專題08 旋轉(zhuǎn)模型證全等（含解析）

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專題08旋轉(zhuǎn)模型證全等

1．已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，則△ADE的面積為（）

A．1B．2C．5D．無法確定

2．如圖，按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)40°得，點(diǎn)D恰好在邊BC上，則∠C＝°．

3．如圖，將繞著直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則度．

4．如圖，五邊形中，，則這個(gè)五邊形的面積等于．

5．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則度．

6．在△ABC中，AO=BO，直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：CD=AC+BD；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：CD=AC-BD；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

7．已知如圖，射線在的內(nèi)部，．點(diǎn)分別在射線上，且．連結(jié)．

（1）如圖1，若，延長到點(diǎn)，使，連接．求證：①≌．

②．

（2）如圖2，若，其它條件不變，問題（1）中的線段之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由．

8．（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，．分別是上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄繄D中線段之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

小明探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使，連結(jié)．先證明，得；再由條件可得，證明，進(jìn)而可得線段之間的數(shù)量關(guān)系是．

（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，．分別是上的點(diǎn)，且．問（1）中的線段之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；

（2）猜想論證

當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．

10．如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)）．當(dāng)旋轉(zhuǎn)至?xí)r，點(diǎn)恰好在同一直線上，此時(shí)作于點(diǎn)E．

（1）求證：；

（2）若，求的面積；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．

11．（1）如圖，、、三點(diǎn)共線，，．

求證：；

（2）如圖，在中，，，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，

求的面積；

（3）在中，，，點(diǎn)在上，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，要是點(diǎn)恰好落在射線上，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

（2023觀成周考）

12．（2023觀成周考）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上的一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

13．如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求證：AC＝DC．

14．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．

15．如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點(diǎn)于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．

（1）求證：BE＝AD；

（2）若將等腰△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）

參考答案：

1．A

【分析】因?yàn)橹繟D的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出△ADE的面積．過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構(gòu)造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可．

【詳解】過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，

∵∠EDF+∠FDC=90°，

∠GDC+∠FDC=90°，

∴∠EDF=∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，

所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目需要作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用全等三角形和面積公式來解答．對同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力要求較高，是一道好題．

2．70

【分析】由于△ABC按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角后成為△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．

【詳解】∵△ABC按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角后成為△AED，

∴△ABC≌△AED，

∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，

∴∠C＝＝＝70°．

故答案為：70．

【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．

3．70

【分析】首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)等角轉(zhuǎn)換，即可得解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ABC≌△A′B′C，

∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°，

∴∠CAA′=∠CA′A=45°

∵

∴∠BAC=25°

∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70°

故答案為：70.

【點(diǎn)睛】此題主要考查利用全等三角形，旋轉(zhuǎn)求解角度，熟練掌握，即可解題.

4．1

【分析】將三角形ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB與AE重合，連AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．

【詳解】解：延長DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），

∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°，

∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°，

∴D、E、F三點(diǎn)共線，

又∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD（SSS），

∴，

∵AB=CD=AE=BC+DE，，

∴DF=CD=1，

∵，

∴．

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查全了等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

5．132

【分析】先證明△BDC≌△AEC，進(jìn)而得到角的關(guān)系，再由∠EBD的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得到答案．

【詳解】解：∵，∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴．

故答案為132

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題．

6．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CD=BD-AC，證明見解析.

【分析】（1）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC+BD；

（2）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC-BD；

（3）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=BD-AC．

【詳解】解：（1）如圖1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD；

（2）如圖2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

（3）如圖3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．

【點(diǎn)睛】此題是一道幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)探究題目，對于學(xué)生的能力要求比較高.

7．（1）①見解析；②見解析；（2）不發(fā)生變化，仍然有，理由見解析．

【分析】（1）①根據(jù)SAS即可證得結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，進(jìn)而可得∠EAF=∠GAF，然后根據(jù)SAS即可證明△EAF≌△GAF，可得EF＝FG，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG，根據(jù)SAS可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，然后仿（1）題的思路證明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，進(jìn)而可得結(jié)論．

【詳解】解：（1）證明：①如圖1，在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）；

②由①知：△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵∠EAF＝∠CAM=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，，

∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，

∵GF＝DG+DF，BE＝DG，

∴BE+DF＝EF；

（2）不發(fā)生變化，結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如圖3，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．

∵，，∴∠ABE=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

在△AEF和△GAF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF．

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

8．（1）；（2）結(jié)論仍然成立；證明見解析．

【分析】（1）延長到點(diǎn)．使．連結(jié)，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；

（2）延長到點(diǎn)．使．連結(jié)，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題．

【詳解】（1），

理由如下：

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案為：．

（2）結(jié)論仍然成立；

理由：延長到點(diǎn)．使．連結(jié)，如圖2，

∵，，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，四邊形綜合題，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．

9．（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2

【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；

（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AEDADEB即可求解．

【詳解】解：（1）如圖1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴ABE＝90°，

∴AB⊥BE，

∵AB＝AD+BD，AD＝BE，

∴AB＝BD+BE，

故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．

（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵AD＝AB+BD，AD＝BE，

∴BE＝AB+BD．

②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE，

∵BD＝AB+AD，AD＝BE，

∴BD＝AB+BE．

（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝5+7＝12，

∵BE⊥AD，

∴S△AEDADEB12×12＝72．

如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，

∵BE⊥AD，

∴S△AEDADEB2×2＝2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．

10．（1）見解析；（2）9；（3）4.8

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，利用“角角邊”證明和△全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求得PC的長，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；

（3）過D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時(shí)H點(diǎn)即為N點(diǎn)，連接CM，再由等積法即可求出DN，即為MC+MN的最小值．

【詳解】解：（1）證明：是旋轉(zhuǎn)得到，

，

，

，，

，，

又

；

（2）如圖，過點(diǎn)作于，

又，，

，

，

，

又，

，

在和△中，

，

△，

，

，

，，

，，

設(shè)，則，，

在中，，

解得，

，

∴△PBC的面積==9；

（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，

∴點(diǎn)D為C點(diǎn)關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，連接CD，

過D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時(shí)H點(diǎn)即為N點(diǎn)，連接CM，

∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，

由等面積法得：

，

∴，

即，

∴，

∴，

∴．

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，（2）作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．

11．（1）證明見解析；（2）8；（3）8

【分析】（1）由已知條件不難證明，再結(jié)合已知條件即可證明≌．

（2）將邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)的角度，進(jìn)而證明四邊形是直角梯形，用梯形的面積減去的面積即可得到的面積．

（3）類比第（1）問的證明過程，不難證明≌，即可得出OB=PC，由已知分別條件求出EC、OB的長度，即可得出EP的長度，即可得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

【詳解】（1），

，

，

在與中，

≌．

（2）如圖，將邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，

，，

由題意可得：，

∴

，

四邊形是直角梯形，

=

=

=

=

=8；

（3），，

OB=2，

由題意可得：，OP=OF，

，

，

，

，

，

，

在與中，

，

≌，

OB=PC=2，

EP=EC+PC=6+2=8，

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=8÷1=8秒．

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是較為典型的一線三等角證明三角形全等，根據(jù)題意得出對應(yīng)的角相等，從而證明三角形全等是解題關(guān)鍵．

12．（1）α＋β=180°，理由見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)或點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，α＋β=180°；當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上移動(dòng)時(shí)，α=β，理由見解析．

【分析】（1）利用SAS證出△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)點(diǎn)D的位置分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【詳解】解：（1）α＋β=180°，理由如下

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，由（1）知α＋β=180°；

②當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，如下圖所示

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

③當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上移動(dòng)時(shí)，如下圖所示，連接BE

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE

∴∠DAB=∠EAC

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC=∠BCE

∴α=β．

綜上：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)或點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，α＋β=180°；當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上移動(dòng)時(shí)，α=β．

【