立體幾何初步復(fù)習(xí)課

立體幾何初步復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容人教版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第167頁至第171頁第八章立體幾何初步小結(jié)及復(fù)習(xí)參考題8．重點(diǎn)是通過分析常見幾何圖形及典型問題，梳理立體幾何初步的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法．本章知識結(jié)構(gòu)如下框圖：2．內(nèi)容解析本章包括兩部分內(nèi)容，第一部分是認(rèn)識基本立體圖形：包括從空間幾何體的整體觀察入手，通過認(rèn)識柱、錐、臺、球等基本立體圖形的組成元素及其相互關(guān)系，認(rèn)識這些圖形的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及它們在平面上的直觀圖表示和它們的表面積和體積的計(jì)算．第二部分是認(rèn)識基本圖形位置關(guān)系：主要是討論組成立體圖形的幾何元素之間的位置關(guān)系．從組成立體圖形的基本元素——點(diǎn)、直線、平面出發(fā)，研究平面基本性質(zhì)，認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，重點(diǎn)研究直線、平面之間的平行和垂直這兩種特殊的位置關(guān)系．因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是通過分析常見幾何圖形及典型問題，梳理立體幾何初步的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法，從而構(gòu)建立體幾何的核心體系．難點(diǎn)是分析組合體的結(jié)構(gòu)特征以及運(yùn)用有關(guān)定理推理證明一些幾何元素間的位置關(guān)系．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）在回顧與思考本章的主要內(nèi)容的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生梳理立體幾何的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法，構(gòu)建立體幾何的核心體系，體會研究空間圖形的基本思路：直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算．（2）借助分析典型問題的通性通法，通過“圖”（識圖、畫圖、用圖）提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，通過“寫”（圖形、文字、符號三種語言）培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，通過“悟”（直觀感知、操作確認(rèn)）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象水平．2．目標(biāo)解析（1）通過問題的形式回顧主要內(nèi)容，并不是簡單的重復(fù)，而是深入思考、歸納概括、建立知識結(jié)構(gòu)，形成研究空間圖形的基本方法．（2）借助正方體等常見幾何體模型，設(shè)計(jì)一些綜合性較強(qiáng)的問題讓學(xué)生自主探究，建立一套解決復(fù)雜問題的處理模式．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生雖然學(xué)完了立體幾何初步的內(nèi)容，但對幾何圖形的認(rèn)識基本上停留在碎片化的就題論題的表層水平，對空間元素位置關(guān)系的研究不深入，需要在一兩節(jié)復(fù)習(xí)課上以師生相互交流的方式更深入地認(rèn)識立體幾何．四、教學(xué)支持條件分析觀察和展示現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例與圖片，“幾何畫板”的畫圖軟件，投影儀等．五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)問題1：我們是從哪些角度入手研究基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征的？你能用基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征解釋身邊物體的結(jié)構(gòu)嗎？請舉例說明．我們從對空間幾何體（實(shí)物、模型、圖片等）的整體觀察入手，認(rèn)識多面體、旋轉(zhuǎn)體以及一些基本幾何體（棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球）的結(jié)構(gòu)特征，研究這些幾何體的組成元素及其相互關(guān)系． 師生共同總結(jié)：（1）n棱錐：F=n+1,E=2n,V=n+1,V+F-E=2n棱柱與n棱臺：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2n棱錐的本質(zhì)特征：有一個面是n邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形．n棱柱的本質(zhì)特征：有兩個面（均為n邊形）相互平行，其余各面是每相鄰兩個面的公共邊互相平行的四邊形面．n棱臺是用一個平行于n棱錐底面的平面去截棱錐，所得的底面與截面之間的部分．當(dāng)n棱柱的一個底面“均勻”縮小變?yōu)槊娣e較小的相似底面時，變成n棱臺；繼續(xù)“均勻”縮小成一個點(diǎn)時，便變成n棱錐．（2）V+F-E=2這個規(guī)律是歐拉拓?fù)涔剑篤+F-E=2,其中V,F,E分別是簡單多面體的頂點(diǎn)個數(shù)、面數(shù)、棱的條數(shù)．例2中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是圖1“半正多面體”的直觀圖．（1）請你數(shù)一數(shù)該幾何體的面數(shù)F，棱數(shù)E，頂點(diǎn)數(shù)V，是否有例1的規(guī)律？（2）請你說說是怎樣數(shù)出來的？說說該半正多面體的結(jié)構(gòu)特征．師生共同總結(jié)：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2（2）①該半正多面體可看成一個組合體，從上而下看，最上層與最下層是兩個全等的多面體（如圖3，圖5），圖3多面體的下底面是正八邊形，上底面是正方形，且下底面與上底面平行，側(cè)面有四個正方形，四個正三角形；中間是正八棱柱（如圖4）．②從上下、左右、前后三個方向看，該半正多面體都具有相同的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，也展示了南北朝時期的審美觀與幾何文化．問題2：利用斜二測畫法可以畫出空間幾何體的直觀圖．你能結(jié)合實(shí)例說出用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的基本步驟嗎？斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖，是用平面圖形表示空間圖形的重要方法，我們能夠根據(jù)直觀圖想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu)．簡單說，斜二測畫法的規(guī)則是：橫豎不變，縱減半，平行性不變．我們可以例1中的正八棱柱為例，具體展示用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的基本步驟（如圖6）．問題3：對于空間幾何體，可以有不同的分類，你能選擇不同的分類標(biāo)準(zhǔn)對柱、錐、臺、球等空間幾何體進(jìn)行分類嗎？如何計(jì)算柱、錐、臺、球的表面積和體積？你能說出柱、錐、臺、球的體積公式之間的聯(lián)系嗎？空間幾何體按照圍成它的各個面的特征（平面還是曲面）分類，可以得到多面體、旋轉(zhuǎn)體．進(jìn)一步地，按照組成多面體和旋轉(zhuǎn)體的面、棱、頂點(diǎn)等組成要素的特征及其位置關(guān)系分類，又可以得到棱柱、棱錐、棱臺等基本的多面體以及圓柱、圓錐、圓臺、球等基本的旋轉(zhuǎn)體．棱柱、棱錐和棱臺的表面積就是組成它們的各個面的面積和，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面與表面積可以通過側(cè)面展開為平面圖形來處理．用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)研究棱柱、棱錐和棱臺的體積公式之間的關(guān)系：分析：考慮旋轉(zhuǎn)后得到怎樣的幾何體．解析：圖7旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體是底面圓半徑與高均為的圓柱挖去一個圓錐后的幾何體，該圓錐的頂點(diǎn)為圓柱下底的圓心，底面與圓柱上底面重合（如圖9中的右圖所示）．為什么這兩個幾何體的體積相等呢？課后同學(xué)們可上網(wǎng)查閱“祖暅原理”進(jìn)行更多的了解．

探究1：問以該正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有幾種（全等的算一種）？比較這些四面體的結(jié)構(gòu)特征．展示同學(xué)們的作業(yè)，同時交流思路．四面體的四個頂點(diǎn)不可能在正方體的同一個面上，應(yīng)該分布在正方體的上、下兩個面上，以在下底面的頂點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)分類考慮．歸納總結(jié)有以下四種（如圖11）：探究2：是否存在四個面都是直角三角形的四面體？總結(jié)：（1）求四面體的體積一般可根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特征，確定高與底面，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積；圖11（4）中的四面體是正四面體（各面都是全等的正三角形），也可通過割補(bǔ)法求得；定義法、轉(zhuǎn)化法、割補(bǔ)法等是求幾何體體積的重要方法．（2）經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，圖11（4）中的正四面體的體積最大，表面積最小，這也是現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常要考慮的最優(yōu)化問題．探究4：怎樣求圖11中的四個四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑？四個四面體的外接球與正方體的外接球相同，其一條直徑為正方體的體對角線，半徑．如圖12，可以類比三角形內(nèi)切圓半徑的面積計(jì)算思路，可計(jì)算出四個內(nèi)切球的半徑．問題4：刻畫平面的三個基本事實(shí)是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形、進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)．實(shí)際上，三個基本事實(shí)刻畫了平面的“平”、平面的“無限延展”，你能歸納一下刻畫的方法嗎？平面的三個基本事實(shí)是按照從簡單到復(fù)雜的順序，刻畫平面的基本性質(zhì)．基本事實(shí)1是從點(diǎn)與平面關(guān)系的角度刻畫平面的唯一存在性，基本事實(shí)2是從直線與平面關(guān)系的角度利用直線的“直”和“無限延伸”的屬性刻畫了平面的“平”和“無限延展”的屬性，基本事實(shí)3是從平面與平面關(guān)系的角度進(jìn)一步說明了平面的“平”和“無限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它們才可能交于一條直線，否則交線就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圓柱的側(cè)面和底面的交線就是一條曲線；另外，兩個平面相交于一條直線，直線是“無限延伸”的，也說明平面的交點(diǎn)有無數(shù)個，平面是“無限延展”的．空間直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系是從生活世界中找到模型，再根據(jù)公共點(diǎn)的個數(shù)、是否共面等進(jìn)行邏輯分類建立起來的．例5（復(fù)習(xí)參考題8第5題）三個平面可將空間分成幾部分？請分情況說明．探究1：一個平面將空間分成兩個部分，兩個平面有幾種位置關(guān)系？它們將空間分成幾部分？圖13（1）中αPβ，它們將空間分成三部分；圖13（2）中αIβ=a，它們將空間分成四部分．探究2：在圖13中再增加一個平面，這三個平面可能產(chǎn)生哪些位置關(guān)系？每種位置關(guān)系可將空間分成幾部分？可能出現(xiàn)五種不同的位置關(guān)系如圖14，三個不同的平面α，β，γ，直線a,b,c,l．

將12條分成三個共面組，側(cè)棱組4條，上底面棱組4條，下底面棱組4條，若“異面直線組”含四條或以上的棱，則至少有兩條棱在同一組，這樣兩條棱便共面，這與“異面直線組”的定義矛盾，故“異面直線組”最多有三條棱．

問題5：在直線、平面的位置關(guān)系中，“平行”和“垂直”是最重要的．（1）在研究這些位置關(guān)系的判定時，我們采用了哪些思想方法？以直線與平面垂直為例，總結(jié)一下研究判定的內(nèi)容、過程和方法．（2）研究這些位置關(guān)系的性質(zhì)，實(shí)際上就是要研究什么問題？以兩個平面相互垂直為例，總結(jié)一下研究性質(zhì)的內(nèi)容、過程和方法．研究“什么是空間直線、平面的垂直？”以及“空間直線、平面垂直時其要素（直線、平面）有什么確定不變關(guān)系”；確立研究空間直線、平面垂直的內(nèi)容（判定與性質(zhì)）與路徑：“化繁為簡”“以簡馭繁”“空間問題平面化”是空間元素位置關(guān)系的一般思路．我們利用直線與直線的垂直研究直線與平面的垂直，利用直線與直線垂直、直線與平面垂直研究平面與平面垂直．反過來，由直線與平面垂直又可以得到直線與直線垂直，由平面與平面垂直又可以得到直線與直線、直線與平面垂直．

小結(jié)：正方體（或長方體）是重要的幾何體模型，我們要深入研究正方體模型，對它進(jìn)行變形，構(gòu)建出新的模型，探求各種空間位置關(guān)系或幾何模型與正方體之間的聯(lián)系，彰顯正方體的“母體”地位．課后作業(yè)：

5．教材第170頁復(fù)習(xí)參考題8第10題．6．教材第170頁復(fù)習(xí)參考題8第11題．7．教材第171頁復(fù)習(xí)參考題8第13題．8．教材第171頁復(fù)習(xí)參考題8第14題．六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)（時間：90分，滿分：100分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說法錯誤的是（）．（A）一個八棱柱有10個面（B）任意n面體都可以分割成n個棱錐（C）棱臺側(cè)棱的延長線必相交于一點(diǎn)（D）矩形旋轉(zhuǎn)一周一定形成一個圓柱2．給出下列4個命題：①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行．其中正確的命題是（）．（A）①② （B）③④ （C）①④ （D）②③3．給出下列4個命題：①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個平面平行；④垂直于同一平面的兩個平面平行．其中正確的命題是（）．（A）①② （B）③④ （C）①④ （D）②③4．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為，則這個三棱錐的體積是（）．

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．請將答案填在對應(yīng)題號的位置上．9．正方體相鄰兩個面的兩條對角線所成角的大小是________．10．長方體的所有頂點(diǎn)都在一個球面上，長、寬、高分別為3，2，1，那么這個球面的面積是________．11．正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則它的體積為________．13．已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，沿BD將△ABD折起成△．若點(diǎn)A′