第6章 數(shù)列 第4節(jié)　數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

索索引引第六章數(shù)列第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升知識(shí)診斷

基礎(chǔ)夯實(shí)ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI1知識(shí)梳理1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：索引(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.索引(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.索引(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.常用結(jié)論索引4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.索引√診斷自測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)√索引×√解析

(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解.BA.50B.75C.100D.125索引CA.7B.8C.9D.10索引A索引解析

S20＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，2S20＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220，兩式相減，得－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23·220.5.(易錯(cuò)題)數(shù)列{(n＋3)·2n－1}前20項(xiàng)的和2為2·220－2索引故S20＝22·220－2.解析

由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，an＝2(n＋1)即an＝2(n＋1).索引考點(diǎn)突破 題型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUXI2考點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和例1

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且關(guān)于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集為(1，2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集為(1，2)，又S2＝2a1＋d，所以a1＝d，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.索引n(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n＋2a

－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.n解

由(1)可得，a2n＝2n，2a

＝2n.nn

2n

n因?yàn)閎

＝a

＋2a

－1，所以b

＝2n－1＋2n，索引感悟提升索引訓(xùn)練1

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項(xiàng)和Sn.解

Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln

2－ln

3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln

3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，索引綜上所述，索引考點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和解

已知Sn＝2an－a1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－a1，兩式相減得an＝2an－1，n≥2，所以數(shù)列{an}是公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.索引證明

由Sn＝2an－a1＝2n－1，索引感悟提升索引訓(xùn)練2

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)證明：{an}為等比數(shù)列；證明

由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－1＋2，所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，所以an＋1＝2an(n≥2).所以{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.索引解

由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.索引所以λ的取值范圍為[20，＋∞).索引考點(diǎn)三 錯(cuò)位相減法求和解

設(shè){an}的公比為q，則an＝qn－1.因?yàn)閍1，3a2，9a3成等差數(shù)列，索引①－②得索引索引1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)常采用錯(cuò)位相減法.2.錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.感悟提升索引解

選①，即Sn＝2an＋1.①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1＋1，故a1＝－1；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1＋1，②①②兩式相減得an＝2an－1，所以{an}為等比數(shù)列，其中公比為2，首項(xiàng)為－1.所以an＝－2n－1.索引選②，即a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1.所以當(dāng)n≥2時(shí)，log2(anan＋1)－log2(an－1an)＝2，所以{a2k－1}(k∈N*)為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為a1＝－1，公比為4，所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1；由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，同理可得，a2k＝－2×4k－1＝－22k－1(k∈N*).綜上，an＝－2n－1.索引所以{an}為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，又因?yàn)閧an}為單調(diào)數(shù)列，所以q＞0，索引(2)求數(shù)列{－nan}的前n項(xiàng)和Tn.索引注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解

由(1)知，－nan＝n·2n－1，所以Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－2)·2n－2＋(n－1)·2n－1＋n·2n，兩式相減得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－n·2n＝(2n－1)－n·2n.所以Tn＝(n－1)·2n＋1.考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合問題[規(guī)范解答]解

由b1＋b2＝6b3，得1＋q＝6q2，索引由an＋1－an＝4n－1，索引證明

依題意設(shè)bn＝1＋(n－1)d＝dn＋1－d，[規(guī)范解答]索引由b1＝1，d＞0，得bn＋1＞1，索引第一步 分析題意，弄清題目給出的各數(shù)列之間的關(guān)系第二步 根據(jù)題目條件求得基本量，從而利用累加法確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式第三步第四步第五步利用累乘法求得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，并利用放縮法證明不等式反思回顧解題過程，規(guī)范答題步驟答題模板索引解

由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，訓(xùn)練4

已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；索引(2)將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若存在m∈N*，使對(duì)任意n∈N*，總有Sn＜Tm＋λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解

由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，索引∴{Tm}為遞增數(shù)列，得4≤Tm＜8.故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使對(duì)任意n∈N*總有Sn＜Tm＋λ，則10＜8＋λ，得λ＞2.即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(2，＋∞).索引數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題微點(diǎn)突破數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題的常見題型①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確奇偶項(xiàng)問題.對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k－1＋a2k看作一項(xiàng)，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.索引一、含有(－1)n的類型例1

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且數(shù)列{an＋1－an}是以2為公比的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解

依題意可知數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3－1＝2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－an＝2×2n－1＝2n，等式兩邊同時(shí)除以2n得，索引所以an＝2n－1.索引(2)令cn＝(－1)n＋1an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.解

由(1)得，cn＝(－1)n＋1(2n－1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－＝21－22＋23－24＋…＋2n－1－2n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，索引解

法一 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)索引索引∴S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)索引綜上所述，索引放縮法的注意事項(xiàng)以及解題策略：對(duì)于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不等式；若不能或很難求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式.而對(duì)于“和式”數(shù)列不等式，放縮的最主要目的是通過放縮，把原數(shù)列變?yōu)榭汕蠛?、易求和的?shù)列.明確放縮的方向：是放大還是縮小.若要證明小于某值，則放大；若要證明大于某值，則縮小.數(shù)列中的簡(jiǎn)單放縮微點(diǎn)突破索引放縮的項(xiàng)數(shù)：不一定對(duì)所有項(xiàng)進(jìn)行放縮，有時(shí)從第一項(xiàng)開始，或從第二項(xiàng)，或從第三項(xiàng)等開始.常見的放縮方法有：①增加(減少)某些項(xiàng)；②增大(減少)分子(分母)；③增大(減小)被開方數(shù)；增大(減小)底數(shù)(指數(shù))；④利用不等式的性質(zhì)或基本不等式；⑤利用函數(shù)的單調(diào)性等.索引一、先求和再放縮例1

已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4＝24，S10＝120.(1)求Sn；解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則得a1＝3，d＝2.∴Sn＝3n＋n2－n＝n2＋2n.索引索引又S1＝a1＝1，所以a2＝4.索引(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2.索引索引索引3

分層訓(xùn)練 鞏固提升FENCENGXUNLIAN

GONGGUTISHENGA級(jí)基礎(chǔ)鞏固A.－200

B.－100

C.200

D.100解析

S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.索引12345678910111213141.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為D(

)2.(2021·成都診斷)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋n，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和索引1234567891011121314)為Sn，則S8＝(A.546B.582C.510D.548AA.2

019B.2

020C.2

021D.2

022C索引12345678910111213144.(2022·鄭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋索引1234567891011121314B.15

C.18D.30解析

由題意知{an}是以2為公差的等差數(shù)列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.|a6|＝(C

)A.9索引5.在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)B.8

C.5解析

由an＋2＝an＋1－an＝(an－an－1)－an＝－an－1＝－(an－2－an－3)＝－(an－3－an－4)＋an－3＝an－4，得{an}是周期為6的周期函數(shù)，又a3＝a2－a1＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，∵100＝16×6＋4，∴S100＝16×1(12

＋3

34＋52－617

－8

39－102)11＋12(11＋3＋134

＋2－1)＝5.之和是(

C)

A.18D.2A.10C.130BB.120解析

設(shè)f(x)＝xα，D，D.且14f0(x)過點(diǎn)(4，2)，索引12345678910111213147.(2021·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為－1，anan＋1＝－2n，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和等于

3_3_1_1

.解析

因?yàn)閍nan＋1＝－2n，所以{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為公比為2的等比數(shù)列，索引1234567891011121314∴S2

021＝1＋(2－1

009)＋(4－1

009)＋…＋(2

020－1

009)＝1＋(2＋4＋6＋…＋2

020)－1

009×1

0108.(2022·石家莊模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1

009(n∈N*)，則其前2

021項(xiàng)之和S2

021＝

2

021

.解析

S2

021＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2

020＋a2

021)，又an＋1＋an＝n－1

009(n∈N*),

且a1＝1，索引1234567891011121314解析

Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n，則2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，兩式相減得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1索引12345678910111213149.已知數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝2n，且使得Sn－nan＋1＋50<0的最小正整數(shù)n的值為

5

.故Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.又an＝2n，∴Sn－nan＋1＋50＝2＋(n－1)·2n＋1－n·2n＋1＋50＝52－2n＋1，依題意52－2n＋1<0，索引1234567891011121314故最小正整數(shù)n的值為5.10.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；解

因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②又n＝1時(shí)，a1＝2適合上式，索引1234567891011121314索引1234567891011121314已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，滿足

.(1)求an；解

若選①，即2Sn＝nan＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝(n－1)an，兩式作差得2an＝nan＋1－(n－1)an，即(n＋1)an＝nan＋1，索引1234567891011121314當(dāng)n＝1時(shí)也成立，∴an＝n.若選②，即2Sn＝an＋1an，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝anan－1，兩式作差得2an＝anan＋1－anan－1，由an＞0，得an＋1－an－1＝2.當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝a2a1，得a2＝2.又∵a1＝1，a2＝2，∴{a2n}是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，{a2n－1}是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，故an＝n.索引1234567891011121314即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，由an＞0，得an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1，∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.故an＝n.索引1234567891011121314(2)若bn＝(an＋1)·2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.索引1234567891011121314注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解

bn＝(n＋1)·2n，Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)·2n＋1，兩式相減，得－Tn＝4＋22＋23