熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

第一章熱傳導(dǎo)方程本章介紹最典型的拋物型方程—熱傳導(dǎo)方程,在研究熱傳導(dǎo),擴(kuò)散等物理現(xiàn)象時都會碰到這種方程.§1熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出1.1熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出物理模型在三維空間中,考慮一平均,各向同性的物體,假定它內(nèi)部有熱源,而且與四周介質(zhì)有熱互換,需要來研究物體內(nèi)部溫度的散布和變化.以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體在地點(x,y,z)度不一樣,產(chǎn)生熱量的傳達(dá),它們按照能量守恒定律.

實時刻

t的溫度

.物體內(nèi)部因為各部分溫能量守恒定律物體內(nèi)部的熱量的增添等于經(jīng)過物體的界限流入的熱量與由物體內(nèi)部的熱源所生成的熱量的總和.在物體內(nèi)隨意截取一塊D.此刻時段[t1,t2]上對D使用能量守恒定律.設(shè)uu(x,y,z,t)是溫度(度),c是比熱(焦耳∕度·千克),是密度(千克/米3),q是熱流密度(焦耳/秒·米2),f0是熱源強(qiáng)度(焦耳/千克·秒).注意到在dt時段內(nèi)經(jīng)過D的界限D(zhuǎn)上小塊dS進(jìn)入地區(qū)D的熱量為qndSdt(n是D的外法向),進(jìn)而由能量守恒律,我們有t2t2c(u|tt2u|tt1)dxdydzdtqndsdtf0dxdydz,（1.1）Dt1t1DD大家知道,熱量流動的原由是因為在物體內(nèi)部存在溫差.依照傳熱學(xué)中的傅立葉實驗定律,在必定條件下,熱流向量與溫度梯度成正比qku,（梯度ugraduu,u,u）（1.2）xyz這里負(fù)號表示熱量是由高溫向低溫流動,k是物體的導(dǎo)熱系數(shù).uqnkunk,n進(jìn)而(1.1)式可改寫為c(u|tt2u|tt1t2dtkudSt2)dxdydzdtf0dxdydz(1.3)Dt1Dnt1D假定u(x,y,z,t)在柱體(0,)內(nèi)擁有連續(xù)微商

u,2u2,2u2,2u2.則應(yīng)用散度定txyz理(或高斯公式)立得:t2dtudxdydzt2(ku)f0dxdydz,t1cdtDtt1D因為被積函數(shù)在(0,)內(nèi)連續(xù),以及[t1,t2],D的隨意性,又因為物體平均,各向同性,c,,k都是常數(shù),立得:cu(ku)f0,tuk(u)f0,tcc(u),,uuuuuu,,xxyyzzxyzxyz2u2u2u記為u,x2y2z2令a2k,ff0,是三維Laplace算子,則ccua2uf,（1.4）t稱為熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)f0時表示熱源,當(dāng)f0時表示熱匯.為了詳細(xì)確立物體內(nèi)部的溫度散布,我們還需要知道物體的初始溫度散布以及經(jīng)過物體的界限受四周介質(zhì)的影響.初始條件u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)界限條件有三類:已知界限上的溫度散布ug(x,y,z,t),這里[0,).特別當(dāng)g常數(shù)時,稱物體的界限保持恒溫.2.已知經(jīng)過界限的熱量ug(x,y,z,t),n(n為上的單位外法向量),g0表示流入,g0表示流出,特別當(dāng)g0表示物體絕熱.3已知經(jīng)過界限與四周介質(zhì)有熱互換.ku0g0u,或uug(x,y,z,t),nn這里g0表示四周介質(zhì)溫度,00表示熱互換系數(shù).k定解問題為了詳細(xì)確立物體的溫度場,我們需要求解熱傳導(dǎo)方程的某一特定的定解問題.設(shè)是空間R3中的有界開地區(qū).第一初邊值問題ua2uf,(x,y,z,t)(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)第二初邊值問題ua2uf,(x,y,z,t)(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)n第三初邊值問題ua2uf,(x,y,z,t)(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)un初值問題(或稱Cauchy問題)ua2uf,(x,y,z,t)R3(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)R3什么是定解問題的解(講解一下)考證u1u(x,t)22u22u0的一個解;2atx是方程a2tx1x22u0的一個解.uu2(x,t)te4a2t,t0(是參數(shù))是方程a22atx2數(shù)學(xué)物理方程的主要問題,在推導(dǎo)出方程以后,求出方程的解.但是求出一個偏微分方程的精準(zhǔn)解一般是困難的.附注1方程ua2uf固然往常稱為熱傳導(dǎo)方程,但絕不僅用來表述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象.事實t上,自然界還有好多現(xiàn)象相同可用這個方程來刻劃,一個重要的例子是考慮某類分子在介質(zhì)(如空氣,水,)中的擴(kuò)散.濃度u的不平均產(chǎn)生疏子運動(擴(kuò)散),它按照質(zhì)量守恒定律.依據(jù)Nernst實驗定律:分子運動速度與濃度的梯度成正比:vDu,D稱為擴(kuò)散系數(shù).進(jìn)而相同可導(dǎo)出分子濃度u合適的方程ua2uf,這里a2是一個與擴(kuò)散系數(shù)成正比的常數(shù),f表t示反響項.所以人們往常把方程ua2uf稱為擴(kuò)散方程,而a2u稱為擴(kuò)散項.t附注2對某些三維問題,假如依據(jù)問題的某些性質(zhì),適入選用坐標(biāo)系,能夠化歸為或近似地化歸為一維或二維問題來辦理.這樣的簡化關(guān)于求解定解問題,特別是求問題的近似解帶來方便.例1.假如物體可當(dāng)作一根細(xì)桿,它的側(cè)表面絕熱,它與四周介質(zhì)的熱互換只在桿的兩頭x0,l進(jìn)行;假如在隨意一個與桿的軸線垂直的截面上,初始溫度和熱源強(qiáng)度的變化很小,那么我們能夠近似地以為桿上的溫度散布只依靠于截面的地點.所以假如取桿的軸線為軸,那么方程(1.4)可改寫為u22uf(x,t)（1.5）a2tx我們稱它為一維熱傳導(dǎo)方程.相同,如考慮薄片物體上的熱傳導(dǎo),薄片的側(cè)面絕熱,可得二維熱傳導(dǎo)方程.例2考慮一半徑為R的球體,它經(jīng)過球表面與四周介質(zhì)有熱互換.假如在球面上全部各點所受四周介質(zhì)的影響都相同,且球內(nèi)隨意一點的初始溫度和熱源強(qiáng)度只依靠于它到球心的距離而與它的方向沒關(guān),那么假如我們選擇以球心為坐標(biāo)原點并引進(jìn)球坐標(biāo),進(jìn)而球內(nèi)的溫度uu(r,t)合適方程ua22u2uf(r,t)tr2rr這是因為uu(x,y,z,t)v(r,t),rx2y2z2.uvrvx,xrxrr2uxvx2vx2vx2vx2r2x2v,x2rrr2r2rxrr2r2r3r同理2u2vy2r2y2v,y2r2r2r3r2u2vz2r2z2v,z2r2r2r3r于是2u2u2uu2y2z2x2vx2y2z23r2x2y2z2vr2r2r3r2v2vr2r.r我們稱它為球?qū)ΨQ問題的熱傳導(dǎo)方程.例3考慮一高為H,半徑為R的圓柱形物體.引入柱坐標(biāo)系,取柱體的軸線為z軸,下底落在z0平面上,假定在柱體的側(cè)表面和上下底上給出的界限條件只分別依靠于z和r(點到軸線的距離),且柱體初始溫度和內(nèi)部熱源亦不過r,z的函數(shù).這樣在柱體內(nèi)溫度uu(r,z,t)合適方程ua22u1u2uf(r,z,t)tr2rrz2這是一個二維軸對稱問題的熱傳導(dǎo)方程.這是因為uu(x,y,z,t)v(r,z,t),rx2y22u2vx2r2x2vx2r2r2r3r2u2vy2r2y2vy2r2r2r3r2u2u2v1vx2y2r2rr若進(jìn)一步假定柱長無量,且經(jīng)過柱體側(cè)表面受四周介質(zhì)的影響是相同的,又若柱體的初始溫度的內(nèi)部熱源只依靠于r,這樣在柱體內(nèi)溫度uu(r