求導法則與求導公式

§2.2求導法例與導數(shù)的基本公式教課目的與要求掌握并能運用函數(shù)的和、差、積、商的求導法例理解反函數(shù)的導數(shù)并能應用；理解復合函數(shù)的導數(shù)并會求復合函數(shù)的導數(shù)；熟記求導法例以及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。教課要點與難度會用函數(shù)的和、差、積、商的求導法例求導；會求反函數(shù)的導數(shù)；會求復合函數(shù)的導數(shù)前面，我們依據(jù)導數(shù)的定義，求出了一些簡單函數(shù)的導數(shù)?？墒?，假如對每一個函數(shù)都用定義去求它的導數(shù),有時將是一件特別復雜或困難的事情。所以，本節(jié)介紹求導數(shù)的幾個基本法例和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式?；诔醯群瘮?shù)的定義，有了這些法例和公式，就能比較方便地求出常有的函數(shù)——初等函數(shù)的導數(shù)。一、函數(shù)的和、差、積、商求導法例函數(shù)的和、差求導法例定理1函數(shù)u(x)與v(x)在點x處可導，則函數(shù)yu(x)v(x)在點x處也可導，且同理可證：[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)即證。注意：這個法例能夠推行到有限個函數(shù)的代數(shù)和，即''''[u1(x)u2(x)un(x)]u1(x)u2(x)un(x)，即有限個函數(shù)代數(shù)和的導數(shù)等于導數(shù)的代數(shù)和。例1求函數(shù)yx4cosxlnx的導數(shù)2解4cosxlnxyx2函數(shù)積的求導公式定理

2

函數(shù)

u(x)

與v(x)在點

x處可導，則函數(shù)

y

u(x)v(x)在點

x也可導，且y'

[u(x)v(x)]'

u'(x)v(x)

u(x)v'(x)。注意：1）特別地，當uc（c為常數(shù)）時，y'[cv(x)]'cv'(x)，即常數(shù)因子能夠從導數(shù)的符號中提出來。并且將其與和、差的求導法例聯(lián)合，可得：y'[au(x)bv(x)]'au'(x)bv'(x)。2）函數(shù)積的求導法例，也能夠推行到有限個函數(shù)乘積的情況，即(u1u2un)'u1'u2unu1u2'unu1u2un'。例2求以下函數(shù)的導數(shù)。1）y3x32x25x4sinx；解y3x32x25x4sinx2）y3x34lnx5cosx解y'4x45sinxx例3求以下函數(shù)的導數(shù)1）yx34xsinx；）yx3lnxcosx2解1）2）函數(shù)商的求導法例定理3函數(shù)u(x)與v(x)在點x處可導，且v(x)0，則函數(shù)yu(x)在點x處也可導，v(x)且vxuvuxx所以yxxvxx.vx因為vx可導,必連續(xù),故limvxxvx,于是x0注意：特別地，當uc（c為常數(shù)）時，總結(jié)：依據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導數(shù)為：二、反函數(shù)的導數(shù)想想：在基本初等函數(shù)中，還有哪些函數(shù)沒有求導法例？在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導數(shù)求法沒有議論，怎樣求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)?？煞窠?jīng)過三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)來求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是能夠的，這就是我們下邊將要介紹的反函數(shù)的導數(shù)：定理4設(shè)函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間是單一連續(xù)，在區(qū)間任一點x處可導，且f(x)0，則它的反函數(shù)xf1(y)在相應區(qū)間內(nèi)也到處可導，且或證因為函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間內(nèi)是單一連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)xf1(y)在相應區(qū)間內(nèi)也是單一連續(xù)函數(shù)。當yf(x)的反函數(shù)xf1(y)的自變量y獲得改變量y(y0)時，由xf1(y)的單調(diào)性知xf1(yy)f1(y)0，于是又因為xf1(y)連續(xù)，所以當y0時，x0。由條件知f(x)0，所以故[f1(x)]1或[f(x)][f1f(x)1(x)]即證。例6求以下反三角函數(shù)的導數(shù)。1）yarcsinx；2）yarccosx；3）yarctanx；4）yarccotx。例7求函數(shù)yax(a0,a1)的導數(shù)。解因為yax(x(,))為對數(shù)函數(shù)xlogay(y(0,))的反函數(shù)，依據(jù)反函數(shù)的導數(shù)法例得所以，指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式為特別地，當ae時，有三、復合函數(shù)的求導法例綜上，我們對基本初等函數(shù)的導數(shù)都進行議論，依據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式，以及求導法例，就能夠求一些較復雜的初等函數(shù)了?？墒?，在初等函數(shù)的組成過程中，除了四則運算外，還有復合函數(shù)形式，比如：ysin2x。思慮：假如ysin2x，能否有(sin2x)'cos2x？所以，要完整解決初等函數(shù)的求導法例還一定研究復合函數(shù)的求導法例。定理設(shè)函數(shù)u(x)在點x處有導數(shù)ux(x)，函數(shù)yf(u)在對應點u處有導數(shù)yuf(u)，則復合函數(shù)yf[(x)]在點x處也有導數(shù)，且簡記為dydydu或yxyuux。dxdudx（證明略）注意：（1）復合函數(shù)的求導法例表示：復合函數(shù)對自變量的的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量求導乘以中間變量對自變量求導。這類從外向內(nèi)逐層的求導的方法，形象稱為鏈式法例。（2）復合函數(shù)的求導法例能夠推行到有限此中間變量的情況。比如，設(shè)yf(u)，ug(v),v(x)，則dydydudv或yxyuuvvxdxdudvdx（3）在嫻熟掌握復合函數(shù)的求導法例后，求導時不用寫出詳細的復合步驟。只要記著哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，而后由外向內(nèi)逐層挨次求導。例8求函數(shù)y23x6的導數(shù)解y653523x1823x例9求函數(shù)ysinln3x的導數(shù)解ycosln3x11cosln3x3x3x2x2例10求冪函數(shù)yxu的導數(shù)。例11求函數(shù)yfsinxsinfx的導數(shù)。解yfsinxcosxcosfxfx例12求以下函數(shù)的導數(shù)。1）yf(1；）yef(x)。x本節(jié)小結(jié)經(jīng)過本節(jié)以及上一節(jié)學習，到當前為止。我們已經(jīng)學習了所有初等函數(shù)的求導公式和函數(shù)的求導法例，以及反函數(shù)、復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法例。進而解決了初等函數(shù)的求導問題。這些公式和法例是基礎(chǔ)，所以，一定要切記和熟記。概括以下：求導法例（1）[uv]'u'v'（）(uv)''vuv