為(a,6)．由兩圓內(nèi)切可得eq\r(a2＋6－32)＝6－1＝5，所以a＝±4.所以所求圓的方程為(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36.答案：(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝364.如圖所示，梯形A1B1C1D1是平面圖形ABCD的直觀圖(斜二測畫法)，若A1D1∥O′y′，D1C1在O′x′上，A1B1∥O′x′，且有A1D1＝1，A1B1＝2，C1D1＝3，則平面圖形ABCD的面積是________．解析：把直觀圖還原為平面圖求解．由于A1D1∥O′y′，D1C1在O′x′上，A1B1∥O′x′，所以原四邊形ABCD是∠ADC＝90°的直角梯形，且AD＝2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，所以S梯形ABCD＝eq\f(1,2)·(AB＋CD)·AD＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5.答案：55.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD1與直線A1C1所成的角是________度．解析：只需求AD1與AC所成的角，再由△AD1C為正三角形即可求出．答案：606.如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是________．解析：設點M到截面ABCD的距離為h，由VC-ABM＝VM-ABC知eq\f(1,3)·S△ABM·1＝eq\f(1,3)·S△ABC·h又S△ABM＝eq\f(1,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)eq\r(2)·eq\r(1＋\f(\r(2),4)2)＝eq\f(3,4).∴h＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．在直線y＝－2上有點P，它到點A(－3,1)和B(5，－1)的距離之和最小，則P點的坐標是________．解析：點B關于直線y＝－2的對稱點為B′(5，－3)，AB′的方程：eq\f(y＋3,1＋3)＝eq\f(x－5,－3－5)，即x＋2y＋1＝0.令y＝－2，得x＝3，所以P(3，－2)．答案：(3，－2)8．正三棱柱側面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為________．解析：由已知得正三棱柱的底面邊長為eq\r(2)，側棱長為eq\r(2)，∴V棱柱＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)9．已知直線l過直線l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交點，且平行于l3：x＋2y－5＝0，則直線l的方程是________．解析：法一：由直線l過l1與l2的交點，故可設直線l的方程為3x－5y－10＋λ(x＋y＋1)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－5)y＋λ－10＝0.∵l∥l3，∴eq\f(3＋λ,1)＝eq\f(λ－5,2)≠eq\f(λ－10,－5)，∴λ＝－11.∴直線l的方程為－8x－16y－21＝0，即8x＋16y＋21＝0.法二：因為l∥l3，所以可設l的方程為x＋2y＋m＝0，又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5y－10＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,8)，,y＝－\f(13,8)，))將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，－\f(13,8)))代入l的方程得m＝eq\f(21,8).故l的方程為x＋2y＋eq\f(21,8)＝0，即8x＋16y＋21＝0.答案：8x＋16y＋21＝010.如圖所示，正四棱錐S－ABCD的底面邊長和各側棱長都為eq\r(2)，點S，A，B，C，D都在同一個球面上，則該球的體積為________．解析：如圖所示，過S作SO1⊥面ABCD，由已知O1C＝eq\f(1,2)AC＝1.在Rt△SO1C中，∵SC＝eq\r(2)，∴SO1＝eq\r(SC2－O1C2)＝1，∴O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D，故O1是過S，A，B，C，D的球的球心，∴球半徑為r＝1，∴球的體積為eq\f(4,3)π·r3＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π11．如果圓錐的軸截面是正三角形(此圓錐也稱等邊圓錐)，則該圓錐的側面積與表面積的比是________．解析：設圓錐的底面半徑為R，根據(jù)題意得出圓錐的母線長l＝2R，所以圓錐的側面積為πRl＝2πR2.圓錐的表面積為πRl＋πR2＝3πR2，所以S側∶S表＝2∶3.答案：2∶312．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心O，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于________．解析：如圖所示，過點B1作平面ABC的垂線，垂足為D，連結AD，則∠B1AD就是所求的線面角．由題意知三棱錐A1－ABC為正四面體，設棱長為a，則AB1＝eq\r(3)a，棱柱的高A1O＝eq\r(a2－AO2)＝eq\r(a2－\f(2,3)×\f(\r(3),2)a2)＝eq\f(\r(6),3)a.由于A1B1∥平面ABC，故B1D＝A1O＝eq\f(\r(6),3)a.在Rt△AB1D中，sin∠B1AD＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\r(2),3)，故AB1與底面ABC所成角的正弦值為eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)13．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位，所得的直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實數(shù)λ的值為________．解析：直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位后的直線方程為2(x＋1)－y＋λ＝0，又∵圓心為(－1,2)，半徑r＝eq\r(5)，∴eq\f(|2×－1＋1－2＋λ|,\r(5))＝eq\r(5)，得λ＝－3或7.答案：－3或714．已知點N(3,1)，點A，B分別在直線y＝x和y＝0上，則△ABN的周長的最小值是________．解析：如圖所示，點N(3,1)關于直線y＝x的對稱點為P(1,3)，點N關于直線y＝0的對稱點為M(3，－1)，直線PM交直線y＝x于點A，交直線y＝0于點B，連結AN，BN，則此時△ABN的周長最小，為AB＋AN＋BN＝AB＋AP＋BM＝PM＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)二、解答題(本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)已知直線l1：(a＋1)x＋y－eq\f(a＋1,a2＋1)＝0，l2：x－y－eq\f(a2－3,a2＋1)＝0.(1)當a為何值時，l1∥l2?當a為何值時，l1⊥l2?(2)若l1與l2相交，且交點在第一象限，求a的取值范圍．解：(1)當(a＋1)·(－1)－1＝0且－eq\f(a2－3,a2＋1)－eq\f(a＋1,a2＋1)≠0時，l1∥l2，上式無解，即不存在a∈R，使l1∥l2.當(a＋1)·1－1＝0，即a＝0時，l1⊥l2.(2)方程聯(lián)立得交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a2＋1)，\f(－a2＋a＋2,a2＋1)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a2＋1)＞0，,\f(－a2＋a＋2,a2＋1)＞0.))解得1＜a＜2.16.(本小題滿分14分)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，且E是棱DD1的中點，求BE，A1E的長．解：如圖所示，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．依題意，得B(1,0,0)，E(0,1，eq\f(1,2))，A1(0,0,1)，所以BE＝eq\r(1－02＋0－12＋0－\f(1,2)2)＝eq\f(3,2)，A1E＝eq\r(0－02＋0－12＋1－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(5),2).17．(本小題滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，設二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程．解：(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點是(0，b)；令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)設所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b；令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個根為b，代入得E＝－b－1，所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.18．(本小題滿分16分)一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：(其中M、N分別是AF、BC的中點)．(1)求證：MN∥平面CDEF；(2)求多面體A－CDEF的體積．解：(1)證明：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)∴∠CBF＝90°.如圖，取BF中點G，連結MG、NG.由M、N分別為AF、BC中點可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)法一：作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE－BCF為直三棱柱，∴AH⊥平面DCFE，且AH＝eq\r(2)，∴VA－CDEF＝eq\f(1,3)S矩形CDEF·AH＝eq\f(1,3)·2·2eq\r(2)·eq\r(2)＝eq\f(8,3).即多面體的體積為eq\f(8,3).法二：∵ADE－BCF是三棱柱，∴VA－DEFC＝eq\f(2,3)VADE－BCF＝eq\f(2,3)·S△ADE·AB＝eq\f(2,3)·eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(8,3).19．(本小題滿分16分)已知A(4,1)、B(0,4)兩點，在直線l：3x－y－1＝0上找一點M，使得|MA－MB|的值最大，并求此時點M的坐標及最大值．解：設B(0,4)關于直線l：3x－y－1＝0的對稱點為B′(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－4,x0－0)＝－\f(1,3)，,3·\f(x0＋0,2)－\f(y0＋4,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝3，))所以B′(3,3)．設M′為直線l：3x－y－1＝0上任意一點，則|M′A－M′B|＝|M′A－M′B′|≤AB′.當且僅當M′、B′、A三點共線時，上式等號成立，此時M′即為所求點M.過點A(4,1)、B′(3,3)的直線方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5.))所以直線AB′與直線l的交點為M(2,5)．所以當M點的坐標為(2,5)時，|MA－MB|取得最大值為AB′＝eq\r(5).20．(本小題滿分16分)(2022年高考江蘇卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求證：PC⊥BC；(2)求點A到平面PBC的距離．解：(1)證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.因為∠BCD＝90°，所以BC⊥CD.又P