2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 同步練習(xí)題 （含解析）

第第頁2023—2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系同步練習(xí)題（含解析）2023-2024學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》

同步練習(xí)題（附答案）

一、單選題

1．已知一元二次方程有一個根為2，則另一根和c分別為（）

A．1，2B．2，4C．4，8D．8，16

2．若m，n分別是一元二次方程的兩個根，則的值為（）

A．3B．4C．5D．6

3．若方程的根是2和3，那么代數(shù)式可分解因式為()

A．(x-2)(x-3)B．(x+2)(x+3)C．(x+2)(x-3)D．(x-2)(x+3)

4．若一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的值是（）

A．B．3C．2或D．或1

5．已知關(guān)于x的一元二次方程，該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為2，則m=()

A．1B．-1C．1或-1D．0或1

6．如果m、n是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，那么多項(xiàng)式的值是（）

A．2022B．2023C．2029D．2030

7．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個根互為相反數(shù)，則m的值為（）

A．3或﹣2B．﹣2C．3D．2或﹣3

8．若關(guān)于x的一元二次方程的兩根構(gòu)成直角三角形的兩條直角邊，該直角三角形的面積為24，則實(shí)數(shù)m值是（）

A．m=50B．m=24C．D．

二、填空題

9．若m、n是一元二次方程的兩個根，則．

10．已知是一元二次方程的一個根，則m=，方程的另一個根是．

11．設(shè)是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為．

12．若實(shí)數(shù)，滿足的值為．

13．已知，（）是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為．

14．請寫出一個兩根分別為和，且二次項(xiàng)系數(shù)為的一元二次方程．

15．如果一個矩形的長和寬是一元二次方程的兩個根，那么這個矩形的周長是．

16．已知m，n是方程的兩個根，則．

三、解答題

17．若，是方程的兩實(shí)數(shù)根，求下列各式的值．

(1)；

(2)；

(3)．

18．已知關(guān)于的一元二次方程．

(1)求證無論實(shí)數(shù)取何值，此方程一定有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)此方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為，，若，求的值．

19．已知關(guān)于的一元二次方程．

(1)求證：該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若，且該方程的一個根是另一個根的2倍，求的值．

20．已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為a，b．

(1)若a，b分別是菱形的兩條對角線的長，且菱形的面積為5，求m的值；

(2)若a，b分別為矩形的兩條對角線的長，求m的值．

21．已知關(guān)于的方程.

(1)求證：無論取何實(shí)數(shù)，這個方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若這個方程的兩個實(shí)根、滿足，求的值.

(3)當(dāng)?shù)妊切蔚囊贿呴L，另兩邊長、恰好是這個方程的兩根時，求的周長.

22．閱讀材料：

材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．

材料2：已知一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．

解：∵m，n是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，

∴．

則．

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為，則___________，___________；

(2)類比：已知一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；

(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足且，求的值．

參考答案

1．解：∵一元二次方程有一個根為2，設(shè)另一根為

∴

∴

故選C

2．解：∵m，n分別是一元二次方程的兩個根，

∴，m＋n＝4，

∴，

∴，

故選：A．

3．解：∵方程的根是2和3

∴，，

∴

∴．

故選：B．

4．解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

，

，

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，

，

，即，

，

解得：或，

，

，

故選：B．

5．解：根據(jù)題意得：，

解得：，

設(shè)是一元二次方程的兩根，

∴，

∵該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為2，

∴，

∴，

∴，

解得：或-1．

故選：C

6．解：、是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，

，，

，，

，

，

、是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，

，，

原式

．

故選：D．

7．解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，

解得，，

當(dāng)時，方程化為，此時方程沒有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)時，方程化為，方程有兩個實(shí)數(shù)解．

所以的值為．

故選：B．

8．解：設(shè)、是方程的兩個根，

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知，

又∵該方程兩根構(gòu)成直角三角形的兩條直角邊，該直角三角形的面積為24，

即直角三角形面積，

∴，解得．

故選：D．

9．解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案為：．

10．解：設(shè)方程的另一個根為：，

∵

∴，

∴，

∴；

故答案為：，

11．解：∵是方程的兩個實(shí)數(shù)根，

∴，

∴．

故答案為：．

12．解：，滿足，，

當(dāng)時，

，是方程的兩根，

，，

；

當(dāng)時，

原式．

綜上所述：或．

故答案為：或．

13．解：∵m是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，

∴，

∴，

∴，

∵m，n是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，

∴，

∴．

故答案為：2022．

14．解：，

以和為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為的一元二次方程為

故答案為：．

15．解：設(shè)矩形的長和寬分別為、，

∵一個矩形的長和寬是一元二次方程的兩個根，

∴，

∴矩形的周長為：．

故答案為：

16．解：∵m、n是方程的兩根，

，，，，

，，

，

故答案為：．

17．（1）解：∵，是方程的兩實(shí)數(shù)根，

∴，，

∴；

（2）；

（3）∵，是方程的兩實(shí)數(shù)根，

∴，

∴，

∴．

18．解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，

∴，

∴，

∴無論實(shí)數(shù)m取何值，此方程一定有兩個實(shí)數(shù)根．

（2）∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

19．（1）證明：由題意得，

，

∴關(guān)于的一元二次方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：設(shè)方程的兩個根分別為，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，

又∵，

∴．

20．（1）解：（1）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，

a，b分別是菱形的兩條對角線的長，且菱形的面積為5，

，

，

解得：；

（2）a，b分別為矩形的兩條對角線的長，

，即一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

，

，

即，

解方程得：，（不合題意，舍去）

m的值為6．

21．（1）證明：方程整理成一般形式為，

，

∴無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵、是這個方程的兩個實(shí)根，

∴，，

∵，

∴，

解得：或；

（3）解：當(dāng)時，，

即，

解得：，

此時，

∵，

∴此時不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)兩邊長b、c有一邊是4時，，

解得：，

關(guān)于x的方程即，

解得：或，

等腰的三邊長為2