2022年高考沖刺理科數(shù)學(xué)解析匯編立體幾何

2022年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：立體幾何一、選擇題AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新課標(biāo)理））已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且;則此棱錐的體積為 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新課標(biāo)理））如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻著,在翻著過程中, （）A．存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直D．對(duì)任意位置,三直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（重慶理））設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,和,且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面,則的取值范圍是 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））如圖,半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi),過點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn),過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交,所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為,該交線上的一點(diǎn)滿足,則、兩點(diǎn)間的球面距離為 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））下列命題正確的是 （）A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海春））已知空間三條直線若與異面,且與異面,則[答] （）A．與異面. B．與相交.C．與平行. D．與異面、相交、平行均有可能.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陜西理））如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,,則直線與直線夾角的余弦值為 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））如圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x(0<x<1),截面下面部分的體積為V(x),則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南理））某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可能是AA圖1BCDAUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積,求其直徑的一個(gè)近似公式.人們還用過一些類似的近似公式.根據(jù)判斷,下列近似公式中最精確的一個(gè)是 （）側(cè)視圖正視圖24242俯視圖A． B． C．側(cè)視圖正視圖24242俯視圖(一)必考題(11—14題)AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 （）A． B．C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（廣東理））(立體幾何)某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（福建理））一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個(gè)幾何體不可以是 （）A．球 B．三棱柱 C．正方形 D．圓柱AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大綱理））已知正四棱柱中,為的中點(diǎn),則直線與平面的距離為 （）A．2 B． C． D．1AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））設(shè)平面與平面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且,則“”是“”的 （）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．即不充分不必要條件二、填空題AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））―個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積為______.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積等于___________cm3.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小是____________.ABCDAUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））如圖,AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱,BC=2。若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù),則四面體ABCDABCDAUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面,則該圓錐的體積為_________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山東理））如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,分別為線段上的點(diǎn),則三棱錐的體積為____________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））已知正三棱錐ABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為的求面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江蘇））DABC,,則四棱錐的體積為____cm3.DABCAUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大綱理））三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為_____________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是.三、解答題AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,,,.(Ⅰ)證明丄;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)設(shè)E為棱上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長(zhǎng).AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新課標(biāo)理））如圖,直三棱柱中,,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)過點(diǎn)A作AQ⊥PC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（重慶理））(本小題滿分12分(Ⅰ)小問4分(Ⅱ)小問8分)如圖,在直三棱柱中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點(diǎn)(Ⅰ)求點(diǎn)C到平面的距離;(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））如圖,在三棱錐中,,,,平面平面.(Ⅰ)求直線與平面所成角的大小;(Ⅱ)求二面角的大小.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).已知AB=2,AD=2,PA=2.求:ABCDABCDPE(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海春））如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為,高為,為線段的中點(diǎn).求:(1)三棱錐的體積;(2)異面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陜西理））(1)如圖,證明命題“是平面內(nèi)的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則”為真.(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需要證明)AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山東理））在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,∥,平面.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））如圖,直三棱柱,,點(diǎn)M,N分別為和的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為直二面角,求的值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。(1)證明在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使得平面,并求出的長(zhǎng);(2)求平面與平面夾角的余弦值。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江蘇））不同于點(diǎn)),且為的中點(diǎn).求證:(1)平面平面;(2)直線平面.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南理））如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:CD⊥平面PAE;(Ⅱ)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.AABCDPE圖5AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））如圖1,,,過動(dòng)點(diǎn)A作,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿將△折起,使(如圖2所示).(Ⅰ)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐的體積最大;(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),試在棱上確定一點(diǎn),使得,并求與平面所成角的大小.DDABCACDB圖2圖1ME.·AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（廣東理））如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線段上,平面.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（福建理））如圖,在長(zhǎng)方體中為中點(diǎn).(Ⅰ)求證:(Ⅱ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,說明理由.[(Ⅲ)若二面角的大小為,求的長(zhǎng).AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大綱理））(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,,是上的一點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)設(shè)二面角為,求與平面所成角的大小.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C(1)求證:A1C(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大小;(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））平面圖形如圖4所示,其中是矩形,,,.現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對(duì)此空間圖形解答下列問題..(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求的長(zhǎng);(Ⅲ)求二面角的余弦值.2022年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：立體幾何參考答案一、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】選的外接圓的半徑,點(diǎn)到面的距離為球的直徑點(diǎn)到面的距離為此棱錐的體積為另:排除LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】選該幾何體是三棱錐,底面是俯視圖,高為此幾何體的體積為L(zhǎng)ISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】最簡(jiǎn)單的方法是取一長(zhǎng)方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項(xiàng)B是正確的.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】A【解析】.【考點(diǎn)定位】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查空間相象力,極限思想的運(yùn)用,是中檔題.LISTNUMOutlineDefault\l3[答案]A[解析]以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B、OC、OA所在直線為x、y、z軸,則,A,[點(diǎn)評(píng)]本題綜合性較強(qiáng),考查知識(shí)點(diǎn)較為全面,題設(shè)很自然的把向量、立體幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合到了一起.是一道知識(shí)點(diǎn)考查較為全面的好題.要做好本題需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功.LISTNUMOutlineDefault\l3[答案]C[解析]若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故B錯(cuò);若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯(cuò);故選項(xiàng)C正確.[點(diǎn)評(píng)]本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式.LISTNUMOutlineDefault\l3DLISTNUMOutlineDefault\l3解析:不妨設(shè),則,,直線與直線夾角為銳角,所以余弦值為,選A.LISTNUMOutlineDefault\l3A【解析】本題綜合考查了棱錐的體積公式,線面垂直,同時(shí)考查了函數(shù)的思想,導(dǎo)數(shù)法解決幾何問題等重要的解題方法.(定性法)當(dāng)時(shí),隨著的增大,觀察圖形可知,單調(diào)遞減,且遞減的速度越來越快;當(dāng)時(shí),隨著的增大,觀察圖形可知,單調(diào)遞減,且遞減的速度越來越慢;再觀察各選項(xiàng)中的圖象,發(fā)現(xiàn)只有A圖象符合.故選A.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問題,若函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí),作為選擇題,沒必要去求解具體的解析式,不但方法繁瑣,而且計(jì)算復(fù)雜,很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄;再次,作為選擇題也沒有太多的時(shí)間去給學(xué)生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且準(zhǔn)確節(jié)約時(shí)間.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】D【解析】本題是組合體的三視圖問題,由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知,原圖下面圖為圓柱或直四棱柱,上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是該幾何體的俯視圖,D不可能是該幾何體的俯視圖,因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查空間想象能力.是近年高考中的熱點(diǎn)題型.LISTNUMOutlineDefault\l3考點(diǎn)分析:考察球的體積公式以及估算.解析:由,設(shè)選項(xiàng)中常數(shù)為,則;A中代入得,B中代入得,C中代入得,D中代和主得,由于D中值最接近的真實(shí)值,故選擇D.LISTNUMOutlineDefault\l3考點(diǎn)分析:本題考察空間幾何體的三視圖.解析:顯然有三視圖我們易知原幾何體為一個(gè)圓柱體的一部分,并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體,底面圓的半徑為1,圓柱體的高為6,則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B.LISTNUMOutlineDefault\l3解析:C.該幾何體下部分是半徑為3,高為5的圓柱,體積為,上部分是半徑為3,高為4的圓錐,體積為,所以體積為.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】D【解析】分別比較ABC的三視圖不符合條件,D符合.【考點(diǎn)定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查空間想象能力、邏輯推理能力.LISTNUMOutlineDefault\l3答案D【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用,以及點(diǎn)到面的距離的求解.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸的思想的運(yùn)用,以及線面平行的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可.【解析】連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié),因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以,且,所以,即直線與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的距離,過C做于,則即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2,高為,所以,,,所以利用等積法得,選D.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,本題所求表面積為三棱錐四個(gè)面的面積之和.利用垂直關(guān)系和三角形面積公式,可得:,因此該幾何體表面積,故選B.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題,原來考查的是棱錐或棱柱的體積而今年者的是表面積,因此考查了學(xué)生的計(jì)算基本功和空間想象能力.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】選=1\*GB3①=2\*GB3②如果;則與條件相同二、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【命題意圖】本試題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖的畫法與體積的計(jì)算以及空間想象能力.【解析】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體,所以其體積為:=.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】1【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形,右側(cè)面也是一直角三角形.故體積等于.LISTNUMOutlineDefault\l3[答案]90o[解析]方法一:連接D1M,易得DN⊥A1D1,DN⊥D1M所以,DN⊥平面A1MD1,又A1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夾角為90o方法二:以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)故,所以,cos<=0,故DN⊥D1M,所以?shī)A角為90o[點(diǎn)評(píng)]異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑:第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理;第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決.LISTNUMOutlineDefault\l3ADBEC[解析]作BE⊥AD于E,連接CE,則AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD,ADBEC由題設(shè),B與C都是在以AD為焦距的橢球上,且BE、CE都垂直于焦距AD,所以BE=CE.取BC中點(diǎn)F,連接EF,則EF⊥BC,EF=2,,四面體ABCD的體積,顯然,當(dāng)E在AD中點(diǎn),即B是短軸端點(diǎn)時(shí),BE有最大值為b=,所以.[評(píng)注]本題把橢圓拓展到空間,對(duì)缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大!當(dāng)然,作為填空押軸題,區(qū)分度還是要的,不過,就搶分而言,膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn):AB=BD(同時(shí)AC=CD),從而致命一擊,逃出生天!LISTNUMOutlineDefault\l3POrlhPl2r[解析]如圖,l=2,又2r2=l=2POrlhPl2r所以h=,故體積.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以點(diǎn)到平面的距離為1,即,所以.【答案】LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】因?yàn)樵谡忮FABC中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分,(如圖所示),此正方體內(nèi)接于球,正方體的體對(duì)角線為球的直徑,球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn).球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高.已知球的半徑為,所以正方體的棱長(zhǎng)為2,可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為,所以球心到截面ABC的距離為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想,該題靈活性較強(qiáng),難度較大.該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手,注意到條件中的垂直關(guān)系,把三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來考慮就容易多了.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】38【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱,其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積,即為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,屬于容易題.本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出表面積.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】6.【考點(diǎn)】棱錐的體積.【解析】cm,cm(它也是中上的高).四棱錐的體積為.LISTNUMOutlineDefault\l3答案【命題意圖】本試題考查了斜棱柱中異面直線的角的求解.用空間向量進(jìn)行求解即可.【解析】設(shè)該三棱柱的邊長(zhǎng)為1,依題意有,則而LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】92【解析】由三視圖可知,原幾何體是一個(gè)底面是直角梯形,高為4的直四棱柱,其底面積為,側(cè)面積為,故表面積為92.【考點(diǎn)定位】考查三視圖和表面積計(jì)算.三、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設(shè)平面的法向量則取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則，即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.(2)解:如圖,作于點(diǎn),連接,由,可得平面.因此,,從而為二面角的平面角.在中,,由此得,由(1)知,故在中,,因此,所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題相似,但底面是非特殊的四邊形,一直線垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點(diǎn)E的位置是不確定的,需要學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行確定,如此說來就有難度,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】(1)在中,得:同理:得:面(2)面取的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,面面面得:點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè),則,既二面角的大小為L(zhǎng)ISTNUMOutlineDefault\l3【解析】本題主要考察線面平行的證明方法,建系求二面角等知識(shí)點(diǎn).(Ⅰ)如圖連接BD.∵M(jìn),N分別為PB,PD的中點(diǎn),∴在PBD中,MN∥BD.又MN平面ABCD,∴MN∥平面ABCD;(Ⅱ)如圖建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),N(,0,0),C(,3,0).設(shè)Q(x,y,z),則.∵,∴.由,得:.即:.對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為.∵.則.∴.同理對(duì)于平面AMN得其法向量為.記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為,則.∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為.【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).LISTNUMOutlineDefault\l3【考點(diǎn)定位】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí),具體涉及到線面垂直的關(guān)系,二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練進(jìn)行線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化,主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力.本題可以利用空間向量來解題,從而降低了題目的難度.解:(1)由,為的中點(diǎn),得,又,故,所以點(diǎn)到平面的距離為(2)如圖,取為的中點(diǎn),連結(jié),則,又由(1)知,故,所以為所求的二面角的平面角.因?yàn)樵诿嫔系纳溆?又已知,由三垂線定理的逆定理得,從而都與互余,因此,所以,因此,,即,得.從而,所以,在中,LISTNUMOutlineDefault\l3[解析](1)連接OC.由已知,所成的角設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接PD、CD.因?yàn)锳B=BC=CA,所以CDAB.因?yàn)榈冗吶切?不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=,AB=4.所以CD=2,OC=.在Rttan.故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan(2)過D作DE于E,連接CE. 由已知可得,CD平面PAB.根據(jù)三垂線定理可知,CE⊥PA,所以,.由(1)知,DE=在Rt△CDE中,tan故[點(diǎn)評(píng)]本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查思維能力、空間想象能力,并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力.LISTNUMOutlineDefault\l3ABCDPExyz[解](1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CDABCDPExyz從而CD⊥PD因?yàn)镻D=,CD=2,所以三角形PCD的面積為(2)[解法一]如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,,1),,設(shè)與的夾角為,則,=.ABCDPEF由此可知,異面直線BCABCDPEF[解法二]取PB中點(diǎn)F,連接EF、AF,則EF∥BC,從而∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角在中,由EF=、AF=、AE=2知是等腰直角三角形,所以∠AEF=.因此異面直線BC與AE所成的角的大小是LISTNUMOutlineDefault\l3解(1),又為三棱錐的高,(2),所以或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線與所成的角.連接平面,在中,,故,即異面直線與所成的角為L(zhǎng)ISTNUMOutlineDefault\l3解析:(1)證法一如圖,過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線,設(shè)直線的方向向量分別是,則共面,根據(jù)平面向量基本定理,存在實(shí)數(shù)使得則因?yàn)?所以又因?yàn)?,所以故,從而證法二如圖,記,為直線上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過P作,垂足為O,則∵,,∴直線又,平面,∴平面,又平面,∴(2)逆命題:a是平面內(nèi)一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則.逆命題為真命題.LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知,即,在中,∠DAB=60°,,則為直角三角形,且.又AE⊥BD,平面AED,平面AED,且,故BD⊥平面AED;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,設(shè),則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)向量為平面的法向量,則,即,取,則,則為平面的一個(gè)法向量.,而二面角F-BD-C的平面角為銳角,則二面角F-BD-C的余弦值為.解法二:取的中點(diǎn),連接,由于,因此,又平面,平面,所以由于平面,所以平面故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因?yàn)?又,所以,故,因此二面角的余弦值為.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案及解析】(1) 證明:取中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,而M,N分別是A與的中點(diǎn),所以,MP∥A,PN∥,所以,MP∥平面AC,PN∥平面AC,又,因此平面MPN∥平面AC,而MN平面MPN,所以,MN∥平面AC,【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定,借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】解:(1)證明:連接AO,在中,作于點(diǎn)E,因?yàn)?得,ByOCAEzA11BByOCAEzA11B1C1x得,所以平面,所以,所以平面,又,得(2)如圖所示,分別以所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,-2,0),A1,2),B(0,2,0)由(1)可知得點(diǎn)E的坐標(biāo)為,由(1)可知平面的法向量是,設(shè)平面的法向量,由,得,令,得,即所以即平面平面與平面BB1C1C夾角的余弦值是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直,二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力.高考中,立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直,平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明;二、考查空間幾何體的體積與表面積;三、考查異面角,線面角,二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問,第3種考查多出現(xiàn)在第2問;對(duì)于角度問題,一般有直接法與空間向量法兩種求解方法.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】證明:(1)∵平面.又∵平面,.又∵平面,平面.又∵平面,平面平面.(2)∵為的中點(diǎn),.又∵平面,且平面,.又∵平面,,平面.由(1)知,平面,∥.又∵平面平面,直線平面【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.【解析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面即可.它可由已知證得.(2)要證直線平面,只要證∥平面上的即可.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】解法1(Ⅰ如圖(1)),連接AC,由AB=4,,E是CD的中點(diǎn),所以所以而內(nèi)的兩條相交直線,所以CD⊥平面PAE.(Ⅱ)過點(diǎn)B作由(Ⅰ)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是為直線PB與平面PAE所成的角,且.由知,為直線與平面所成的角.由題意,知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅?故于是在中,所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為ABCDPE圖②xABCDPE圖②xyz345h(Ⅰ)易知因?yàn)樗远瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線,所以(Ⅱ)由題設(shè)和(Ⅰ)知,分別是,的法向量,而PB與所成的角和PB與所成的角相等,所以由(Ⅰ)知,由故解得.又梯形ABCD的面積為,所以四棱錐的體積為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積,或者建立空間直角坐標(biāo)系,求得高幾體積.LISTNUMOutlineDefault\l3考點(diǎn)分析:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何取到最值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值.同時(shí)考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些.解析:(Ⅰ)解法1:在如圖1所示的△中,設(shè),則.由,知,△為等腰直角三角形,所以.由折起前知,折起后(如圖2),,,且,所以平面.又,所以.于是,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故當(dāng),即時(shí),三棱錐的體積最大.解法2:同解法1,得.令,由,且,解得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),取得最大值.故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大.(Ⅱ)解法1:以為原點(diǎn),建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系.由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),,.于是可得,,,,,,且.設(shè),則.因?yàn)榈葍r(jià)于,即,故,.所以當(dāng)(即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí),.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由及,得可取.設(shè)與平面所成角的大小為,則由,,可得,即.故與平面所成角的大小為CACADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN圖cBDPCFNEBGMNEH圖dN解法2:由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),,.如圖b,取的中點(diǎn),連結(jié),,,則∥.由(Ⅰ)知平面,所以平面.如圖c,延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得,連,,則四邊形為正方形,所以