大規(guī)模傳染病的疫情控制模型分析

大規(guī)模傳染病的疫情控制模型分析摘要：大規(guī)模傳染性疾病的突然爆發(fā)與迅速蔓延對(duì)人類的生存造成巨大的威脅。2009年始于美洲的H1N1甲型流感又開始了在世界范圍內(nèi)的大規(guī)模傳播，因此對(duì)于H1N1甲型流感疫情的防控和發(fā)展情況進(jìn)行預(yù)測(cè)顯得尤為重要。本文利用數(shù)學(xué)模型來解決這個(gè)問題。問題一，根據(jù)微分方程的原理，建立一個(gè)傳統(tǒng)的傳染病模型，此模型為近似于自然傳播時(shí)的S-I-R模型。對(duì)模型進(jìn)行求解，可得到傳染病在自然傳播下的預(yù)測(cè)函數(shù)。結(jié)論是：在爆發(fā)初期還未進(jìn)行有效的防控措施時(shí)，確診人數(shù)快速增加。問題二，我們是在問題一的基礎(chǔ)上，考慮政府對(duì)疫情采取防控措施的情況下，傳染病的傳播和發(fā)展趨勢(shì)。對(duì)模型的求解結(jié)果進(jìn)行分析和檢驗(yàn)可得：越早的采取隔離措施、隔離強(qiáng)度越強(qiáng)對(duì)疫情的控制越有利，且當(dāng)P0.7時(shí)，與中國(guó)患病人數(shù)增長(zhǎng)曲線擬合的較好，因此可知中國(guó)政府對(duì)疫情控制力度應(yīng)該是左右。關(guān)鍵字：H1N1；甲型流感；微分方程；S-I-R模型引言甲型H1N1流感病毒：甲型H1N1流感病毒是A型流感病毒，攜帶有H1N1甲型豬流感病毒，包含有北美和歐亞豬流感、禽流感和人流感三種流感病毒的核糖核酸（RNA）基因片斷，同時(shí)擁有亞洲豬流感和非洲豬流感病毒特征。易感類：（S類）指雖未得病但與已病者接觸后容易受到感染的一類人。感染類：（I類）指感染上某種病原體的一類人。移出類：（R類）指因患病而被隔離或感染死亡或因痊愈而具有免疫力的一類人，他們這時(shí)既非感染者，也非易感染者，實(shí)際上已經(jīng)退出了我們所考慮的傳染病系統(tǒng)。在這里我們用治愈者（R）和死亡者（D）代替。1、問題的提出2002年爆發(fā)的非典疫情給全世界，尤其是中國(guó)留下了永遠(yuǎn)無法磨滅的記憶。大規(guī)模傳染性疾病的突然爆發(fā)與迅速蔓延對(duì)人類的生存造成了巨大的威脅。2009年始于美洲的H1N1甲型流感又開始了在全世界范圍內(nèi)的大規(guī)模傳播，截至2009年6月11日，世界衛(wèi)生組織宣布全球共報(bào)告患者人數(shù)共28774人，遍布74個(gè)國(guó)家和地區(qū)。同日，世界衛(wèi)生組織還召開了緊急專家會(huì)議，決定將甲型H1N1流感大流行警戒級(jí)別提升至最高的第六級(jí)，意味著宣布“甲流”進(jìn)入全球大流行階段。面對(duì)來勢(shì)洶洶的疫情，中國(guó)政府汲取了2002年非典疫情控制的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。疫情一開始就采取了堅(jiān)決有效的防控措施，對(duì)患者和與患者密切接觸的人員一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，立刻進(jìn)行隔離，直至排除發(fā)病可能。這些措施對(duì)疫情的控制起到了明顯的效果。截至2009年6月14日，中國(guó)內(nèi)地共發(fā)現(xiàn)196例患者，尚無一個(gè)死亡病例。而一些美洲國(guó)家患者人數(shù)上升速度卻較快?，F(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型完成以下問題：（1）搜集疫情爆發(fā)初期中國(guó)的H1N1疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)疫情發(fā)展情況進(jìn)行預(yù)測(cè)；（2）建立數(shù)學(xué)模型來刻畫有效的防控措施對(duì)疫情傳播的作用，并結(jié)合預(yù)報(bào)結(jié)果分析、比較采取防控措施力度的大小對(duì)疫情的影響。2、模型假設(shè)（1）H1N1甲型流感可由豬傳染給人，也可在人群間傳播。本模型僅考慮人群間的傳播。（2）認(rèn)為疫情持續(xù)期間內(nèi)系統(tǒng)總?cè)藬?shù)不變，同時(shí)不考慮此期間的出生人口和自然死亡人口。（3）H1N1甲型流感的潛伏期為1至7天左右，本模型取7天。（4）將所考查人群分為易感類、感染類、治愈者、死亡者四類。（5）假設(shè)已治愈的患者二度感染的概率為0，即患者具有免疫能力，不考慮其再感染。（6）假設(shè)所有患者均為“他人輸入型”患者，即不考慮人群個(gè)體自身發(fā)?。?）假設(shè)已被隔離的人群之間不會(huì)發(fā)生交叉感染。（8）不考慮隱性H1N1甲型流感患者，即只要感染上H1N1甲型流感病毒的患者最終都會(huì)表現(xiàn)出癥狀。3、符號(hào)說明符號(hào)I(t)S(t)Y(t)R(t)D(t)k1k2r(t)含義現(xiàn)有感病者人數(shù)易感者人數(shù)累計(jì)感病者人數(shù)治愈人數(shù)死亡人數(shù)病人的死亡率病人的治愈率未被隔離的病人平均每人每天傳染的人數(shù)p隔離強(qiáng)度ta,b時(shí)間常量參數(shù)反映r（t）的變化快慢4、問題分析對(duì)問題一：該問題是對(duì)一個(gè)繼SARS后又一個(gè)比較典型的傳染病模型的研究。由于H1N1的傳播受交通、某地區(qū)的人流量、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、文化等因素的影響，而影響疫情發(fā)展趨勢(shì)的最直接的因素是：感染者的數(shù)量、傳播形式以及病毒本身的傳播能力、對(duì)感染者的隔離強(qiáng)度、入院時(shí)間等，我們?cè)诮⒛Ｐ蜁r(shí)不可能也沒有必要考慮所有因素，只需抓住關(guān)鍵因素，進(jìn)行合理的假設(shè)并建立模型。首先我們把人群分為四類：易感人群、感病人群、治愈人群和死亡人群，分別用S(t)、I(t)、R(t)和D(t)表示。然后建立一個(gè)傳統(tǒng)的傳染病模型，此模型為近似于自然傳播時(shí)的S-I-R模型，即如下圖所示：對(duì)問題二：隨著感病人群數(shù)量的增加，人們的防范意識(shí)逐漸增強(qiáng)，促使日傳染率減小。引起人們防范措施增強(qiáng)的原因主要有兩方面：來自于因?qū)σ咔榈目只判睦?，而迫使人們加?qiáng)自身防范意識(shí)；來自衛(wèi)生部門政策、法律法規(guī)的頒布等，而加強(qiáng)了防范措施意識(shí)。以上兩個(gè)方面又都受疫情嚴(yán)重程度的影響，關(guān)系如圖2所示：這些因素都可以使r(t)減小，但主要體現(xiàn)在衛(wèi)生部門的隔離強(qiáng)度p和采取隔離措施的時(shí)間t上。即模型二是在模型一的基礎(chǔ)上考慮隔離強(qiáng)度p和時(shí)間t的因素，建立微分方程模型。圖2疫情的影響關(guān)系圖5、模型建立與求解問題一模型建立假設(shè)產(chǎn)生第一例H1N1甲型流感病人之后的t時(shí)間內(nèi)是近似于自由傳播的時(shí)段，隔離強(qiáng)度為0每個(gè)病人每天感染人數(shù)r(t)為一常數(shù)。我們考慮自然傳播下的幾類人群的變化情況，并通過分析各類人群的狀態(tài)轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立微分方程，得到S-I-R模型?，F(xiàn)有感病人數(shù)的變化是由At時(shí)間段內(nèi)的新增感病者、死亡人數(shù)和痊愈人數(shù)決定的：現(xiàn)有感病人數(shù)的變化=新增感病人數(shù)一(死亡人數(shù)+痊愈人數(shù))。r為每個(gè)未被隔離的病人每天感染的人數(shù)，k和k分別為治愈率和死亡率。21則有新增感病人數(shù)為現(xiàn)有感病者在單位時(shí)間(天)內(nèi)的感染人數(shù)：新增感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)x感病者每人在At時(shí)間內(nèi)的感染人數(shù)=I(t)xrxAt新增死亡人數(shù)=死亡率X現(xiàn)有感病人數(shù)xAt=kxI(t)xAt1新增痊愈人數(shù)=痊愈率X現(xiàn)有感病人數(shù)xAt=kxI(t)xAt2于是可得：(1)現(xiàn)有感病人數(shù)的變化為：I(t+At)—I(t)=I(t)xrxAt—(k+k)I(t)xAt12TOC\o"1-5"\h\zI(t+At)—I(t)=rxI(t)—(k+k)xI(t)At12當(dāng)AtT0時(shí)，dI^t)=rI(t)—(k+k)I(t)dt12死亡人數(shù)的變化=新增死亡人數(shù)，則有：D(t+At)—D(t)=k/(t)AtD(t+At)-D(t)=kI(t)At1當(dāng)AtT0時(shí)，=kI(t)dt1同理，痊愈人數(shù)的變化=新增痊愈人數(shù)，則有：R(t+At)—R(t)=k2I(t)At當(dāng)Att0時(shí)，dR(t)=kI(t)dt2累計(jì)感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)+死亡人數(shù)+痊愈人數(shù)，則有：Y(t)=I(t)+D(t)+R(t)綜上所述，我們可以得到甲型H1N1流感的S-I-R模型，模型一：dI(t)=rl(t)-(k+k)I(t)dt121)如=1)<dtidRt)=ki(t)dt2Y(t)=I(t)+D(t)+R(t)其中，初始值為7(0)=1Y(0)=1VD(0)=0、R(0)=0模型求解對(duì)于現(xiàn)有感病者人數(shù)I(t)，根據(jù)S-I-R模型的方程(1)，求得I(t)二e(r-k1-k2)t,teAt(2)I=0.7209其中，Vk=0.06771k=0.52552我們根據(jù)以上求出的解，作出了中國(guó)的現(xiàn)有感病者人數(shù)預(yù)測(cè)圖，如圖3所示：5500055000中國(guó)現(xiàn)有病人人疑頊劉圖圖3中國(guó)的現(xiàn)有感病者人數(shù)預(yù)測(cè)圖由圖3分析可知，中國(guó)的H1N1確診者人數(shù)上升較快，這是因?yàn)橹袊?guó)政府在爆發(fā)初期還未進(jìn)行有效的防控措施，使得確診人數(shù)快速增加。問題二

模型建立在疫情發(fā)生一段時(shí)間后，衛(wèi)生部門會(huì)采取有效的防控措施，如強(qiáng)制隔離感染者和密切接觸者等。本模型為采取有效的防控措施之后的傳染病模型，即考慮隔離強(qiáng)度p。隔離強(qiáng)度從自然狀態(tài)下的0變?yōu)閜。未被隔離的病人平均每人每天感染的人數(shù)r隨時(shí)間逐漸變化，它從初始的最大值a+b逐漸減小至最小值a。a、b的值客觀存在，可從資料中查到。設(shè)每個(gè)未被隔離的病人每天感染的人數(shù)r(t)=a+be一九其中，九用來反映r(t)的變化快慢，可以查資料估計(jì)出它的大小(九=)。類似于問題一的分析，我們來考慮在采取隔離措施后的t到t+At時(shí)段內(nèi)各類人群的變化情況?，F(xiàn)有感病人數(shù)的變化是由At時(shí)間段內(nèi)的新增感病者、死亡人數(shù)和痊愈人數(shù)決定的：現(xiàn)有感病人數(shù)的變化=新增感病人數(shù)一(死亡人數(shù)+痊愈人數(shù))。r(t)為每個(gè)未被隔離的病人每天感染的人數(shù)，k和k分別為治愈率和死亡2133)率。則有新增感病人數(shù)為現(xiàn)有感病者在單位時(shí)間(天)內(nèi)的感染人數(shù)：新增感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)X感病者每人在At時(shí)間內(nèi)的感染人數(shù)=(1-p)-1(t)-r(t)-At新增死亡人數(shù)=死亡率X現(xiàn)有感病人數(shù)xAt=k1XI(t)XAt新增痊愈人數(shù)=痊愈率X現(xiàn)有感病人數(shù)xAt=kXI(t)XAt2于是可得，現(xiàn)有感病人數(shù)的變化為：I(t+At)一I(t)=(1一p)I(t)xrxAt一(k+k)I(t)xAtI(t+AI(t+At)-1(t)At=(1-p)rxI(t)-(k+k)xI(t)12當(dāng)AtT0時(shí)，dI^t)=(1-p)rI(t)-(k+k)I(t)dt12死亡人數(shù)的變化=新增死亡人數(shù)，則有：D(t+At)-D(t)=kI(t)At1當(dāng)AtT0時(shí)，=kI(t)dt1同理，痊愈人數(shù)的變化=新增痊愈人數(shù)，則有R(t+At)-R(t)=k2I(t)At當(dāng)AtT0時(shí)，=kI(t)dt2累計(jì)感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)+死亡人數(shù)+痊愈人數(shù)，則有Y(t)=I(t)+D(t)+R(t)綜上所述，可得微分方程模型二響=(1-p)r(t)I(t)-(k+k)I(t)dt12紗=kI(t)<dt1dRt)=kI(t)dtiY(t)=I(t)+D(t)+R(t)其中,r(t)=a+be一九va=0.245b二0.6初始值取模型一的最后一個(gè)值。模型求解我們求得現(xiàn)有感病人數(shù)的方程:I(t)=eI(t)=e[(1-P)a_k]_k2]t+(1—P)b(l—e-入)X(4)其中,a二0.245b二0.6經(jīng)由分析得a、b為常量參數(shù)，p和X為待估計(jì)的參數(shù)。現(xiàn)在來估計(jì)p和X，現(xiàn)分別取p和X的估計(jì)值為：p=0.6,,X=0.02。至此I(t)即為關(guān)于t的一元確定函數(shù)。根據(jù)以上求解結(jié)果，我們可以作出采取有效措施后的感病者人數(shù)預(yù)測(cè)圖，如圖4所示：圖4采取不同力度措施后的感病者人數(shù)對(duì)比圖控制力度p不同，患病人數(shù)增長(zhǎng)的快慢不同，且對(duì)患病人數(shù)增長(zhǎng)速度影響較大?？刂屏Χ仍酱?，則其患病人數(shù)越少；反之，控制力度越小，則患病人數(shù)越多，患病人數(shù)增長(zhǎng)的越快。從圖中可知當(dāng)p0.7時(shí)，與中國(guó)患病人數(shù)增長(zhǎng)曲線擬合的較好，因此可知中國(guó)政府對(duì)疫情控制力度應(yīng)該是左右?？刂屏Χ却笮?duì)患病人數(shù)增長(zhǎng)對(duì)比中國(guó)控制力度大于美國(guó)對(duì)疫情的防控力度，因此我們以中國(guó)和美國(guó)作為防控力度大小不同的兩個(gè)國(guó)家進(jìn)行對(duì)比。如下圖：由圖5可得：在甲型H1N1流感疫情爆發(fā)初期，美國(guó)沒有采取有力的防控措施，加上美國(guó)是一個(gè)世界大國(guó)，人口流動(dòng)很快，致使疫情迅速蔓延到全球，并且迅速增長(zhǎng)。相對(duì)于美國(guó)而言，中國(guó)政府有了非典時(shí)期的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，從而在疫情爆發(fā)初期就采取了強(qiáng)有力的防控措施，如隔離確診病人、疑似病人和密切接觸者，盡力將病毒感染率降到最低。這些措施對(duì)疫情的控制起到了明顯的效果。姿國(guó)利甲國(guó)唐病人敎坦孫國(guó)1.59.50申國(guó)9.50申國(guó)i++++*+*++++十+++++++T+"甘"+05145圖5中國(guó)和美國(guó)患病人數(shù)趨勢(shì)對(duì)比圖結(jié)束語（1）為了簡(jiǎn)化模型的復(fù)雜性，我們?cè)O(shè)定隔離強(qiáng)度，治愈率、死亡率等參數(shù)在一定時(shí)間段內(nèi)不發(fā)生變化，而實(shí)際情況下，隨著感染人數(shù)的減少是會(huì)發(fā)生變化的，還需要針對(duì)具體情況做具體分析。（2）模型把人群的每一個(gè)個(gè)體、每一個(gè)地區(qū)視為相同的，忽略了性別、年齡結(jié)構(gòu)以及地區(qū)差異對(duì)隔離措施強(qiáng)度、控制時(shí)間等參數(shù)的影響，而事實(shí)上，個(gè)體免疫力是與個(gè)體年齡因素有關(guān)的，同時(shí)不同地域?qū)σ咔榈内厔?shì)也有影響。（3）模型一中對(duì)人群的劃分不夠細(xì)致，還應(yīng)該考慮潛伏者和確診者對(duì)模型的影響。（4）模型二中沒有考慮人們的防范意識(shí)對(duì)疫情發(fā)展趨勢(shì)的影響。［參考文獻(xiàn)］［1］戴明強(qiáng)，李衛(wèi)軍，楊鵬飛?數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用［M］,北京；科學(xué)出版社，2007年.⑵韓中庚，宋明武，邵廣紀(jì)?數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽［M］,北京；科學(xué)出版社，2007年5月.⑶任超，孫中舉,都琳.SARS傳播控制及經(jīng)濟(jì)影響模型研究J］西安;2003年9月.［4］H1N1專題網(wǎng)，，2009年7月26日.⑸戴朝壽，孫世良?數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程［M］,北京；高等教育出版社，2007年7月.PropagationmodelAnalysisofH1N1TianJia（DepartmentofMathematics,Xi'anUniversityofArtsandScience,Xi'an

710065,China）Abstract:Suddenly,large-scaleinfectiousdiseasesbrokenout?Humanbeingwereattackedwithit.Beganin2009,theH1N1influenzaintheAmericasbeganintheworldwidelarge-scaletransmission,ItisparticularlyimportantthattheH1N1influenzaoutbreakforpreventionandcontrollingandpredictingdevelopments.Inthispaper,mathematic