2021年云南省大理市團(tuán)結(jié)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年云南省大理市團(tuán)結(jié)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

=_b

1.若丁="與"-在上都是減函數(shù)，對(duì)函數(shù)y=以3+加的單調(diào)性描述正

確的是（）

人.在（町田）上是增函數(shù)B.在（°，楨°）上是增函數(shù)

C.在（?肛楨0）上是減函數(shù)D.在卜00）上是增函數(shù)，在（68°）上是減函數(shù)

參考答案：

lanC9n^

2.在A4BC中，6,AABC的面積為2,則siiiC+2sin8siaC的最小值為

()

35

A.2B.42D.3

參考答案:

由AAB「的面積為2,

2sinCsinB2cb2cbbe

在AABC中，由正弦定理得,丁血3sin.'c2bcNc-2b>J

16b：8b2?4|.8b‘?4I13

St2b284hJ?2業(yè).了82~22,

當(dāng)且僅當(dāng)b2,c4時(shí)，等號(hào)是成立的，故選C.

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，

共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層

中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問(wèn)題：一座5

層塔共掛了242盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有

燈()

A.162盞B.114盞C.112

盞D.81盞

參考答案：

A

4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減的是()

2-x

A.f(x)=sinxB.f(x)=ln2+x

xx

工(e-e-)

C.f(x)=-|x+1D.f(x)=2

參考答案：

B

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的定義，減

函數(shù)的定義即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而得到正確選項(xiàng).

【解答】解：A.f(x)=sinx在［-1,1］上單調(diào)遞增；

B.f(x)=11T2+7,解在"得該函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,2］；

一4

又f'(x)=(2-x)(2+x).

.'.f(x)在區(qū)間［-1,1］上是減函數(shù)；

12+x_12-x

Irrz-----In——

又f(-x)=2-x2+x=_f(x).

Af(x)是奇函數(shù);

，該選項(xiàng)正確；

C.f(x)=-|x+l|,奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有定義時(shí)f(0)=0；

而這里f(0)=-1；

該函數(shù)不是奇函數(shù)；

x-x

nf(x)4(e-e)-J(e」)=f⑴

D.z,eze；

...該函數(shù)在［-1,1］上不是減函數(shù).

故選B

【點(diǎn)評(píng)】考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及奇函數(shù)的定

義，奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有定義時(shí)f(0)=0,減函數(shù)的定義.

5.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75。，30°,此時(shí)氣球的

高是60m,則河流的寬度BC等于()

A24O(^-l>wB曬&一姓c,120(^-l)mDKXxT+l)m

參考答案:

C

60ABSC

【詳解】47=120,sh7r,?3(r91145*,

所以

…Z"Wn45*60X￡

BC-------------=12O(^-D

snKT

故選C.

6.已知函數(shù)丫=*『(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，y=f(x)的圖

象大致是下圖中的()

c

略

7.某單位的春節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)，組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有5個(gè)除顏色外大

小、質(zhì)地均相同的小球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球，抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮蚊?個(gè)小

球，抽到2個(gè)紅球得一等獎(jiǎng)，1個(gè)紅球得二等獎(jiǎng)，甲、乙兩人各抽獎(jiǎng)一次，則甲得

一等獎(jiǎng)且乙得二等獎(jiǎng)的概率為

3733

A50B50c100D10

參考答案：

A

8.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)‘一在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)。的值

可以是()

A.-2B.1C.2D.3

參考答案：

A

9,定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足了(4-X)=/(力，若X|<X2且

XJ+X2>4,則()

A.f(X|)<f(x2)B.f(X))>f(X2)C.f(x))=f(x2)D.f(X])與f(x2)

的大小不確定

參考答案：

B

略

10.設(shè)4={x|x—a=()},B={x|ax-l=0},且ACB=3,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.1B.-1

C.1或一1D.1,一1或()

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11,已知?jiǎng)tain'0-向,008^^006‘0=.

參考答案：

3

5

12.已知正方體ZMD，的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是以的中點(diǎn)，點(diǎn)。是A80G內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，若則點(diǎn)°到平面的距離的范圍是.

參考答案：

[3,4]

13.設(shè)S“是等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，己知az=3,^=11,則Sk.

參考答案：

49

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì).

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得ai+a”再用前n項(xiàng)和公式求得.

【解答】解：??飛2+a6=ai+a?

7(ai+a?)

.?，二一2一.

故答案是49

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

14.若函數(shù)/8)的圖象如圖所示，/'(力是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且J=是奇函

數(shù)，則下列結(jié)論中

?/(1-x)+/(x+l)=0②八xXx-l)20

③/0cXx-D20正確的序號(hào)是.

參考答案：

①③

n

15.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+3)(xWR),有下列命題:

①丫二。)是以2兀為最小正周期的周期函數(shù)；②y=f(x)可改寫為y=4cos(2x-

開(kāi)兀大

Z);③y=f(x)的圖象關(guān)于(?石,0)對(duì)稱；④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-W對(duì)稱淇中正

確的序號(hào)為—.

參考答案：

(本小題滿分13分)已知sin2a=,aE.⑴求cosa的值.

(2)求滿足sin(a—A:)—sin(a+x)+2cosa=一的銳角x.

解：⑴因?yàn)樨aV兀，所以兀V2a<3兀，所以cos2a=—=—.

又因?yàn)閏os2a=2cos%—1,所以coso=—.

(2)因?yàn)閟in(a-x)—sin(a+x)+2cosa=—

所以2cosa-(l-sinx)=—,所以sinx=.因?yàn)閤為銳角，所以x=.

略

16.已知函數(shù)[若”閆1,2]*€[-1.1]

使」SO2g(x”,則實(shí)數(shù)掰的取值范圍是.

參考答案：

17.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a(aWO)和6,不等式m+6|+14-匕121aMix-11+|X-2|)恒成

立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍

參考答案：

15'

一,一

22]

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

.he''

18.設(shè)函數(shù)“"hl.一曲線J=/(?"在點(diǎn)(1,/(1)處的切線為

j="r1)，2.⑴求科電(H)證明：/(K)>L

參考答案：

解：(1)函數(shù)￡6)的定義域?yàn)?0,+8),

y'(X)=ae1lnx+—-?4a，"+—erl

xxx由題意得f(1)=2,f'(l)=e,解得a=l,b=2；

2tf72

〃x)=/lnx+----xlnx>w-r--

(II)由(I)知x,從而f(x)>1等價(jià)于e,設(shè)函數(shù)

虱?=ax則=i+i“x,所以當(dāng)時(shí),d8<。,當(dāng)時(shí),

或x)>°,故式只在("J

單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而寵8在(0>2)的最

/、1,

f(一)=一一，則MR=-(】r),所以當(dāng)定(01)時(shí)，

小值為er.設(shè)函數(shù)

"（?>0,當(dāng)xwl1?*）時(shí)，*（另<0,故*W在（0」）單調(diào)遞增，在（12）單調(diào)遞減，

從而*w在（0"）的最大值為*?一；.綜上：當(dāng)<>0時(shí)，式功，即

/?>1

略

19.某市近郊有一塊大約500mx500m的接近正方形的荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合

性休閑廣場(chǎng)，首先要建設(shè)如圖所示的一個(gè)矩形場(chǎng)地，其中總面積為3000平方米，其中陰

影部分為通道，通道寬度為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其

中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米.

（1）分別用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式，并給出定義域；

（2）怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，并求出最大值.

參考答案:

_3000

解答：解：(1)由己知xy=3000,二kx,其定義域是(6,500).

S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,

aW-3=^1-3

V2a+6=y,/.2x,

S=(2X-10)-(1500-3)=3030-(l^M+6x)

XX其定義域是（6,500）.

150Q015000

S=3030-(+6X)<3030-2j6x.=3030-2X300=2430

(2)xVx

15000

當(dāng)且僅當(dāng)x即x=5OG(6,500)時(shí)，上述不等式等號(hào)成立，

此時(shí),x=5O,y=60,Smax=243O.

答：設(shè)計(jì)x=50m,y=60m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2430平方米.

略

20.(08年寧夏、海南卷理)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)‘⑶"""薩’"與，曲線＞=小)在點(diǎn)⑵/⑵)處的切線方程為

y=3.

(I)求/(X)的解析式：

(H)證明：函數(shù)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；

(III)證明：曲線y=/(x)上任一點(diǎn)的切線與直線廣1和直線＞=x所圍三角形的面

積為定值，并求出此定值.

參考答案：

/*(x)-a-------r-

【解析】(I)'5+與’，

2a+---=1.a=—,

2+b4

1卜=1，:8

a―2＜占=-一

于是.(2+切解得也=-1，或.3

.s/(x)=

因a.bwZ,故X-1.

1

(H)證明：已知函數(shù)乂=刀，"x都是奇函數(shù).

g（x）=x+一

所以函數(shù)X也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.而

/（X）=X-1+—+1,\八八

X-1.可知，函數(shù)g（>）的圖像按向量4=（川）平移，即得到函數(shù)

/（X）的圖像，故函數(shù)/（K）的圖像是以點(diǎn)QD為中心的中心對(duì)稱圖形.

為+*I

（III）證明：在曲線上任取一點(diǎn)I

一J/八2

由JO（七?1）知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

令1y=*得尸=2%-1,切線與直線y=X交點(diǎn)為（2%-1,2/7）.

直線x=1與直線尸=x的交點(diǎn)為（1,1）.

\居-1卜電-17卜；后卜"-1

從而所圍三角形的面積為二尺一1I々％一11

所以，所圍三角形的面積為定值2.

21.設(shè)關(guān)于x的不等式log?（|x|+|x-4|）>a

（1）當(dāng)a=3時(shí)，解這個(gè)不等式;

（2）若不等式解集為R,求a的取值范圍.

參考答案：

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

專題：計(jì)算題.

分析：(1)把a(bǔ)=3代入不等式可得，log?(|x+|x-4|)>3,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可

得|x|+|x-4|>8,解絕對(duì)值不等式即可.

(2)