勻變速直線運動1一般情況課件

1第一章

質點的運動1第一章2§1-1質點和參考系§1-2描述質點運動的物理量§1-3描述質點運動的坐標系§1-4牛頓運動定律§1-5力學中常見的力§1-6伽利略相對性原理

第一章質點的運動2§1-1質點和參考系第一章質點的運動3力學中的一些基本概念

力學的研究對象是物體機械運動的規(guī)律及其應用，是研究物理學其它部分的基礎。力學內容分為運動學、動力學和靜力學三部分。

運動學：在研究物體位置變動時，不涉及引起運動變化的原因。

動力學：研究物體之間的相互作用時，對物體運動的影響。

靜力學：研究一個靜止不動或以等速度移動之系統(tǒng)。3力學中的一些基本概念力學的研究對象是物體機械運動的4

機械運動(mechanicalmotion)指物體的位置隨時間改變，或一個物體內部某部分相對其它部分的位置隨時間變化的過程，是最簡單又最基本的運動。

經典力學（牛頓力學）的研究對象是大量原子組成的宏觀客體，被研究的物體的速度不能與光速相比擬（V<<C）。（1）物體之間的相對位置的變更；（2）物體各組成部分之間相對位置的變更。4機械運動(mechanicalmotion)指5

§1-1

質點和參考系

一、質點(masspoint)

質點：沒有體積和形狀,只具有一定質量的理想物體。

注意：（1）質點是一種理想的力學模型，任何物體都有一定的形狀和大小。

（2）質點是一種物理上的抽象，是為了討論問題的方便而引入的。5§1-1質點和參考系一、質點(masspoi6

（3）對于同一物體，由于研究問題的不同，有時可以看作質點，有時則不能。

如果不能看作一個質點，可把物體看作由多個質點組成，每個質點都運用質點運動的結論，疊加起來得到該物體的運動情況。

注意：當兩物體之間的距離（l）大于大于物體自身線度（r）時，物體可以視為一個質點；否則就不能視為一個質點。

由于所有物體都可以視為質點或質點的集合體，因此質點力學是整個力學的基礎。6（3）對于同一物體，由于研究問題的不同，有時可以看作質7

質點是沒有大小和形狀、但具有宏觀物體質量的理想模型，是對實際物體的抽象，并不是真實的存在；注意：不要把質點與微觀粒子混同起來

微觀粒子，如原子、質子和中子等都具有一定的大小，但質量微小。也正是因為微觀粒子的質量微小，因而在一般情況下卻遵從量子力學規(guī)律。7質點是沒有大小和形狀、但具有宏觀物體質量的理想8二、參考系(referencesystem)

1.運動絕對性：物體都在運動沒有絕對靜止的。

3.為了描述物體的機械運動，必須選擇另一個物體或者物體系作參照物，被選作參照的物體或者物體系稱為參考系。只有選擇了參考系，才能明確地表示被研究物體的運動情形。4.參考系原則上可任意選擇。選擇使問題的處理盡量簡化的參考系。同一運動，選擇不同參考系，對運動的描述不同的。2.一個物體的位置及其變更,總是相對于其它物體而言的,否則沒有意義,機械運動的相對性。8二、參考系(referencesystem)1.運動9三.坐標系

(coordinatesystem)

坐標系是指固定在參考系上的數(shù)學坐標，它的作用是把運動物體在每一時刻相對于參考系的位置定量地表示出來。

在建立坐標系的問題上應注意以下幾點。(1)首先應注意不要把坐標系與參考系混淆了。

參考系是指為描述物體運動而選作參考標準的物體或物體群，利用它來判斷物體是否在運動和如何運動。但是，只有參考系還不能把物體運動時的確切位置表示出來。

在描述物體運動的問題中，坐標系必須依附于參考系。在研究物體運動時，若選取不同的參考系，所得的運動規(guī)律的數(shù)學表達式和結果一般是不同的。9三.坐標系(coordinatesystem)10

在同一個參考系上建立不同的坐標系，對同一物體的運動規(guī)律和結果不會產生多大變化，只會影響計算的繁簡。(2)坐標系的建立，可以幫助我們分析和解決問題。(3)在物理學中，坐標系的建立還有更加廣泛的意義。

物理學中的方程式在很多情況下都是矢量方程,而矢量方程的求解,特別是矢量的積分,必須先化為分量式才可以進行。要將矢量式化為標量式，必須建立坐標系。

求解質點運動方程的問題，而質點一般是受多個力作用的。力的正負，對于質點的運動是至關重要的，是在列方程時必須明確的。當建立了坐標系后，把這些力投影到坐標軸上來，與坐標軸同方向的為正，與坐標軸反方向的為負，運動方程很容易地就列出來了。10在同一個參考系上建立不同的坐標系，對同一物體的111、直角坐標系

(rectangularcoordinate)

通常采用的直角坐標系屬右旋系,當右手四指由x軸方向轉向y軸方向時,伸直的拇指則指向z軸的正方向。

在參考系上取一固定點作為坐標原點O,過點O畫三條相互垂直的帶有刻度的坐標軸,即x軸、y軸和z軸,就構成了直角坐標系

O-xyz。

xyzOP(x,y,z)共有三個單位矢量：111、直角坐標系(rectangularcoordi12*2、平面極坐標系(planarpolarcoordinates)

取參考系上一固定點O作為極點,過極點所作的一條固定射線OA稱為極軸。用平面極坐標系處理圓周運動一類的平面運動。

質點處于點P,連線OP稱為點P的極徑,用

表示；自OA到OP轉過的角

稱為點P的極角。點P位置可用(

,

)來表示,這兩個量就稱為點P的極坐標。A

O是極徑方向的單位矢量,長度為1,沿

增大的方向。是沿極角增大方向的單位矢量12*2、平面極坐標系(planarpolarcoord133、自然坐標系(naturalcoordinates)

沿著質點的運動軌道所建立的坐標系。

一個是指向質點運動方向的切向單位矢量,用

表示,另一個是垂直于切向并指向軌道凹側的法向單位矢量,用n表示。法線切線運動質點τn自然坐標系由運動曲線上任一點的法線和切線組成133、自然坐標系(naturalcoordinates14一、時間和時刻(timeandmoment)

某一瞬時稱為時刻（t），質點運動時，與質點某一位置對應的為某一時刻，在時間坐標上是一個點。

秒（s）:銫－133原子基態(tài)的兩個超細能級之間的電子躍遷所對應的輻射的9192631770個周期的持續(xù)時間。

在坐標系中考察質點的運動時,質點位置與時刻相對應,質點運動所經過的路程與時間相對應?！?-2描述質點運動的物理量P2P1t

時間（

t）表示一個過程對應的時間間隔，是重要的物理量，國際單位制（SI）中七個基本物理量之一。時間具有單方向性，是標量，在時間坐標上是線段，單位是s(秒)。

t1t214一、時間和時刻(timeandmoment)15

二、位置矢量(positionvector)

位矢包含兩方面信息：質點P相對參考系固定點O的方位；質點P相對參考系固定點O的距離大小。OP

用黑體字母或帶箭頭的字母表示矢量。

質點P在任意時刻的位置,可用從原點O到質點P所引的有向線段OP來表示，或用矢量來代表，這個矢量就稱為質點P的位置矢量,簡稱位矢。位置矢量是描述質點在空間位置的物理量。1.定義15二、位置矢量(positionvector)16可用方向余弦來表示位置矢量方向。位矢大小其中

、和

分別是x、y和z方向的單位矢量。在直角坐標系中

xyzOP(x,y,z)

16可用方向余弦來表示位置矢量方向。位矢大小其中、和17zXYOzyxr

隨時間變化r

質點在運動,位置在變化,位置矢量必定隨時間改變。該式稱為質點運動的軌道參量方程，即質點的運動學方程位置矢量是時間的函數(shù)：2.運動方程

寫成分量形式:運動軌跡方程xyz0f,,()17zXYOzyxr隨時間變化r質點在運動,18三、位移(displacement)和路程(distance,path)

1.位移：描述質點位置的變化的物理量。

質點從點P1到點P2所完成的位移等于點P2的位置矢量與點P1的位置矢量

之差。

位移是矢量，既表示質點位置變更的大小(點P1與點P2之間的距離)，又表示這種變更的方向(點P2相對于點P1的方位)。zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr18三、位移(displacement)和路程(distan19位移在直角坐標系中的表達式：因為19位移在直角坐標系中的表達式：因為202.

路程

s是一定時間內物體所經過路線的總長度。

t時間內經過的路程是曲線P1P2的長度，是標量。

注意：質點的位移和路程的區(qū)別和聯(lián)系

（1）位移是矢量，路程是標量；

（2）一般位移矢量的模不等于路程。

（3）對于任何運動形式來說，無限的縮短，則：zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr202.路程s是一定時間內物體所經過路線的21米（m）:氪-86原子的2p10和5d5能級之間的躍遷所對應的輻射在真空中的1650763.73個波長的長度。位移和路程單位相同,在國際單位制中為m(米)。21米（m）:氪-86原子的2p10和5d5能級之間的躍遷所22四、速度(velocity)和速率(speed)

1.平均速度與平均速率:質點的平均速度

平均速度是矢量，大小決定于位移的模與時間間隔的比值；方向與位移矢量方向相同。

平均速度的大小和方向在很大程度上依賴于所取時間間隔的大小。當使用平均速度來表征質點運動時，總要指明相應的時間間隔。大致描述運動質點在某段時間內的平均快慢情況22四、速度(velocity)和速率(speed)1.23

平均速率是標量,等于單位時間內所通過的路程。平均速率

平均速率和平均速度的區(qū)別：1.標量與矢量；2.數(shù)值上不一定相等,曲線運動時

s≠r

。沿閉合曲線運行一周,則質點的平均速度等于零,而相應的平均速率卻不等于零。平均速率與平均速度的關系和路程與位移的關系相似。23平均速率是標量,等于單位時間內所通過的路程。平均速242.瞬時速度和瞬時速率

描述運動質點在某一時刻（某一位置）的快慢情況

如果

t→0，平均速度的極限就表示質點某一時刻的真實速度，此極限即質點運動的瞬時速度。

瞬時速度等于質點的位置矢量對時間的微商。所說的物體運動速度,通常指它的瞬時速度。242.瞬時速度和瞬時速率描述運動質25直角坐標系：

該時刻質點所在處沿運動軌跡的切線并指向質點前進的方向。方向：25直角坐標系：該時刻質點所在處沿運動軌跡的切線并指向質點26瞬時速率為t

→0時平均速率的極限,簡稱速率。

t→0時路程的極限等于質點位移矢量的模的極限。速率等于速度的模,等于速度的大小,總是正值。

速度和速率的單位為m

s

1

(米/秒)。26瞬時速率為t→0時平均速率的極限,簡稱速率。27上式稱為位移公式。如果已知質點運動速度與時間的函數(shù)關系,代入上式積分可算得位移。

質點在從t0到t時間內完成的位移,可通過對上式在此時間內的積分得到，即可得位移的微分形式根據(jù)速度的定義式27上式稱為位移公式。如果已知質點運動速度與時間的函數(shù)關系,28五、加速度(acceleration)加速度是描述速度變化快慢的物理量。OLBA

在

t時間內,速度的增量為可用平行四邊形法則或三角形法則求得。

是速度大小的變化和方向的變化共同引起的。28五、加速度(acceleration)加速度是描述速度變29根據(jù)加速度的定義（描述速度變化快慢的物理量）平均加速度若，則：瞬時加速度

加速度等于速度對時間的微商,或等于位置矢量對時間的二階微商。29根據(jù)加速度的定義（描述速度變化快慢的物理量）平均加速度若30加速度的方向與

t趨于零時的極限方向一致。曲線運動時，加速度a總是指向軌跡曲線凹的一邊。

直線運動中，a與v的方向在同一直線上，但有同向與反向兩種情況。30加速度的方向與t趨于零時的極限方向一致31加速度的單位是m

s

2(米/秒2)。

加速度大小31加速度的單位是ms2(米/秒2)。加速度大小32加速度在直角坐標系中的表達式加速度大小32加速度在直角坐標系中的表達式加速度大小33討論：（1）當時，質點作勻速直線運動；

(2)當時，質點作勻變速直線運動或二維拋體運動；(4)當?shù)拇笮『头较蚨几淖儠r，質點一般作曲線運動。(3)當?shù)拇笮「淖?方向和速度平行時，質點作變速直線運動。33討論：（1）當時，質點作勻速直線34根據(jù)加速度的定義式可得若求在t0到t時間內速度的變化,可對上式積分：速度公式位矢的一般表達式代入位移公式34根據(jù)加速度的定義式可得若求在t0到t時間內速度的變化35思考題:什么是質點，什么情況可以視物體為質點；位移和路程有何區(qū)別；在曲線運動中與是否不同；和有何區(qū)別。35思考題:363637§1-3質點運動的幾種形式

一、勻速直線運動勻速直線運動的特點：如取運動方向為x軸，則：x?Xot=0?Xt積分軌跡方程37§1-3質點運動的幾種形式

一、勻速直線運動勻速38二、勻變速直線運動1.一般情況：質點以恒定的加速度，沿直線運動設t=0時，v=vo,x=xo該方程為質點勻變速直線運動方程38二、勻變速直線運動1.一般情況：質點以恒定的加速度，392.自由落體運動取地面為坐標原點，向上為y軸的正方向，則a=-g設t=0時，y=yo,vo=vyo則：y392.自由落體運動取地面為坐標原點，向上為y軸的正方向，40運動的獨立性與疊加性運動的獨立性：如果一個質點同時參與幾個分運動，其中任何一個運動都不受到其他運動的影響，就好像只有自己存在一樣。運動的疊加性：質點的一般運動可以看做由幾個相互獨立的運動的合成，且合成的物理量滿足平行四邊形法則。40運動的獨立性與疊加性41三、拋體運動

拋體運動具有兩個特點:(1)運動平面是豎直平面，恒與地面垂直，（2）不計空氣阻力時，加速度就是重力加速度。41三、拋體運動拋體運動具有兩個特點:(1)42

假設物體以初速度v0沿與水平方向成角方向被拋出,求物體運動的軌道方程、射程、飛行時間和物體所能到達的最大高度。

拋體運動可以看作為x方向的勻速直線運動和y方向的勻變速直線運動相疊加。xyO

首先必須建立坐標系,取拋射點為坐標原點O,x軸水平向右,y軸豎直向上,如圖。運動疊加原理是求解復雜運動的有力工具。

42假設物體以初速度v0沿與水平方向成角43xyO由（1）、（2）得：——拋體運動軌道方程

(1)(2)討論：令y=0，得

43xyO由（1）、（2）得：——拋體運動軌道方程(1)44解得：（射程）物體的飛行時間拋射角

0=

/4時,最大射程xyO將x2代入上式，得44解得：（射程）物體的飛行時間拋射角0=/4時,最大45

實際運動軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值要小。最大高度:當物體到達最大高度時,必有物體達最大高度的時間xyO將上式代入45實際運動軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值46四.曲線運動

一般的運動都是曲線運動，即質點沿空間任意一條曲線運動。1.曲線的曲率和曲率半徑

在曲線運動中，速度的大小和方向都在不斷地變化。速度方向的變化與軌道的形狀有關。這是因為速度的方向是曲線的切線方向。在曲線彎曲厲害的地方，速度方向變化大；曲線的這個彎曲程度用曲率來表示；??P1P2?令曲線

曲線上p1和p2

之間的平均曲率46四.曲線運動一般的運動都是曲線運動，即質點47當△s趨近0時，p1和p2

兩點無限靠近，這個比值的極限稱為曲線在p1點的曲率其倒數(shù)稱為該點的曲率半徑

曲率半徑決定的圓稱為曲率圓，曲率圓的中心稱為曲率中心。圓：說明圓的曲率半徑即圓的半徑，是一個恒量。??P1P2?47當△s趨近0時，p1和p2兩點無限靠近，這個比值的極482.法向加速度和切向加速度動軌跡平面運質點的T切向N法向t切向單位矢量n法向單位矢量M時刻位置t0M初始位置自然坐標系482.法向加速度和切向加速度動軌跡平面運質點的T切向N法49LBAO’B′

A′

VAVB49LBAO’B′A′VAVB50VAVB50VAVB51VAVB切向加速度法向加速度大?。悍较颍?1VAVB切向加速度法向加速度大小：方向：52討論：1.若，則物體作直線加速運動；2.若，則物體作勻速圓周運動關于自然坐標系的說明：

（1）在自然坐標系中表示質點速度，是非常簡單的，因為無論質點處在什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。

（2）自然坐標系不僅適用于平面運動，也可以用于三維空間的運動。不過在三維情況下，應該引入兩個法向單位矢量52討論：1.若53五、圓周運動1.平面極坐標A

OP的位置矢量表示為

根據(jù)速度的定義式：式中是單位矢量的方向隨時間的變化率。

53五、圓周運動1.平面極坐標AOP的位置矢量表示為54OL

在時間內,質點沿任意平面曲線L由點A到達點B,極角的增量為。

O′

A′

B′

BA

等腰三角形O

A

B,當t→0時,底邊趨于與腰垂直,的方向趨于極角增大的方向,引入該方向的單位矢量。（）54OL在時間內,質點沿任意平面曲線L由55O′

A′

B′

（）徑向速度橫向速度速度大小55O′A′B′（）徑向速度橫向速度速度大小561.質點直線運動時,取該直線為極徑，極角為常量2.質點圓周運動時,極徑是圓周的半徑,為常量圓周運動角速度橫向速度是質點沿圓周切向速度討論561.質點直線運動時,取該直線為極徑，極角為常量2.57線量角量57線量角量58質點加速度:OB′

A′

OLAB

等腰

O

A

B

,當

t→0時,趨于與垂直,即指向的方向,大小^^58質點加速度:OB′A′OLAB等腰OA59于是有將和代入59于是有將和代入60徑向加速度橫向加速度60徑向加速度橫向加速度612.質點圓周運動,極徑

是圓周半徑,為常量,有1.質點直線運動,取該直線為極徑，極角為常量：討論繼續(xù)推算

612.質點圓周運動,極徑是圓周半徑,為常量,有62引入角加速度,定義為avrr=-2avtq=dd向心加速度切向加速度線量角量62引入角加速度,定義為avrr=-2avtq=dd向心63角量線量63角量線量642.圓運動方程（1）勻速圓周運動設：（2）勻變速圓周運動642.圓運動方程（1）勻速圓周運動設：（2）勻變速圓周運65積分得：

形式上與直線運動的三個方程是相同的，只是線量與角量的區(qū)別65積分得：形式上與直線運動的三個方程是相同的66rrt()運動學方程vt()速度任一時刻的at()加速度已知求第一類第二類vvt()rrt()運動學方程或速度方程或速度方程vvt)()0r)及加速度方程a()0vat))及求導vrdtda2dtd2r方法,積分方法-0vvdtat0r-r0dtt0v由初始條件定積分常量r00v,兩類基本問題質點運動學中的質點運動學中的兩類基本問題66rrt()運動學方程vt()速度任一時刻的at()加67

例1：通過絞車拉動湖中小船拉向岸邊,如圖。如果絞車以恒定的速率u拉動纖繩,絞車定滑輪離水面的高度為h,求小船向岸邊移動的速度和加速度。解：以絞車定滑輪處為坐標原點,x軸水平向右,y軸豎直向下,如圖所示。xlhyoxxlh67例1：通過絞車拉動湖中小船拉向岸邊,如圖。如果68

設:小船到坐標原點的距離為l,任意時刻小船到岸邊的距離x總滿足x

2

=l

2

h

2

兩邊對時間t

求導數(shù),得

絞車拉動纖繩的速率,纖繩隨時間在縮短,故;是小船向岸邊移動的速率。xlhyox

負號表示小船速度沿x軸反方向。68設:小船到坐標原點的距離為l,任意時刻小船到岸69根據(jù)數(shù)學公式：69根據(jù)數(shù)學公式：70小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大70小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大71例2：細棒以恒定角速度

繞其端點O

旋轉,棒上套一小球,小球以恒定速度u沿棒向外滑動。初始時刻小球處于點O,求t時刻小球的速度和加速度。

解：根據(jù)速度的定義式：O71例2：細棒以恒定角速度繞其端點O旋轉,棒上套一小72

可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動的速度,橫向速度則是t

的線性函數(shù)。

求得小球的速度

根據(jù)72可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動的速度,橫向速73

由上式可以看到,徑向加速度是時間的線性函數(shù),橫向加速度則為常量。

小球的加速度可表示為

：73由上式可以看到,徑向加速度是時間的線性函數(shù),74

解：質點的切向加速度和法向加速度分別為

例3:質點以初速沿半徑為R

的圓周運動,其加速度方向與速度方向夾角

為恒量,求質點速率與時間的關系。分離變量74解：質點的切向加速度和法向加速度分別為例3:質點以75這就是所要求的速率與時間的關系。得積分75這就是所要求的速率與時間的關系。得積分例4.

一質點由靜止開始作直線運動，初始加速度為

a0

，以后加速度均勻增加，每經過τ

秒增加

a0，求：經過

t

秒后質點的速度和運動的距離。解：據(jù)題意知，加速度和時間的關系為：例4.一質點由靜止開始作直線運動，初始加速度為a0，以77解：此類問題從a與x的關系，求v與x的關系即：積分：例題5一質點沿x軸運動，其加速度和位置關系為a=2+6x。質點在x=0處的速度為。求物體的速度和位置的關系。77解：此類問題從a與x的關系，求v與x的關系即：積分：例題78

習題1-4現(xiàn)有一矢量R是時間t的函數(shù)，問與在一般情況下是否相等？為什么？

解:

與在一般情況下是不相等的。因為前者是對矢量R的絕對值(大小或長度)求導，表示矢量R的大小隨時間的變化率；而后者是對矢量R的大小和方向兩者同時求導，再取絕對值，表示矢量R大小隨時間的變化和矢量R方向隨時間的變化兩部分的絕對值。如果矢量R方向不變只是大小變化，那么這兩個表示式是相等的。78習題1-4現(xiàn)有一矢量R791-12設質點的位置與時間的關系為x=x(t)，y=y(t)，在計算質點的速度和加速度時，如果先求出，然后根據(jù)和求得結果；還可以用另一種方法計算：先算出速度和加速度分量，再合成，得v=和。你認為哪一組結果正確？為什么？791-12設質點的位置與時間的關系為x=x(t)，80解第二組結果是正確的。而在一般情況下第一組結果不正確，這是因為在一般情況下

速度和加速度中的r是質點的位置矢量，不僅有大小而且有方向，微分時，既要對大小微分也要對方向微分。第一組結果的錯誤就在于，只對位置矢量的大小微分，而沒有對位置矢量的方向微分。80解第二組結果是正確的。而在一般情況下第一組結果不正確811-21質點從傾角為

=30

的斜面上的O點被拋出，初速度的方向與水平線的夾角為

=30

，如圖所示，初速度的大小為v0=9.8m

s

1

。若忽略空氣的阻力，試求：(1)質點落在斜面上的B點離開O點的距離；(2)在t=1.5s時，質點的速度、切向加速度和法向加速度。811-21質點從傾角為=30的斜面上的O點被拋82解建立如圖所示的坐標系(1)設B點到O點的距離為l，則B點的坐標可以表示為如果質點到達B點的時間為

，則可以列出下面的方程式(1)82解建立如圖所示的坐標系(1)設B點到O點的距83以上兩式聯(lián)立，可解得(3)

(2)將式(3)代入式(1)，得83以上兩式聯(lián)立，可解得(3)(2)將式(3)代入式84(2)設在t=1.5s時質點到達C點，此時所以速度的大小為速度與y軸負方向的夾角為84(2)設在t=1.5s時質點到達C點，此時858586

例題6：在傾角為

的山坡上安放一尊大炮，大炮相對山坡的仰角為

，所發(fā)射炮彈的初速為v0。忽略了空氣阻力，求炮彈擊中目標的位置、最大射程和對應最大射程的仰角。解:取炮口為坐標原點，取x軸沿水平向右、y軸豎直向上，建立坐標系。

該題與拋體運動無本質差異，只是炮彈的著地點P不是在水平面上，而是在傾角為

的山坡上。另外，炮彈著地點P不是在水平面上86例題6：在傾角為的山坡上安放一尊大炮，大炮相對山坡的87根據(jù)拋物線方程：山坡的直線方程為(1)(2)（1）、（2）聯(lián)立得：