2018小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第6課最大與最小問題試題附答案

笫六講最大與最小問題先看一個簡單的問題；媽媽讓小明給客人燒水沏茶?洗開水壺要期1分鐘，燒開水要用15分種，洗茶壺要托1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘’小明估算了一下，完成這些工作要花浙分鐘.為了使客人早點喝上茶，按你認為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？這個題目，取材于華羅庚教授1965年發(fā)表的《統(tǒng)籌方法平話》.開水壺不洗，不能燒開水，因而洗開水壺是燒開水的先決條件，沒開水*沒茶葉、不樁壺杯則不能泡茶，這些又是泡茶的先決條件?因此找們可以列出它們的相互關(guān)系圖從上圖中很容易看岀，最省時間的辦法是；先洗開水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，在等待水開的過程中，可以完成洗茶壺、洗茶杯、拿荼葉，水開了就沏茶，這祥僅用16分鐘就能沏茶了，這是沒有“窩工"的最臺理的安排，坤最少的時間完成了工作.像這樣，研究某種量（或幾科量）在一定條件下取得最大值或最小值的問題，我們稱為最大與最小問題.在日常生活、科學(xué)研究和注產(chǎn)實踐中，存在大量的最大與最小問題.姒把一些物資從一個地方運到另一個地方，怎樣運才能使路程盡可能甄運費最?。灰豁棥不蚨囗棧┕ぷ?如何安排調(diào)配.才能使工期最無效率最高等等，都是最大與最小問題?這里貫穿了一種統(tǒng)籌的數(shù)學(xué)思想-最優(yōu)化原則?概括起來就是：要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間的前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最隹效杲.這一原則在生產(chǎn)*科學(xué)研究及日常生活中有廣泛的應(yīng)用-一、數(shù)*式.方程（組）中的最大最小問題例1把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？例2已知廠寂=心其中》q為質(zhì)數(shù)且均小于1000,x是奇數(shù)，那么m的最大值是 ?例3己知關(guān)于x的方程|--a=y+142,當a為某些自然數(shù)時，方程的根為自然數(shù)，則最小自然數(shù)a二—.例55個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘.如果只有一個水龍頭，試問怎樣適當安扉他們的打朮順承使所宥人如隊和打水時間的總和最??？并求岀最小值.例6—個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細的逬水管，當打開4個進水管時需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個進水管？例了在一條公路上，每隔100千米有一個倉庫，共5個?一號倉庫存貨10噸，二號倉庫吞貨20噸，五號倉庫存貨40噸，三、四號倉庫空著?現(xiàn)左宴把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要0.8元運費，那么最少要花多少運費？10噸 20噸 40噸例8若干箱貨物總重19.5噸，每箱重量不超過353千克，今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要幾輛，才能把這些箱貨物一次全部運走？例9下圖，直線1表示一條公路，乩E表示公路同一側(cè)的兩個村子，現(xiàn)在要在公嗨1上修建一個汽車站，問這個汽車站建在咖一點此A扌扌與B林到詵豐站的距離之和最短？例10設(shè)牧馬營地在厲每天牧馬人更趕著馬群先到河邊飲水，再到草地吃草，然后回營地-問：怎樣的放牧路程最短？答案一.數(shù).式、方程（組）中的最大最小問題例1把第拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？分析與解答這要考慮到一些隱含著的限制條件，可以這樣思考;要使14拆成的自然數(shù)的乘積最大，所拆成貳數(shù)的個數(shù)要盡可能多，多一個可汝多乘一次，但1不應(yīng)岀現(xiàn)，因為1與任何數(shù)加積仍為原數(shù).拆岀的加數(shù)不要超過4,例如5,它還可以拆成2和3,而2X3〉5,所以加數(shù)大于4的數(shù)還要繼續(xù)拆小.由于4二2+2,又4二2X2,因此拆岀的加數(shù)中可以不岀現(xiàn)4.?拆岀的加數(shù)中2的個數(shù)不能多于兩個.例如拆成三個2,不如拆成兩個3.因為三個2的積為&兩個3的積為9,這就是說，應(yīng)盡可能多拆岀3.因為14二3X4+2,所以把14拆成3、3、3、3、2時，積為3X3X3X3X2=162最大.對最大與最小問題一要注意變化規(guī)律，即弄清思路，又要注意限制條件，對于字母則要根據(jù)其特點逬行討論分析.例2己知p?q-l二x,其中p、q為質(zhì)數(shù)且均小于1000,x是奇數(shù)，那么x的最大值是 ?分析與解答由p-q-l=x,X為奇數(shù)可知，q?p=x+l是偶數(shù)又因為p、q為質(zhì)數(shù)，所以P、q中必有一個為偶質(zhì)數(shù)2?不妨設(shè)p二2.為了使X盡可能大，只須取q為最大的三位質(zhì)數(shù)997.這時X達到最大值：2X997-1=1993?方程中有參數(shù)和其他條件，也可能出現(xiàn)最大或最小問題.例3己知關(guān)于啲方程^-a=y+142,當日為某些自然數(shù)時，方程的根為自然數(shù)，則最小自然數(shù)a二—.分析與解答由原方程可得因為a為自然數(shù)，所以〒應(yīng)為大于142的整數(shù)?又x為自然數(shù)，要3+a9-3a2，解得aC3.3所以a的最大值是3,最小值是亍二、統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的初步應(yīng)用解得(3+a解得(3+ab~9-3aC=2s,|b+c=6-a解：|-b+c=3-2a?.?Qc》0,???寧》字沁3所以a的最大值是3,最小值是亍二、統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的初步應(yīng)用在開始引例中弓用了華羅庚教授《統(tǒng)籌方法平話》中的例子，統(tǒng)籌方法是生產(chǎn)建設(shè)和企業(yè)管理中合理安排工作的一種科學(xué)方法,它對于逬行合理調(diào)度、加快工作進展、提高工作效率、保證工作質(zhì)量是十分有效的，所用數(shù)學(xué)思想是樸素而精彩的.例55個入各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘?如果只有一個水龍頭，試問怎樣適當安排他們的打水順序，使所有人排隊和打水時間的總和最?。坎⑶髮缱钚≈?分析這是我們經(jīng)常遇到而不去思考的問題，其中卻有著豐富的數(shù)學(xué)思想.5個人排隊一共有5X4X3X2X1=120^順序，要把所有情形的時間總和都計算岀來加以比較，就太繁瑣了.憑直覺，應(yīng)該把打水時間少的人排在前面所費的總時間會省些?試用"逐步調(diào)整”法求解.W：首先證明要使所用總時間最省，應(yīng)該把打水時間需1分鐘的人排在第一位置.假如第一位置的人打水時間要a分鐘（其中2<a<5）,而打水需1分鐘的人排在第b位（其中2<b<5）,我們將這兩個人位置交換，其他三人位置不動.這樣調(diào)整以后第b位后面的人排隊和打水所費時間與調(diào)整前相同，并且前b個人打水所費時間也未受影響，但第二位至第b位的人排隊等候的時間都減少T（T）分鐘，這說明調(diào)整后五個人排隊和打水時間的總和減少了?換言之，要使祈費時間最省，就要把打水需1分鐘的人排在第一位置.其次，根據(jù)同樣的道理，再將打水需2分鐘的人調(diào)整到第二位置；將打水需3、4、5分鐘的人逐次調(diào)整到三、四、五位.所以，將五人按照打水所需時間由少到多的順序排隊，所費的總時間最省，得出5人排隊和打水時間總和的最小值是：1X5+2X4+3X3+4X2+5X1=35（分鐘）?本題所用的逐步調(diào)整法是一個很樸素的數(shù)學(xué)思想，它使我們思考問題過程簡化，更有趣味.例6—個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細的進水管，當打開4個逬水管時需要5小時才能注滿術(shù)池；當打開2個逬水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個進水管？分析本題沒給岀排水管的排水速度，因此必須找岀排水管與進水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開多少個進水管.解：本題是具有實際意義的工程問題，因沒給岀注水速度和排水速度，故需引入?yún)?shù)?設(shè)每個逬水管1小時注水量為8,排水管1小時排水量為b,根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4a-b）X5=（2a-b）X15,化簡，得：4a-b=6a-3b,即8二b.這就是說，每個進水管1小時的注水量等于排水管1小時的排水量.再設(shè)2小時注滿水池需要打開x個逬水管，根據(jù)水池的容量列方程，得(xa-a)X2=(2a-a)X15,化簡，得2ax-2a=15a,即2xa=17a.(a^0)所以x二&5因此至少要打開9個進水管，才能在2小時內(nèi)將水池注滿.注意：*二8.5,這里若開8個水管達不到2小時內(nèi)將水池注滿的要求；開8.5個水管不切實際?因此至少開9個進水管才行.例7在一條公路上，每隔100千米有一個倉庫，共5個.一號倉庫存貨10噸，二號倉庫存貨20噸，五號倉庫存貨40噸，三、四號倉庫空著.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸訐米需要0?8元運費，那么最少要花多少運費？分析與解答由于運費是以每噸貨物運輸1千米為單位(即噸?千米)計量的，因此要使運費最省，就要把所有貨物運往離貸物最多的倉庫適當近的地方集中.我們依次計算以一、二、…、五號倉庫為集中點所需的運費：0.8X(20X100+40X400)=14400(元)，D.8X(10X100+40X300)=10400(元)，D.8X(100X200+20X100+40X200)=9600(元)，D.8X(10X300+20X200+40X100)=8800(元)，0.8X（10X400+20X300）=8000（元）.因此，把所有貨物集中到五號倉庫所需的運費最少，運費為8000元.說明：①由例7的枚舉解法中我們可以看岀，如果某處貨物的重量大于或等于貨物總重量的一半，那么，把貨物往此處集中花的運費是最少（或最少之一）的.這可以叫做"小往大處靠”原則.可以解釋如下.把各個倉庫用Al,A2,…，An表示，A沖的貨物重量為血，扌巴所有貨物集中到A啲運輸噸?千米數(shù)為哉（它與集中貨物到儷需的運輸費用成芷佗）,貨物總重量為M（=ml+m2 mn）.假設(shè)A沖貨物重量不小于總重量的一半，即m>y,那么mz+g/Mal相比較，把貨物集中到A】的運輸噸?千米數(shù)俎所増加的至少是ml?AlAi,所減少的至多是（iri2+in3+---+mn）?AlAi,這里AlAi表示Al與Ai之間的距離..?口.?口?AiA?尋? (m2+?°?這說明了'‘小仕大處靠”原則是正確的.②當各個倉庫中的貨物重量都小于所有貨物總重量的土?xí)r，"小往大處靠”原則不成立?例如.在例沖一、二、五號倉庫中的存貨如杲分別為30噸、10噸、30噸，那么容易知道把貨物集中到二號倉庫運費最少.例8若干箱貨物總重19.5噸，每箱重量不超過353千克，今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要幾輛，才能把這些箱貨物一次全部運走？分析與解答如果認為19.5-1.5二13,因此只需13輛汽車就可以把這些箱貨物一次全部運走，這就把題意理解錯了?因為貨物是整箱裝的，每輛汽車不一定都能滿載.請先看一個反例，它說明甚至15輛車都不一定能一次運完.例如這批貨物共裝有65只箱子，其中64箱的重量都是301千克（不超過353千克），另一箱的重量是236千克，那么總重量為301X64+236=19500（千克）.恰好符合總重為19.5噸的要求由于301X5二1505（千克）即5只重量為301千克的箱子的總和超過1.5噸，因此，每輛汽車最多只能裝4只重量為301千克的箱子，15輛汽車最多只能裝4X15=60（只）重量為301千克妁箱子，這樣，必然有4只重量為301千克的箱子無法再裝運了.疣然15輛汽車無論如何無法一次運完上例中的65只箱子，那么16輛汽車能不能一次運完這些貨物呢？答案是肯定的?事實上，301X4+236=1440（千克）,不超過1.5噸，這就是說，第16輛汽車可以裝余下的4只重量為301千克的箱子和1只重量為236千克的箱子?所以，16輛汽車可以一次運完這些箱貨物.問題到這里仍然沒有徹底解決.因為每箱貨物的重量只要求不超過353千克，除此別無具體數(shù)量的限制，所以我們還應(yīng)該對于一般情況（上例僅是一種特殊情況）來驗證16輛汽車確實能一次運完全部箱子.首先讓12輛汽車裝貨剛剛超過1?5噸，即若取下最后裝的一只箱子就不超過1.5噸，再從這12輛汽車上把每輛車最后裝的那只箱子卸下來，并把這12只箱子分別裝上另外3輛空車，每車4箱，由于每車誦總重量不超過4X353=1412（千克）.因此也不超過1.5噸.這時，12+3=15輛車就裝完原來前12輛車上全部貨物，總重量超過1.5X12=18（噸）?而且每輛車載重不超過1.5噸，于是，剩下來裝車的箱子總重量不足19.5-18=1.5（噸），可以把它們?nèi)垦b在第16輛車上運走.最短的路線（幾何中的最大最小冋題）例9下圖，直線1表示一條公路，A、B表示公路同一側(cè)的兩個村子，現(xiàn)在要在公路1上修建一個汽車站，問這個汽車站建在哪一點時，A村與B村到汽車站的距離之和最短？分析與解答如果A、B兩個村子在公路1的兩側(cè)，問題就簡單了，只要扌巴A、B兩點連接起來，與公路1的交點就是建站的地方，因為兩點之間，線段最短.A、B兩村在公路1的同側(cè)的情形，我們用'‘對稱”的方法來解決，先求岀A點關(guān)于1的對稱點A，,連結(jié)"B與1交點于C點，貝此點就是汽車站應(yīng)建的那個點.為什么AC+BC是距離最短呢？我們假設(shè)不選C點，而選擇C外的一點&,顯然有AC+CB二”C+CB”，B,9+1B二A，C‘+C?B.根據(jù)"連接兩點的線中直線段最短”，有”C+C，B〉A(chǔ)，B,所以選擇C點能使AC+CB距離最短.利用這種對稱原理可以解決很多復(fù)雜的問題.例10設(shè)牧馬營地在M,每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再到草地吃草，然后回營地?問：怎樣的放牧路程最短？分析與解答依題意，每一條放牧路線都是一個三角形的三條邊，我們設(shè)法把這條路線變成兩個固定點之間的連線.根據(jù)"對稱”原理，設(shè)草地的邊線是11,河流的岸線是12（下圖）