直線與橢圓的位置關系

橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關系②e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線的距離的比。2.焦半徑及焦半徑公式：橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。x2y2對于橢圓+ =②e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線的距離的比。2.焦半徑及焦半徑公式：橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。x2y2對于橢圓+ =1(a>b>0)，a2b2設P（x，y）為橢圓上一點，由第二定義:左焦半徑r 左——a2x+—0cc a2/.r=ex+—?—=a+ex左 0a c 0右焦半徑r c 右 =——sra2 a 右_xc0=a_ex03.橢圓參數(shù)方程問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN丄Ox,垂足為N,過點B作BN丄AN,垂足為M,求當半徑OA繞O解：設點M的坐標是（x，y），申是以Ox為始邊，OA為終邊的正角，取申為參數(shù)。x=acospy=bsinp（1）那么x=acospy=bsinp（1）y=NM=IOBIsinp這就是橢圓參數(shù)方程：p為參數(shù)時，p稱為“離心角”說明：<1>對上述方程（1）消參即x=copax2y2n—+—=1普通方程y, a2b2—=siup〔b<2>由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數(shù)方程。4.補充名稱方程參數(shù)幾何意義直線x=x+tcosa< 0 （t為參數(shù)）y=y+tsina1 0P（x，y）定點，a傾斜角，t=PoP，oo o 0P（x，y）動點圓x=a+rcos0< （0為參數(shù)）y=b+rsin0A（a，b）圓心，r半徑，P（x，y）動點，0旋轉角橢圓x=acosp< （p為參數(shù)）y=bsinpa長半軸長，b短半軸長p離心角（不是OM與Ox的夾角）—般地，e、p?。?， 2兀］5.直線與橢圓位置關系（1）相離xx2y2—+ =1y=kx+ba2b2

x2y2,+=x2y2,+=1①相離a2b2 無解y=kx+b②求橢圓上動點P(x,y)到直線距離的最大值和最小值，(法形結合，求平行線間距離，作1'//I且r與橢圓相切)，參數(shù)方程法；法二，數(shù)x2y2+=1相切a2b2有一解y=kx+bxxyy過橢圓上一點P(x,y)的橢圓的切線方程為一+ 00 0 0 a2b2x2y2+=1⑶相交o4a2b2有兩解y=kx+b=1①弦長公式：ABI=\(x-x)2+(y-y)21212,i I=vl+k2；■'(x+x)2一4xx1212=<1+k2Ix一xI12八'1+k2?IaI典型例題】TOC\o"1-5"\h\zx2 y2已知A（-2,43）,F是橢圓——^—=1的右焦點，點M在橢圓上移動，當例1. 16 12IMAI+2IMFI取最小值時，求點M的坐標。?11--—p-、$ rA1(A0FJKTOC\o"1-5"\h\z分析：結合圖形，用橢圓的第二定義可得IMAI+21MFI=IMAI+1MPI>IAA'I這里IMPI、IAPI分別表示點A到準線的距離和點M到準線的距離。IMFI 1設直線l是橢圓的右準線，MP丄l，垂足為P，則 =e，IMPI=-解： IMPI e/irr*IMFI，由已知方程得a=4，b=2^3，c=2，e=1,由此得IMPI=丄丨MFI=2e2IMFI，從而得IMAI+2IMFI=IMAI+1MPI>IAA'I，即當點M、A、P三點共線且M是AP內分點時，等號成立，此時IMAI+2IMFI取得最小值，點M的坐標為（2、乜，<3）x2y2TOC\o"1-5"\h\z橢圓——^—=1的焦點為F、F，點P為其上的動點，當ZFPF為鈍角例2. 9 4 1 2 1 2時，點P橫坐標的取值范圍是 o（2000年全國高考題）分析：可先求ZF]PF2=90°時，P點的橫坐標。廠、/ 、 屆在橢圓中，a=3，b=2，c=*5，依焦半徑公式知IPFI=3+x，解：法一 1 35IPFI=3— x，由余弦定理知ZFPF為鈍角oIPFI2+1PF卩<IFF卩o23121212（3+X）23+（3+X）23+（3二X）2<（2*5）2OX2<應填-3<X<法二設P（x,y）,則當ZFPF=90°時，點P的軌跡方程為x2+y2=5,3由此可得點3由此可得點P的橫坐標x=土點P在x軸上時，ZFPF=0；點P在y軸上1233時，ZFPF為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是- <x<=12 V5 V5小結：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式，三角函數(shù)，解不等式知識及推理、計算能力x2y2過橢圓——^—=1內一點M(2，1)引一條弦，使弦被M點平分，求這條例3. 16 4弦所在的直線方程。分析：本例的實質是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進一步的研究。解：法一設所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理，得(4k2+1)x2-(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0，又設直線與橢圓的交點為A（x，y）、B（x，y），則x、x是方程的兩個根，于是x+x1 1 2 2 1 2 1 2 4k2+1x+x 4（2k2_k） 1又M為AB的中點，t一a= 匚=2，解之得k二-—,故所求直線方4k2+1 2程為x+2y-4=0法一設直線與橢圓的交點為A（x，y）、B（x，y），M（2，1）為AB的中點,1122.x+x=4，y+y=2，又A、B兩點在橢圓上，則x2+4y2=16，x2+4y212121122=16，兩式相減得（x2一x2）+4（y2一y2）=01212TOC\o"1-5"\h\zy一y x+x 1.—12—- 1 2=——x-x4（y+y） 21212

即k=-1,故所求直線為x+2y-4=0AB2法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y),由于中點為M(2,1),則另一個交點為B(4—x,2—y)A、B兩點在橢圓上，.??有x2+4y2=16①，(4—x)2+4(2—y)2=16②①—②得：x+2y—4=0由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為x+2y—4=0x=2+tcosa直線方程為屮法四 [y=1+tsina代入橢圓得：(2+tcosa)2+4(1+tsina)2—16=0..4+41cosa+t2cos2a+4+81sina+412sin2a—16=0..(4sina+cosa)t2+(8sim+4coa)t—8=08sina+4cosa?t+t=0, ..— =01 2 4sin2a+cos2a.8sina+2cosa=01..8siia=—2coa,taia=——2即k=—1,故所求直線為x+2y-4=0AB2例4.已知橢圓x2+8y2=8,在橢圓上求一點P,使P到直線l:x—y+4=0的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？解：法一設P（2*2cos0,sin0）（由參數(shù)方程得）I2i：2co0I2i：2co0—sii0+4113sin0(—*)—41其中tan*=2、2,當0—*=其中tan*=2、2,2 min J? 2此時cos0=-sin*=81即P點坐標為P（-,）33法二因l與橢圓相離，故把直線l平移至l',使l'與橢圓相切，則l與l'的距離,即為所求的最小值，設l'即為所求的最小值，設l':x—y+m[x2+8y2=89y2—2my+m2—8=0,令A=4m2—4X9(m2—8)=0解之得m=土3,（—3為最大）,由圖得m=—38i J2此時P（-一，一）,由平行線間距離得l=-3 3 min2x2y2已知橢圓E: —+ =1,P(x,y)是橢圓上一點例5.2516（1）求x2+y2的最大值（2）若四邊形ABCD內接于橢圓E,點A的橫坐標為5,點C的縱坐標為4,求四邊形ABCD的最大面積。分析：題（1）解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2，轉化為x的二次函數(shù)求解。法二：用橢圓的參數(shù)方程，將x、y代入x2+y2,轉化為三角問題求解。法三：令x2+y2=r2,則利用圓與橢圓有公共點這一條件求r2的最值，解題時可結合圖形思考。得最大值為25，最小值為16。題（2）可將四邊形ABCD的面積分為兩個三角形的面積求解，由于AC是定線段，故長度

已定，則當點B、點D到AC所在直線距離最大時，兩個三角形的面積最大，此時四邊形ABCD的面積最大。求得20叮2解：x2 y2(1)法一由 +y=1得y2=16(1-x2),25 1625則xx29x22+y2一x2+16(1- )一16+e[16，25]2525x2+y2的最大值為25,最小值為16x=5cos0法二：令屮 ,y=4sin0貝Ux2+y2=25cos20+16sin20=16+9cos20e[16,25]法三令x2+y2=r2,則數(shù)形結合得r2e[16,25](2)由題意得A(5,0),C(0,4),則直線AC方程為：4x+5y—20=0,又設B(5cos0,4sin0),則點B到直線AC的距離1120cos0+20sin0-201120/2sin(1120cos0+20sin0-201120/2sin(0+-)-2014202-20V41同理點D到直線AC的距離d2<202+20<41???四邊形的最大面積S=IAC1(d+d)=20^212x2y2已知橢圓——+==1（a>b>0）,AB是橢圓上兩點，線段AB的垂直平例6. a2b2分線與x軸相交于點P（x0，0）。a2-b2 a2-b2求證： <x< a 0 a（1992年全國高考題）分析：本題證明的總體思路是：用A、B兩點的坐標x「兀2及a、b來表示x。,

利用一2a<x+x<2a證明由題意知x由題意知x工x且P(x,0),120證明：法一設A(x1，y1)、B(x2,y2)，由丨PAI=IPBI得(x—x)2+y2101又A、又A、B兩點在橢圓上,x2=b2(1一f),a2x2y2=b2(1一a)2 a2代入①整理得2(x-代入①整理得2(x-x)x210=(x22x2)1a2一b2a2x+xa2一b2Tx工x,.:有x=「獷?1 2 0 2 a2又一a<x<a,一a<x<a,且x工x1212一2a<x+x<2a12a2一b2<x<

0a法二令IPAI=r,則以P為圓心，r為半徑的圓的方程為(x-x)2+y2=r2①0x2y2圓P與橢圓+ =1(a>b>0)②交于A、B兩點a2b2a2一b2由①、②消去y整理得 x2一2xx+x2一r2+b2=0a2002a2x由韋達定理得x+x= 葉e(—2a,2a)1 2a2一b2a2一b2 a2一b2 <x<

a 0 a法三設A(x,y)、B(x,y),AB的中點為M(m、n)1122x+x=2m,y+y=2n1212TOC\o"1-5"\h\zx2 y2 x2 y2又A、B兩點在橢圓上+l=1,尸+ 「=1a2 b2 a2 b2, ,, “，(x, ,, “，(x+x)(x則兩式相減得J2 1a2J*(yi+y2)(y1-y2)=0

b2y-y1 2-xy-y1 2-x-x12m-■0+x2m,y+y=2n代入整理得:12a2下略a2下略a2一b2 m=a2這種解題方法通常叫做“端點參數(shù)法”或叫做“設而不求”。3設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸，離心率e=——，已知點P（0，-）例7.2 2到這個橢圓上的點的最遠距離是叮7,求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于玄7的點的坐標解法一：設橢圓的參數(shù)方程為[x=aco?，< （其中a>b>0，0<0<2兀）[y=bsi10c2 b 3由e2= =1一(—)2= ，得a=2ba2 a 4設橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d3則d2=x2+(y一)223=a2coS0+(bsin)- )2

1=-3b2(sin+ )2+4b2+32b如果1>1即b<1TOC\o"1-5"\h\z2b 2那么當sin0=-1時，d2取得最大值O'7)2=(b+ )22由此得b=玄7- >與b<矛盾222因此必有<1，此時當sin0=-時，d2取得最大值(叮7)2=4b2+32b 2b解得b=1，a=2所求橢圓的參數(shù)方程是qx所求橢圓的參數(shù)方程是qx=2cos0y=sin0, 1 V3由si10=- ，co0=土22求得橢圓上到點P的距離等于壬7的點是（—、：3，-丄）與（*3,2x2y2解法二：設所求橢圓的方程為+ =1(a>b>0)解法二：TOC\o"1-5"\h\za2 b2由e2=—=1-(-)2=3，解得-=-a2 a4 a2設橢圓上的點（x，y）到點P的距離為da2 3=a2-—y2+(y- )2b2 29=—3y2