概率論試題庫

概率論試題庫考試試卷分布說明：試卷共四個大題：選擇題、填空題、判斷題和解答題，共22個小題。其中：選擇題共5個小題（4個基礎(chǔ)題，1個能力題），每小題4分，共20分；填空題共6個（5個基礎(chǔ)題，1個能力題），每小題4分，共24分；判斷題共6個（5個基礎(chǔ)題，1個能力題），每小題2分，共12分；解答題共5個（3個基礎(chǔ)題，1個能力題,1個提高題），3個基礎(chǔ)題每小題8分，能力題和提高題各10，共44分。滿足:基礎(chǔ)題：能力題：提高題=7:2:1。一、選擇題40小題。（每小題4分，共5小題，共20分）1、從四個乒乓球種子選手中選兩個人代表學(xué)校出去比賽，在比賽前采用每兩個人都對決的選拔賽，則選拔賽共要舉行的場數(shù)為（A）A、6 B、30 C、4 D、32、下列不屬于抽樣調(diào)查的特點的是（D）A、經(jīng)濟性 B、時效性 C、廣泛性 口、客觀性3、書架上一共有3本英文書，2本法文書，5本中文書，從中任取一本，則取得的書是外文書的概率（A）A、0.5 B、0.1 C、0.2 D、0.64、設(shè)某種電燈泡的壽命X服從正態(tài)分布N（小。2），其中從是未知的，現(xiàn)在隨機的抽取4只這種燈泡，測得其壽命為1500，1455,1368,1649,是估計總體均值從為（C）A、1500 B、1649 C、1493 D、13685、某人從A地到B地要經(jīng)過兩個有紅、黃、綠燈的交通路口，則他一路是碰綠燈的概率是（C）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1A、一 B、一 C、—— D、一4 2 27 96、下列表格是某隨機變量&的分布列：則表中a的取值是（C）g-2-1012345p0.140.20.1a0.160.150.050.06A、0.05 B、0.13 C、0.14 D、0.127、小明打開收音機，想聽電臺報時（1小時報一次時），則他等待的時間小于1刻鐘的概率是（A）A、0.25B、0.6C、0.5D、0.45

A、0.25B、0.6C、0.5D、0.458、隨機變量&?N（20,25）,則隨機變量&的標(biāo)準(zhǔn)差是（D）A、20 B、25 C、45 D、59、甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，甲命中的概率為0.8,乙命中的概率為0.4,則目標(biāo)被擊中的概率為（B）A、0.32 B、0.88 C、0.8 D、0.110、設(shè)事件A與B互不相容，且P（A）。0,P（B）。0，則下面結(jié)論正確的是（D）A、A與B互不相容； B、PB|A）>0;C、P（AB）=P（A）P（B）; D、P（AB）=P（A）11、書架上一共有3本英文書，2本法文書，5本中文書，從中任取一本，則取得的書是外文書的概率（A）A、0.5B、0.1C、0.2 D、0.6A、0.5B、0.1C、0.2 D、0.612、甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，甲命中的概率為0.6,乙命中的概率為0.5,則目標(biāo)被兩人都擊中的概率為（D）A、0.32 B、0.5C、0.56 D、0.3A、0.32 B、0.5C、0.56 D、0.313、某人從甲地到乙地要經(jīng)過三個有紅、綠燈的交通路口，則他一路是碰綠燈的概率是13、某人從甲地到乙地要經(jīng)過三個有紅、綠燈的交通路口，則他一路是碰綠燈的概率是A、B、C、D、A、B、C、D、14、從數(shù)字1、2、3、4、5中，隨機抽取3個數(shù)字組成一個不重復(fù)的3位數(shù)，其各位數(shù)字之和為6的概率為（D）A、3125B、C、D、A、3125B、C、D、1912515、設(shè)A、B、C15、設(shè)A、B、C為三個事件，則A、B、C至少發(fā)生一個的事件應(yīng)該表示為（B）A、ABC B、AUBUCC、ABCA、ABC B、AUBUCC、ABCD、ABC16、p為二維隨機變量代、n）的兩個分量&與n的相關(guān)系數(shù)，則&、n以概率1線性相關(guān)的充要條件是（d）A、|p|=0 B、p=-1 C、p=1 D、p=±117、每次試驗成功的概率是p（0<p<1），重復(fù)進行試驗直到第n次才取得r（1<r<n）次成功的概率是（A）

A、CrPrG-PI-nA、CrPrG-PI-nC、Pr(I”)rB、D、C1PrG-P1rn-1Cr-1Pn-1r-1(1-P)-r18、、設(shè)己服從雙(0,1)分布，且n=a5+b,則D(n)=(D)A、a-bB、a+bC、a D、a219、設(shè)A、B、C為三個事件，則A、B、C至少發(fā)生兩個的事件應(yīng)該表示為(A)A、ABUACUBCB、ABUACUBCUABC C、ABC D、AUBUC20、某隨機變量&服從參數(shù)為10的普哇松分布，則其數(shù)學(xué)期望是(B)A、1 B、10 C、0 D、10021、若函數(shù)f(x)是某一隨機變量X的概率密度，則一定成立的是(C)A、f(x)的定義域為［0,1］； B、f(x)的值域為［0,1］；C、f(x)非負(fù)； D、f(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)A)22、設(shè)隨機變量&~N(小。2)，則下列各式中服從N(0,1)的是(A)A、己-從oB、C、0-1oD、WA、己-從oB、C、0-1oD、W-0N23、設(shè)&與n為兩個隨機變量則下列各式一定正確的是(C)a、d(i+n)=d(1)+d(n)B、D《n)=D色)D(n)c、e《+n)=e化)+e(n)D、E《n)=E化)E(n)24、設(shè)隨機變量的弓的分布律是:g-2-1012p10211則n42的分布律是(DA、n4241014p10211B、n4241014p25024252525

n42014p212555C、n4C、n42014p212555D、25、將3個不同的球隨機地放入4個不同的杯中，有一個杯子放入2個球的概率是(B)..TOC\o"1-5"\h\z, C2 -C2 口 C2 ?P2 0 C2?P2 八C2 -C2A、 一3 4- B、 C、 4- D、 443 43 34 3426、下列函數(shù)中，可看作某一隨機變量X的概率分布密度函數(shù)的是(C)AfAf(X)=1+X2,—8<x<+8；B、f(X)= 1,-8<X<+8；1+X2C、f(C、f(X)=八1 、，-8<X<+8；九(1+X2)D、f(X)= 2 ,—8<X<+8.兀(1+X2)27、己知隨機變量X,y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(2,4),則(B).A、X+y?N(4,4) B、X+y?N(4,8)C、X—y?N(0,4) D、X-y不服從正態(tài)分布28、己知隨機變量X服從二項分布B(10,0.2),則方差D(X)=(D).A、1； B、0.5； C、0.8； D、1.6.29、如果X,y滿足D(X+Y)=D(X—Y，則必有( B)A、X與y獨立 B、X與y不相關(guān)C、D(Y)=0D、D(X)=030、對于事件A和B，下述命題正確的是(B)(A)如果A與B互不相容，則A與B相互對立(B)如果A與B相互對立，則A與B互不相容(C)如果A與B相互獨立，則A與B互不相容(D)如果A與B互不相容，則A與B相互獨立31、若P(B|A)=0,則下列命題中正確的是(B)(A)BuA (B)AB=① (C)AuB (D)A-B=①32、匕,n相互獨立且都服從正態(tài)分布、(1，32)，則D(2,F)=(C)(A)-8 (B)9 (C)45 (D)60(以下是能力題)33、某商家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的商品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3：4：7,現(xiàn)在分層抽樣法抽取一個容量為n的樣本，其中樣本中乙種型號商品有24件,則此樣本容量n為(C)A、160 B、80 C、84 D、9634、連續(xù)型隨機變量&的密度函數(shù)為p(x)=；x了xe[0.2b則d6)為(、0,xe[0,2]D)1 3A、— B、二2 10C1、、20D、-935、連續(xù)型隨機變量&的密度函數(shù)為p(x)=<6x(1-x),xe[0,1]、0,x電[0,1]，則D())為(C)13A、— B、二2 10C、—20D、1436、離散型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則*=*二D)、P(xkrXG"J； b、/%，—F(xk/；C P(x<X<x)； d F(x)—F(x)37、設(shè)某機器產(chǎn)生的產(chǎn)品有缺陷的概率為0.05,則20件產(chǎn)品之中至少有1件有缺陷的概率為(A)A、0.7358 B、0.1 C、0.8534 D、0.650338、設(shè)樣本空間U={1,2,3,…，10},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7},則A(BoC)TOC\o"1-5"\h\z表示的集合是( )A、{3,4} B、{1,3,8,9}C、{4,5}D、{1,2,5,6,7,8,9,10}39、5、己知隨機變量X的期望E(X)=5,方差D(X)=4,則(a).8 8A、P||X-5|<6}>§； B、P{|X-5|<6}<§；, . 8 . . 8C、P{|X-5|>6}>§； D、P{|X-5|>6}<§.40、、一盒產(chǎn)品中有?只正品，b只次品，有放回地任取兩次，第二次取到正品的概率為(C)A、B、a(a-A、B、a(a-1)(a+b)(a+b-1)C、D、二、填空題填空題48小題。(每小題4分，共6小題，24分)1、設(shè)一個容量為7的樣本是：2,11,8,4,3,6,15,則樣本中的中位數(shù)是。32、將一枚硬幣均勻投擲三次，則三次中恰好出現(xiàn)兩次正面向上的概率為3。8TOC\o"1-5"\h\z3、若事件A、B相互獨立，且P(A)=0.4,P(B)=0.5，則P(A+B)= 0.7。4、設(shè)隨機變量&~N(d。2)，則n=3?N(0,1)。o5、設(shè)隨機變量X服從二項分布B(100,0.4),則其數(shù)學(xué)期望E(X)= 40 。6、隨機變量n的數(shù)學(xué)期望E篦)=4,方差D低)=20，則E任2)= 24 。7、設(shè)隨機變量&、n的數(shù)學(xué)期望分別是E篦)=3,E(n)=5，則E(2&+3n)=21。8、已知①(2.3)=0.9893,設(shè)隨機變量為服從N(349.2,16),則P(g<340)=0.0117，若隨機變量n服從N(1,2),則P(n<1)=0.5 。39、將一枚硬幣均勻投擲四次，則四次中恰好出現(xiàn)兩次正面向上的概率為3。810、設(shè)D(X”4,D^71R(X'Y”0.6，則B=AB+AB+AB__2.61 2 311、設(shè)二維隨機變量儀，丫）的分布列為:若X與Y相互獨立，則％P的值分別為：a=12、設(shè)A、B是隨機事件，P（A）=0.7,P（A—B）=0.3，則P（AB）=0.4。13、已知隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松（Poisson）分布，且隨機變量Z=2X-2，TOC\o"1-5"\h\z貝UE（Z）= 2 。14、設(shè)A與B為互不相容的兩個事件，P（B）>0，則P（AIB）= 015、事件A與B相互獨立，P（A）=0.4,P（A+B）=0.7,則P（B）= 0.5416、某人投籃命中率為4，直到投中為止，所用投球數(shù)為4的概率為_625。17、設(shè)隨機變量X與7相互獨立，X服從“0-1”分布，p=0.4；7服從九=2的泊松分布P⑵，則E(X+Y)=2^,D(X+7)=2.24。18、已知D(X)=16,D(Y)=9,p=1,則D(X-27)= 36 。X73 19、若X?N(目,a2),7?N(目,a2)，且X與7相互獨立，則Z=X+7服從1 1 2 2N（『ga:+aB分布。20、3人獨立編寫同一計算機程序，他們各自能成功的概率分別是0.3,0.6,0.5,則能將此程序編寫成功的概率是0.86。21、X、Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(3,22)，則d(2X-Y)=J022、設(shè)隨機變量X與y相互獨立，X服從二項分布B(5,0.6),Y服從二項分布N(R,。2)，且E(X+y)=6,D(X—y)=1.36，則|!=1 ；。=V076。25、從總體X中抽取樣本，得到5個樣本值為5、2、3、4、1。則該總體平均數(shù)的矩估計值是5，總體方差的矩估計是15/2。26、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為—的指數(shù)分布，則E(X)=1000。100027、若D(X)=49,D(Y)=16,，X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.5，則cov(X，Y)=14。28、設(shè)A、B、C為事件，則事件A、B、C同時不發(fā)生表示為ABC。(用事件運算表示)29、已知隨機變量X期望值為2，方差為8，則E(X2)=12。30、(％丫)為二維隨機變量，如果X與Y不相關(guān)，E(X)=2,E(Y)=25，則E(XY)=50。31、已知隨機變量X服從二項分布b(n，p)，E(X)=12，D(X)=8，則n=36。32、若D(X)=36,D(Y)=49,cov(X，Y)=21，則X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.5。133、飛機的雷達發(fā)射管的壽命X(單位：小時)服從參數(shù)為—的指數(shù)分布，則200D(X)=40000.34、隨機變量X服從在區(qū)間(2,5)上的均勻分布，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)的值為3^o35、已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.3,則P(AB)= 0.18。36、3.一個袋內(nèi)有5個紅球，3個白球，2個黑球，任取3個球恰為一紅、一白、一黑的概率為0.25。36、一種動物的體重X是一隨機變量，設(shè)E(X)=33,D(X)=4,10個這種動物的平均體重記作Y，則D(Y)= 0.4 。37、假設(shè)X~B(5,0.5)(二項分布)，Y~N(2,36),則E(X+Y)= 4.5。38、三個人獨立地向一架飛機射擊，每個人擊中飛機的概率都是0.4,則飛機被擊中的概率為 0.784。39、甲、乙兩射手射擊一個目標(biāo)，他們射中目標(biāo)的概率分別是0.7和0.8.先由甲射擊，若甲未射中再由乙射擊。設(shè)兩人的射擊是相互獨立的，則目標(biāo)被射中的概率為34。c 1240、離散型隨機變量&的分布律為P任=k)=——,k=1,2,3.，則c=—。2k 11(以下是能力題)41、在中國象棋的棋盤上任意的放上一只紅“車”和一只黑“車”，則它們正好可以互相“吃掉”的概率是-。89設(shè)D(X)=4,D(Y)=1,R(X,Y)=0.6，則D(X—Y)=2.6。43、設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為0,x<-1a,-1<x<112…人--a,1<x<23a+b,x>2TOC\o"1-5"\h\z1 1 - 15且p(X=2)=—，則a=一，b二—。2 6 644、設(shè)兩個事件A、B相互獨立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，則P(A-B)=0.18 ，\o"CurrentDocument"P(A-B)= 0.12 。45、加工一個產(chǎn)品要經(jīng)過3道工序，第一、二、三工序不出廢品的概率分別為0.9,0.95,0.8,假定各工序是否出廢品是相互獨立的,則經(jīng)過3道工序而不出廢品的概率為0.684。46、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,42),P(X>c)=P(X<c)，那么常數(shù)c=—J.47、A,B為兩個隨機事件，若P（A）=0.4,P（B）=0.2,若A,B互不相容，則P（A-B）=_0.4,P（AcB）= 0.4 。48、設(shè)某人射擊的命中率為0.5,則他射擊10次至少命中2次的概率為：1-0.510—5x0.59；三、判斷題,對的打“J"，錯的打""48小題。（每小題2分，共12分）1、“將一只白球一只黑球隨機地放入4個不同的盒子里”是古典概型。（J）TOC\o"1-5"\h\z2、“某射擊手一次射擊命中的環(huán)數(shù)”是幾何概型。 （X）3、在十進制中，2+5=7是必然事件。 （J）4、在常溫下，鐵熔化是不可能事件。 （X）5、必然事件U的概率不是1。 （X）6、兩個邊際分布都是一維正態(tài)分布的二維隨機變量，則它們的聯(lián)合分布是一個二維正態(tài)分布。 （X）7、二維隨機變量篦、n）~N（1,2,32,52,2）的Cov篦、n）為30。 （J）8、兩個隨機變量&、n是獨立的，它們分別服從參數(shù)九、九的泊松分布，則分布c=q+"1 2服從參數(shù)為'十九2的泊松分布。 （J）9、2008年8月8日奧運會在北京舉行是必然事件U。 （J）10、函數(shù)p（x）=-2x（x<0）是某個隨機變量的密度函數(shù)。 （X）11、在六十進制中，2+5=7是必然事件。 （X）12、若隨機事件A、B相互獨立，則事件A、B互斥。 （X）13、事件A的概率P（A）等于O,事件A也有可能發(fā)生。 （J）14、x函數(shù)的期望值等于X期望的函數(shù)。 （X）15、若隨機事件A、B相互獨立，則事件A與B也相互獨立。 （J）16、事件的概率與試驗的先后次序無關(guān)。 （X）17、若事件X,K的相關(guān)系數(shù)p町二0,則相互獨立。 （X）18、估計量S2=1x（x-x）2是總體方差的無偏估計量。 （X）/n、i19、如果二元隨機變量（X,Y）有D（X-Y）=D（X+Y）,則X與Y不相關(guān)。（J）20、隨機變量X服從泊松分布時，則必有E（X）=D（X）。 （J）21、兩事件A、B若滿足P（AB）=P（A）P（B）,則稱A、B獨立。（J）22、兩事件A、B若滿足P（A+B）=P（A）+P（B）,則稱A、B獨立。（X）23、獨立事件的任一部分也獨立。 （J）24、小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件。（J）25、古典概型與幾何概型的相同之處是兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的。（J）26、古典概型與幾何概型的不同之處是古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個。（J）27、公車5分鐘一趟，求等待時間不超過3分鐘的概率0.6。（J）28、在500ml的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是0.004。（J）29、一批玉米種子的發(fā)芽率為0.8,從中任取4粒種子做試驗,求恰好有兩粒種子發(fā)芽的概率，這是可以看著是一個貝努里概型。（J）30、隨機變量（X,Y）服從二維正太分布，則X的邊際分布為正態(tài)分布，Y的邊際分布也為正態(tài)分布。（J）31、隨機變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)相互唯一確定。（J）32、兩個相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于他們的特征函數(shù)之和。（X）33、A.B為任意二隨機事件，則P（AUB）=P（A）+P（B）°（X）34、設(shè)X為隨機變量，a、b是不為零的常數(shù)，則。（X）35、設(shè)X、Y是隨機變量，X與Y不相關(guān)的充分必要條件是X與Y的協(xié)方差等于0。（J）36、設(shè)A、B、C為三事件，若滿足：三事件兩兩獨立，則三事件A、B、C相互獨立。（X37、任意連續(xù)型隨機變量均有方差存在。（X）38、事件“ABC”表示三事件A、B、C至少有一個發(fā)生。（X）39、設(shè)隨機變量m~B（n,p）,E化）=3,D比）=1.2，則n為5。（J）40、假設(shè)事件A與事件B互為對立，則事件AB發(fā)生的概率為1。（義）（以下是能力題）41、若q、n是兩個獨立的隨機變量，它們分別服從參數(shù)為九,口九2的普哇松分布，則￡+3（、隨機變量c=己十”的分布列為p《=k）―一2-e2）。 （J）k!

42、已知甲型H1N1流感的發(fā)病率為42、已知甲型H1N1流感的發(fā)病率為1000，某中學(xué)校園內(nèi)共有5000師生，則該校園內(nèi)患有這種疾病的人數(shù)超過5的概率大約為0.38。（J）43、事件表達式AB的意思是事件A與事件B至少有一件發(fā)生（J）44、已知隨機變量X,Y相互獨立，X~N（2,4）,Y~N（2,1），則X+Y~U（2,4）。（X）45、已知隨機變量X,Y相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X2+Y2服從自由度為2的2分布。（J）f（X）=——-——46、設(shè)連續(xù)型隨機變量&的概率分布密度為 x2+2x+2,a為常數(shù)，則P低三30）=3。（J）447、設(shè)隨機變量X?N（10,o2），且R10<X<20}:0.3，則P{0<X<20}:0.6。（J）1一48、設(shè)隨機變量X?t（n）（n>1）,Y=，則Y?F（n,1）0（J）四、解答題。（寫出詳細過程，不能直接寫出答案。）（1---24小題每題8分）1、某射擊手一次射中10環(huán)的概率為0.28,射中9環(huán)的概率為0.24,射中8環(huán)的概率為0.19,求這位射手：（1）一次射擊至少射中9的概率；（2）一次射擊至少中8環(huán)的概率。（8分）解：（1）0.24+0.28=0.52 （4分）(2)0.24+0.28+0.19=0.71（8分）(2)0.24+0.28+0.19=0.71（8分）答：此處略。2、從5男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量&表示所選的3人中女生的人數(shù)。（8分）（1）球弓的分布列；（2）求q的數(shù)學(xué)期望；（3）求“選3人中女生人數(shù)&W1”的概率。解：1）、自可能取的值為0,1,2。 （1分）

TOC\o"1-5"\h\zCk?C3-k /八、P(自二k)二一2 4——,k=0,1,2。 (3分)C36所以，己的分布列為:自012131P555TOC\o"1-5"\h\z(2)、由(1),己的數(shù)學(xué)期望為：\o"CurrentDocument"3 1 ..一Eg=0義+1義+2*=1 (5分)5 5 5（3）、由（1）,“所選3人中女生人數(shù)乙<1”的概率為:P（己<1）=P（己=0）+P（己=1）=— （8分）答：此處略。3、已知A與B相互獨立，尸（人）=06P（B）=04求P（AUB）,及P(A-B)。(8分)解：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)(B)=0.6+0.4-0.6x0.4=0.76 (4分)P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)=0.6-0.6x0.4=0.36 (8分)4、小王、小張兩人相約7：00到8：00在老地方會面，約好了先到者等候另一人20分鐘，過時方可離去，假定兩個人到達相會地點的時間可在7：00到8：00的任一時亥U，且等可能性，試求小王、小張能會面的概率。（本題8分）他們兩人能會面的充要條件是貝U0WxW60,0WyW60,解：用x、y他們兩人能會面的充要條件是貝U0WxW60,0WyW60,解：用x、y分別表示小王、小張兩人到達約會地點的時間（分），畫出圖形，陰影部分滿足條件（4分）由圖形可知P（A）畫出圖形，陰影部分滿足條件（4分）由圖形可知P（A）602.402602_5

一9（8分）答：此處略。5、在20件產(chǎn)品中，有15件是一等品，5件是二等品，從中任取3件，其中至少有1件是二等品的概率是多少？（本題8分）解：3件產(chǎn)品中至少有1件是二等品包括以下三種：A1恰有1件二等品；A2恰有2件二等品；A33件都是二等品----（3分）應(yīng)用古典概型公式得:P(A)=1P(A)=2C1C2-C^20C2C1P(A)=1P(A)=2C1C2-C^20C2C12010522830228(4分)(5分)C3C35202228(6分)p(A+A+A)=p(A)+p(A)+p(A)10520A1373=228+228+228=228（8分）答：此處略。6、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率分布函數(shù)為0,

kx2,1x<0,

0<x<1,

x>1,試求⑴常數(shù)k；（2）概率P{01<X<0.3}.（3）X的概率密度函數(shù).（8分）解：(1)F(1-0)=F(1),得k=1,（2分）P{0.1<X<0.3}=F(0.3)-F(0.1)=0..08,（4分）X的密度函數(shù):f(x)=F'(x)=2x,0,其它，（8分）7、現(xiàn)將兩信息分別編碼為A和B后傳送出去，接收站接收時，f(x)=F'(x)=2x,0,其它，（8分）7、現(xiàn)將兩信息分別編碼為A和B后傳送出去，接收站接收時，A被誤收為B的概率為0.02,B被誤收為A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度之比為2:1，若接收站收到的信息是人，問原發(fā)信息也是人的概率是多少？（本題8分）解：記人二”收到信息A”，B二“發(fā)送信息A”，則P(A|B)=1-P(TiB))=1-0.02=0.98,2 1P(A\B)=0.01,P(B)=3，P(B)=3（4分）由貝葉斯公式，所求概率為P(B|A)=P(B)P(A|B) 196P(B)P(A|B)+P(B)P(a|B)1971 o（8分）8、一籃球運動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時累計投籃的次數(shù)，求X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解：X的分布律為P{X=k[=0.55k-1x0.45 k=1,2,X取偶數(shù)的概率為P{X=偶數(shù)}=￡0.552k-1x0.45k=1_0.55x0.45_11=1-0.552=31 （3分） （6分） （8分）9、兩臺機床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率為0.02,已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，加工出來的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品（A）的概率。(2分)解：設(shè)Bi二“取出的零件由第i臺加工”@=L2）--

(2分)（3分），P（BJ：I （4分），（5分），（6分），P(4|B（5分），（6分），P(4|B)=0.98有全概率公式得：P（A）=P（B）PQ|B）+P（B）PQ|B）=--0.97+--0.98=0-973 （8分）12 3 3答：此處略。10、已知8只晶體管中有2只次品，從其中取兩次，每次任取一只，做不放回抽樣。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。（本題8分）TOC\o"1-5"\h\z解：（1）一只是正品一只是次品的概率為：CC= （2分）C2 78（2）第二次才取得次品的概率為：絲=a （4分）8義7 14（3）令勺表示“第一次取出的是正品”，A2表示“第一次取出的是次品” （6分）B表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率為:1- 1- 4(8P(B)=P(BIA)P(A)+P(BIA)P(A)=一義-+-義一二ii 2 2 7878分）11、甲、乙兩人獨立地進行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5,以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求：（1）X和Y的聯(lián)合分布律；（2）X和Y的邊緣分布律。（本題8分）解：（1）X和Y的聯(lián)合分布律為:P(X=m,Y=n)=Cm(0.2)m(0.8)2-mCn(0.5)”(0.5)2-n=一。?*4(1-m)2 2 25 2 2m,n分別為0,1,2。 (4分)(2)x和Y的邊緣分布律：由于X與Y相互獨立，所以X和Y的邊緣分布律為：P(X=m)=Cm(0.2)m(0.8)2-m，m=0,1,2。2P(Y二n)=Cn(0.5)n(0.5)2-n，n=0,1,2。 (8分)212、兩臺車床加工同樣的零件，第1臺出現(xiàn)不合格品的概率是0.03,第2臺出現(xiàn)不合格品的概率是0.05、兩臺車床加工的零件放在一起，第1臺加工的零件占70%，第2臺加工的零件占30%，現(xiàn)隨機地任取一件零件，求此件零件為不合格品的概率.(本題8分)解：記AJ｛任取一件為第1臺車床加工的零件｝,A二｛任取一件為第2臺車床加工的零件｝，2TOC\o"1-5"\h\zB=｛任取一個零件為不合格品｝ (2分)由全概率公式,所求概率為P(B)=P(AJP(B/AJ+P(A2AP(B/A2) (6分)=0.7x0.03+0.3x0.05 (7分)=0.036. (8分)13、甲、乙、丙三人參加英語四級考試，假定甲、乙、丙能考試合格的概率依次為0.8、0.6、0.7,各人能否考試合格相互獨立，求下列事件的概率：(1)甲，乙合格而丙不合格；(2分)(2)3人都不合格；(3分)(3)3人中至少有1人合格.(3分)解：記A,A,A依次表示甲、乙、丙考試合格的事件，由題意，TOC\o"1-5"\h\z1 2 3（1）所求的概率為P（AA2A"）=0.8x0.6x0.3=0.144； （2分）（2）所求的概率為P（耳A"A"）=0.2x0.4x0.3=0.024； （5分）

（8分）(3)所求的概率為P(mquA)=1-P(A4A)。（8分）=1-0.2x0.4x0.3=0.97614、隨機變量X的密度函數(shù)為—X,0<x<2f(x)二12，0,其他求：（1）E（X）；（2分）求：（1）E（X）；（2分）(2)D(X)；(2分)P(P(-2<X<1)；(2分)Y=2X的密度函數(shù).（2分）TOC\o"1-5"\h\z解：(1)E(X)=J2x—xdx=- (2分)02 3E(X2)=J2x21xdx=2,02~ 4 2 ,.,一D(X)=E(X2)-E(X)=2-—= (4分)^3^9P(-2<X<1)=J21xdx=1 (6分)(4)02 4?F(y)=P(Y<y)=P(2X<y)=P(X<1y)=F(jy)y 2 x214、1八J.f—dy)?c，0<小??J(y)=122 2 2（8分）Y 0,其他8y,0<y<（8分）0,其他15、（X,Y）的聯(lián)合分布律為⑴求X,Y的邊緣分布律；（2分）（2）X,Y獨立嗎？為什么？（2分）（3）X、Y是否不相關(guān)？為什么？（2分）（4）求Z=X+Y的分布律。（2分）解(1)X的分布律為:(2)VX2/8=P(X=0)XP(Y=0)Y的分布列律為: (2分)P(X=0,Y=0)=1/8*5/8.??X與Y不獨立。 (4分)(3)因為E(X)=3/8,E(Y)=0,E(XY)=0,即E(XY)=E(X)E(Y),

所以X,Y不相關(guān)。 (6分)(4)X+Y的分布列為：X+Y-2-101P1/83/82/82/8 (8分)16、設(shè)A,B是兩個隨機事件，P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,(1)若A,B互不相容，求P(B)；(2)若A,B相互獨立，求P(B)；(3)若P(B|A)=0.6，求P(B)。(本題8分)解： P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)(1)、P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7, P(B)=0.7-0.4=0.3 (2分)(2)、P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)-P(A)_0.7-0.40.6=0.5(5分)(3)、P(AB)=P(A)P(B|A)(8分)P(B)=P(A B)-P(A)+P(A)P(B|A)=0.7—0.4+0.4x0.6=(8分)17、設(shè)隨機變量X?B(2,p)，且P{X>1]=5,(1)試確定參數(shù)p；(2)求P{X=1}。(本題8分)解： P{X=k]=Ckpk(1-p)2-k(k=0,1,2)2TOC\o"1-5"\h\z4=1-P{X>1]=P{X=0]=(1-p)2,p=3; (4分) - _124 ..P{X=1]=C2x3x3=- (8分)18、某旅行社100人中有43人會講英語，35人會講日語，32人會講日語和英語，9人會講法語、日語和英語，且每人至少會講英、日、法三種語言中的一種。求此人會講日語和英語，但不會講法語的概率。(本題8分)解：設(shè)A="此人會講英語"，B=”此人會講日語”，C="此人會講法語”，--3分TOC\o"1-5"\h\zP(AB)=0.32 (4分)P(ABC)=0.09 (5分)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.32-0.09=0.23 (8分)19、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為3的泊松(Poisson)分布，y服從參數(shù)為4的泊松分布，且X與y相互獨立，證明X+Y服從參數(shù)為7的泊松分布。解：X?P(3)，所以X的分布律為P(X=k)=上=，k=0,1,2,3，… (2分)k!4ke-4 、又因為Y?P(4)，所以Y的分布律為P(Y=k)=——，k=0,1,2,3，…； (4分)k!令Z=X+Y，所以Z的取值為0,1,2,3,…，且有P(Z=k)=￡P(guān)(Z=kIX=m)P(X=m)=￡尸(Z=kIX=m)P(X=m)m=0 m=0=￡P(guān)(Y=k-m)P(X=m)=￡4k-m"?3me-3=7ke-7，k=0,1,2,3，…。 (8分)(k-m)!m! k!m=0 m=0從而X+Y服從參數(shù)為7的泊松分布。20、甲，乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部

挑出來，算是成功一次。求（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試推斷他是猜對的，還是確有區(qū)分能力（設(shè)各次試驗相互獨立）TOC\o"1-5"\h\z，一 C4 1（3分）解：(1)A="成功一次”，P(A)=C4-=—（3分）C4 708（2）設(shè)此人沒有區(qū)分能力，令Y="連續(xù)試驗10次，成功的次數(shù)”，一 1 ，.一則Y~b(10,——)， (5分)701 69（7分）P{Y=3}=C3(—)3(—)7氏0.0003 ， （7分）1070 70可見，猜對的概率很小，故此人確有區(qū)分能力。 （8分）21、已知隨機變量X服從在區(qū)間（0,1）上的均勻分布，Y=2X+1,求Y的概率密度函數(shù)。解：已知X的概率密度函數(shù)為fX(x)二,0'0募1' (2分)所以Y的分布函數(shù)1(y)為：F(y)=P{Y<y}=P{2X+1<y}=P{X<二}=F(皿］ (5分)Y 2XI2J因此Y的概率密度函數(shù)為f（y）=F（y）=1f[y^1]=<2,1<y<3, （8分）YY2X（2J]0,其它.22、設(shè)有兩個口袋，甲口袋中有兩個白球，一個黑球，乙口袋中有一個白球，兩個黑球。由甲口袋任取一個球放入乙口袋，再從乙口袋中取出一個球，求最后取到白球的概率。解：設(shè)A=｛從甲袋子中任取一球為白球｝B二｛取得白球｝ （3分）（5分）（7分） （8分）P(B)=P(B|A)P(A)+PQ|A)p(（5分）（7分） （8分）=1/2X2/341/4X1/3=5/1223、將4個球隨機地放在5個盒子里，求下列事件的概率（1）4個球全在一個盒子里；

（2）恰有一個盒子有2個球.解：把4個球隨機放入5個盒子中共有54=625種等可能結(jié)果 （3分）A=｛4個球全在一個盒子里｝共有5種等可能結(jié)果，故P（A）=5/625=1/125 （4分）5個盒子中選一個放兩個球，再選兩個各放一球有（5分）C1C2=30種方法（5分）544個球中取2個放在一個盒子里，其他2個各放在一個盒子里有12種方法因此，B=｛恰有一個盒子有2個球｝共有4X3=360種等可能結(jié)果. （7分）360 72故P故P（B）=（8分）62512524、有10盒種子，其中1盒發(fā)芽率為90%,其他9盒為20%.隨機選取其中1盒，從中取出1粒種子，該種子能發(fā)芽的概率為多少？若該種子能發(fā)芽，則它來自發(fā)芽率高的1盒的概率是多少？解：由全概率公式及公式P（該種子能發(fā)芽）=0.1X0.9+0.9X0.2=0.27 （4分）P（該種子來自發(fā)芽率高的一盒）=（0.1X0.9）/0.27=1/3 （8分）（25----32小題為能力題，每小題10分）25、設(shè)二維隨機變量代、n）具有密度函數(shù)p（x,y）=!Ce~2（x+y）,0<x<+8,0<y<+8^ 0淇他試求（1）常數(shù)C;（1分）TOC\o"1-5"\h\z（2）分布函數(shù)F（X）;（2分） t（3）邊際分布函數(shù)F,F9及相應(yīng)的邊際密度；（4分）（4）求篦、n）落在如圖的區(qū)域G內(nèi)的概率。（3分）解：（1）、1+/.p（x,y）dxdy=HCe-2（x+y）dxdy=1一8—8 0 0即Hce-2（x+y^dixdiy=Cf*e-2xdxfwe-2ydy=C-1-1=1,C=1 （1分）0 0 0 0 22

⑵、F(x,y)」卜(u，p)dudv1H+84e',y看其他…8,02（3分）一e-2X1Ce-2y\<x<+8,0<y<+8（3分）0淇他(3)、F(x)=卜J+8p(u,v)dudvJ!'；4e-{u+v)dudv,X>0=<1-e-2X,x>0 (4分)自-8-8 [ 0,xV0 0,xV0于是得到：p=于是得到：p=F'（x）=

& &2e-2x,x>00,xV0（5分）同理可得:1-e-1-e-2y,y>00,yv0p=F‘(y)=“n2e-2y,y>00,yv0（7分）P{(1,n)eG}=Up(x,y)dxdy=fff4e-2(x+y)dx^dy（10分）(4)、— (x,u)e（10分）=12e-2y(i-e-2(1-y))dy=1-3e-2026、證明對任意的隨機變量&，若E&二a,又存在優(yōu)，則對任意的正常數(shù)￡,有P仁a“1DI。（契貝曉夫不等式）設(shè)己是一個隨機變量，密度 為p(x)，(1分)貝UP(g-a\>￡)=f+8p(x)dx(3分)&-a>￡(x-a)2證明：vf+8 c P(x)dx(5分)證明：g-a>￡ ￡2VI于Q—a)p(x)dx-?1(7分)￡2 ￡2-8在上述證明過程中，把密度函數(shù)改成分布列，把積分符號改成求和符號，即得到離散型情形的證明。（10分）27、二維隨機變量（X,Y）的概率密度為

%>0,y>0其他 求：（1）系數(shù)A；（2）X，Y的邊緣密度函數(shù);（3）問X,Y（3）問X,Y是否獨立。（本題10分）解：=AJ+se-%d%f+ro

0 0X的邊緣密度函數(shù):Y的邊緣密度函數(shù):e-解：=AJ+se-%d%f+ro

0 0X的邊緣密度函數(shù):Y的邊緣密度函數(shù):e-2ydy=2A 所以A=2f(%)二1f(%,y)dy二X -?e-%0,2e-2y0,因f（%,y）=fj%）于丫（y），所以X，Y是獨立的。（2分）%>0其他y>0其他（10分）（5分）（8分）(1)由1=「8"f(%,y)d%dy=J+sJ+sAe-(%+2y)d%dy一8一8 0 028、將一枚硬幣連擲三次，X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，求：（1）（X，Y）的聯(lián)合概率分布；（2）P上>X}.（本題10分）解：由題意知，X的可能取值為：0，1，2,3；Y的可能取值為：1，3.（2分）且p且p{x=。八3}」2節(jié)1（3分）（4分）（5分）P{x=1,Y=1}=Ci（4分）（5分）3{x二2,Y二1}二C2(2M、3（6分）于是，（1）（X，Y）的聯(lián)合分布為1300181308

230301（7分）（7分）(2)PY>X}=P{x=0,Y=3)=1 (10分)829、（10分）二維隨機變量（x，Y）的概率密度為L(x+y),0<x<2,0<y<20,其他求：(1)E(X)((2)D(X), (3)E(XY), (4)COV(X,Y)。(本題10分)TOC\o"1-5"\h\z解：(1)E(X)=6x8(x+y)dxdy=6 (2分)00E(X2)=J2J2x21(x+y)dxdy=—,00 8 3 (4分)5 7 11D(x)=E(X2)-(E(X))2=--(-)2=3 6 36E(XY)=J2J2xy1(x+y)dxdy= (7分)008 3E(Y)=J2J2y—(x+y)dxdy=—008 6477 1 .一、COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=---x-=-- (10分)366 3630、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F（x）=P+Be0求：（1）A，B的值；（2）X的概率密度f（x）；（3）P{X>10|X>3}。（本題10分）解：(1)A=1,A+B=0，B=-1 (2分)x>0x<0⑵f(⑵f(x)=k)=1;x>0 ，（6分）(3)P{(3)P{X>10X>3}=P{X>7}=1-F(7)=e-7（10分）31、某種儀器由三個部件組裝而成，假設(shè)各部件質(zhì)量互不影響且它們的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.8,0.7和0.9。已知：如果三個部件都是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器一定合格；如果有一個部件不是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器不合格率為0.2；如果有兩個部件不是優(yōu)質(zhì)品，則儀器的不合格率為0.6；如果三件都不是優(yōu)質(zhì)品，則儀器的不合格率為0.9。（1）求儀器的不合格率；（2）如果已發(fā)現(xiàn)一臺儀器不合格，問它有幾個部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大。（10分）解：設(shè)B="儀器不合格”，AJ“儀器上有j個部件不是優(yōu)質(zhì)品"，i=0,1,2,3，顯然TOC\o"1-5"\h\z&,勺A2,&構(gòu)成樣本空間的一個完備事件組, (1分)且P(BIA0)=0,P(BIA1)=0.2,P(BIA2)=0.6,P(BIA3)=0.9, (2分)P(A0)=0.8x0,7x0.9=0.504,P(A1)=0.2x0,7x0.9+0.8x0,3x0.9+0.8x0,7x0.1=0.398—(3分)P(A3)=0.2x0.3x0.1=0.006,P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092 (4分)(1)由全概率公式有：P(B)=3P(A.)P(BIA.)=0.1402 (5分)i=0⑵由貝葉斯公式有:P(A0IB)=0, (6分)P(AIB)=P(A1)P(BIA1)=出， (7分)P(B) 1402（8分）P(AIB)=P(A2)P(B]A2)=①2 P(B（8分）P（AIB）=P（A3）P（BIA3）=旦, （9分）P（B） 1402從計算結(jié)果可知,一臺不合格儀器中有一個部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大.---（10分）32、設(shè)E(X)=2，E(Y)=4，D(X)=4，D(Y)=9，pXY=0.5,求(1)U=3X2-2XY+Y2-3的數(shù)學(xué)期望;（2分）（2）V=3X-Y+5的方差。（本題滿分10分）（2分）解：(1)E(U)=E(3X2-2XY+Y2-3)=3E(X2)-2E(XY)+E(Y2)-3=3[D(X)+E2(X)]-2[E(X)E(Y)+pYV,；D(X)*,D(Y)]+[D(Y)+E2(Y)]-3=24;--(5分)XI(2)D(V)=D(3X-Y+5)=9D(X)+D(Y)-6cov(X,Y)（7分）=45-6pxy.JDXqW)=27.XI（10分）（33—40小題為提高題，每小題10分）33、設(shè)X的密度函數(shù)為f（x）=—e-x,xe（-8,+s）2①求X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）；②求X與X的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，并討論X與X|是否相關(guān)?解：①E(X)=J+8x1e-xdx=0 (2分)-82D(X)=E(X2)-[E(X)]2 (3分)二18x2—e-x^dx-0=218x2—e-xdx=2 (5分)-8 2 o2②Cov(X,|X|)=E(X|X|)-E(X)E(|X|)二18x|x|1e,dx-0=0 (8分) -8 12所以X與|X|不相關(guān). （10分）34、設(shè)隨機變量X?N（0,1），Y=X2+1，試求隨機變量Y的密度函數(shù).解：隨機變量X的密度函數(shù)為f（x）=we-T（-8<x<+8>設(shè)隨機變量Y的分布函數(shù)為F（y），則有（1分）(y)=PY<j}=P^X2+1<y}二P{x2<y-1}（2分）(1)、如果y-1<0，即y<1,則有F(y)=0；（3分）(2)、如果y>1,則有F(y)=P{X2<y-1}=P{工y-1<X<%/J^T}1中_xi 2中=—Je2dx=-JeJ2兀 一 J2兀---y-1 0x22dx（5分）I2-尸x2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"即FyG)，聲：e2dxy>1 (6分)'I 00 y<1I_2_-w.i1所以， fY(y)=FY(y)=卜本'22%/y^1y> (9分)''| 0 y<1_3 1即 fY(y)=L/2^y__112yy (10分)' 0y<135、設(shè)隨機變量x35、設(shè)隨機變量x的概率密度函數(shù)f（x）.=r（1_x）2其它（1）試確定常數(shù)k;（3分）（2）求X的分布函數(shù)；（4分）(3) 求P{0<X<2}。(3分)(本題10分)TOC\o"1-5"\h\z解：(1)1=J+sf(x)dx=Jk(1_x)2dx=8k,k=8 (3分)一I 3 3_1(2)當(dāng)x<一1,F(x)=0,.. .3 1當(dāng)_1<x<1,F(x)=1x8(1_t)2dt=1_g(1_x)3,當(dāng)x>1,F(x)=1,?0 x<_11所以： F(x)=，1——(1_x)3_1<x<1 (7分)81x>13 1(3)P{0<X<2]=』1-(1_x)2dx=一。 (10分)。8 836、已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為Ax,0<x<1f(x)=12_x,1<x<20,其他求(1)常數(shù)A；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)E(X2_3X+2)；(4)P{0.5<X<1.5]。解：(1)由J+sf(x)dx=1,又』+sf(x)dx=jAxdx+f2(2—x)dx=1，一8 一8 0 1所以A=1（1分）(2)當(dāng)了<0時,F(x)=0；（2分）F(x)=Jxf(x)dxJ一g（3分）當(dāng)1<x<2時,…[1,L、，c x2F(x)=xdx+(2—x)dx=2x—0 1 2（4分）當(dāng)x>2時，F(xiàn)(x)=1,（5分）所以X的分布函數(shù)為0,1—x2,2。x2 12x———1,21（6分）(3)E(X2—3X+2)=f1(x2—3x+2)xdx+J0(4)P{0.5<X<1.5}Jxdx+0.512(x2—3x+2)(2—x)dx=—；? 6