2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019題型講義第22講復(fù)雜多面體的表面積與體積

第22講復(fù)雜多面體的表面積與體積【例1】2008年北京奧運會游泳中心（水立方）的設(shè)計來于威爾，弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進，如圖，開爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形），己知該多面體共有24個頂點，且該多面體表面積是，則該多面體的棱長是（）A．1B．2C．D．【答案】A【分析】由已知可知：該多面體最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，因為1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多面體有6個正方形，8個正六邊形，設(shè)其棱長為，分別求出正方形和正六邊形的面積即可求解.【詳解】設(shè)該多面體的棱長為，所以一個正方形的面積為，一個正六邊形的面積為，又因為正方形有4個頂點，正六邊形有6個頂點，該多面體共有24個頂點，所以最多有6個正方形，最少有4個正六邊形.因為1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多面體有6個正方形，正六邊形有個，所以該多面體的表面積為，解得：，故選：.【例2】芻(chú)甍(méng)是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長方形，上棱和底面平行，且長度不等于底面平行的棱長的五面體，是一個對稱的楔形體．已知一個芻甍底邊長為，底邊寬為，上棱長為，高為，則它的表面積是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】計算出幾何體每個面的面積，相加即可得解.【詳解】設(shè)幾何體為，如下圖所示：矩形的面積為，側(cè)面為兩個全等的等腰三角形、，兩個全等的等腰梯形、，設(shè)點、在底面內(nèi)的射影點分別為、，過點在平面內(nèi)作，連接，過點在平面內(nèi)作，連接，平面，、平面，，，，，平面，平面，，易知，，則在中，斜高為，所以，，同理可知，梯形的高為，所以，，因此，該幾何體的表面積為.故選：B.【例3】魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu)．如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】補形出正方體，結(jié)合圖形求出正方體棱長，然后直接求解可得.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，如圖，因為，所以故該正方體的棱長為，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該幾何體的表面積為．故選：A【例4】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形狀多為長方體?正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德研究過此類多面體的性質(zhì)，故半正多面體又被稱為“阿基米德多面體”.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖，是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1.則下列關(guān)于該多面體的說法中錯誤的是（）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點的球）【答案】B【分析】求得一個棱數(shù)為24的半正多面體的頂點數(shù)和面數(shù)，可判斷A；將半正多面體補成棱長為1的正方體，故其頂點是正方體各棱的中點，求得半正多面體的棱長，計算表面積和體積，可判斷B，C；再由正方體的中心到多面體各頂點的距離相等，可判斷D．【詳解】解：一個棱數(shù)為24的半正多面體有12個頂點，14個面；可將半正多面體補成棱長為1的正方體，故其頂點是正方體各棱的中點．半正多面體的棱長為，表面積為，體積可看作正方體的體積減去八個三棱錐的體積，則，又因為正方體的中心到多面體各頂點的距離相等，所以有外接球．故選：B．【例5】2022年北京冬奧會的成功舉辦使北京成為奧運史上第一座“雙奧之城”.其中2008年北京奧運會的標(biāo)志性場館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”.“冰立方”在冬奧會期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項目.“水立方”的設(shè)計靈感來自威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進，開爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形），已知該多面體共有24個頂點，且棱長為2，則該多面體的表面積是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)多面體頂點的個數(shù)，分析確定正方形的個數(shù)和正六邊形的個數(shù)，再求表面積.【詳解】棱長為2的正方形的面積為，正六邊形的面積為，又正方形有個頂點，正六邊形有個頂點，該多面體共有個頂點，所以最多有個正方形，最少有個正六邊形，1個正方形與個正方形相連，所以該多面體有個正方形，正六邊形有個.所以該多面體的表面積是：.故選：C.【例6】正多面體被認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它的多種變體，一直是科學(xué)?藝術(shù)?哲學(xué)靈感的源泉之一.若連接正方體六個面的中心構(gòu)成一個正八面體，則正方體與所得八面體的表面積之比為（）A．B．3C．D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)出正方體的棱長，進而求出正方體的表面積，然后求出該正八面體的棱長并求出其表面積，最后求得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，則其表面積.如圖，記該正八面體為，現(xiàn)考慮側(cè)面，取的中點分別為，連接MG,MH,易得：，所以，則該八面體的表面積.于是，.故選：C.【例7】（多選題）素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（）A．一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直B．該“十字貫穿體”的表面積是C．該“十字貫穿體”的體積是D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點出發(fā)，沿表面到達頂點的最短路線長為【答案】BCD【分析】根據(jù)圖形分別求出，，結(jié)合勾股定理判斷垂直；表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成，分別計算；體積用兩個柱體體積減去重疊部分體積；分別計算按路線和在表面內(nèi)移動最短的路徑長．【詳解】如圖一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線CE、DE則在梯形BDEF中，可知，設(shè)，則根據(jù)立體圖可得，，顯然即CE、DE不垂直，A不正確；該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成則表面積，B正確；如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體，取的中點I則多面體可以分成8個全等三棱錐，則該“十字貫穿體”的體積即為，C正確；若按路線，則路線長為若在表面內(nèi)移動，則有：借助部分展開圖，如圖所示：∵，即為鈍角，過B作NE的垂線BH，垂足為H，則BH在展開圖內(nèi)根據(jù)對稱可知此時最短路徑為則從頂點出發(fā)，沿表面到達頂點的最短路徑為，D正確；故選：BCD．【例8】如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體.(1)該截角四面體的表面積；(2)該截角四面體的體積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出截角四面體一個的正六邊形、正三角形的面積即可求解作答.（2）求出原正四面體和截去的一個正四面體的體積，再用割補法求解作答.（1）依題意，該截角四面體是4個邊長為1的正三角形和4個邊長為1的正六邊形圍成，截角四面體中，正三角形的面積，邊長為1的正六邊形的面積，所以該截角四面體的表面積為.（2）該截角四面體是棱長為3的正四面體去掉4個角上棱長為1的正四面體而得，棱長為1的正四面體的高，棱長為3的正四面體的高為，則棱長為1的正四面體的體積，棱長為3的正四面體的體積所以該截角四面體的體積為：.【題型專練】1．芻（chú）甍（méng）是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長方形，頂棱和底面平行，且長度不等于底面平行的棱長的五面體，是一個對稱的楔形體．已知一個芻甍底邊長為4，底邊寬為3，上棱長為2，高為2，則它的表面積是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由題意可得芻甍的左右兩個三角形為全等的等腰三角形，前后兩個四邊形為全等的等腰梯形，利用勾股定理分別求出三角形和梯形的高，從而可求出各個面的面積，即可得出答案.【詳解】解：由題意可得芻甍的左右兩個三角形為全等的等腰三角形，前后兩個四邊形為全等的等腰梯形，等腰三角形的高為，等腰梯形的高為，則一個等腰三角形的面積為，一個等腰梯形的面積為，所以此芻甍的表面積為.故選：A.2．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．下圖是棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，得到的一個半正多面體，則下列說法錯誤的是（）A．該半正多面體是十四面體B．該幾何體外接球的體積為C．該幾何體的體積與原正方體的體積比為5∶6D．原正方體的表面積比該幾何體的表面積小【答案】D【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積，對選項逐一判斷即得.【詳解】由圖可知該半正多面體的表面是由6個正方形和8個等邊三角形構(gòu)成，所以為十四面體，該半正多面體是十四面體，故A正確；該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1，外接球的體積為，故B正確；對于C，該幾何體的體積，正方體體積為，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為5∶6，故C正確；對于D，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，，即原正方體的表面積比該幾何體的表面積大，故D錯誤．故選：D．3．魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出正八邊形的面積，再由該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和計算表面積即可.【詳解】由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得，作，垂足為，則，則八邊形的面積為，則該魯班鎖玩具的表面積為.故選：A.4．（多選題）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體，已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E滿足關(guān)系式【答案】ABD【分析】根據(jù)幾何體的構(gòu)成可判斷A，由截面為正六邊形可求面積判斷B，根據(jù)外接球為正四棱柱的外接球即可判斷C，根據(jù)頂點，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.對于A，因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故正確；對于B，過A，B，C三點的截面為正六邊形ABCFED，所以，故正確.對于C，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積，故錯誤；對于D，幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足，故正確.故選：ABD5．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為4，則該半正多面體的表面積為_____________.【答案】##【分析】由題可求出半正多面體的棱長，從而可求出其表面積【詳解】一個棱數(shù)為24的半正多面體有12個頂點，14個面，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且頂點是正方體各棱的中點，因為正方體的棱長為4，所以半正多面體的棱長為，由圖可知半正多面體由8個全等的等邊三角形和6個全等的正方形組成，所以半正多面體的表面積為，故答案為：6．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點都在一正方體的表面上（如果一個正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上，那么這個八邊形的邊長就等于這個直觀圖的棱長）.若這個正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.【答案】##【分析】根據(jù)正方體外接球的半徑可確定其棱長為；根據(jù)正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上可構(gòu)造方程求得正八邊形的邊長，即為直觀圖的棱長，進而根據(jù)直觀圖的構(gòu)成可求得表面積.【詳解】設(shè)正方體棱長為，正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，，解得：；設(shè)正八邊形的邊長為，則，整理可得：，解得：，即直觀圖棱長為；由直觀圖可知：印信是由個正方形，個等邊三角形拼接而成，印信的表面積.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，求解關(guān)鍵是能夠根據(jù)題目中所給出的：如果一個正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上，那么這個八邊形的邊長就等于這個直觀圖的棱長，構(gòu)造方程求得直觀圖棱長.7．在如圖的多面體中，已知為矩形，和為全等的等腰梯形，，．(1)求此多面體的表面積；(2)求此多面體的體積．【答案】(1)(2)【分析】(1)結(jié)合已知條件，分別求幾何體各個面的面積，然后再求面積之和即可；(2)結(jié)合已知條件，利用割補法求幾何體體積即可.（1）由題意可知，和都是邊長為2的等邊三角形，故，∵，∴，分別過、向做垂線，垂足為、，如下圖所示：結(jié)合等腰梯形性質(zhì)可知，，，從而，故，故多面體的表面積.（2）將五面體補全為直三棱柱，如下圖所示：則多面體的體積，由(1)中結(jié)論和幾何體特征可知，，，由余弦定理可知，，故，從而易知故，，從而幾何體的體積．8．某廣場設(shè)置了一些多面體形的石凳供市民休息．圖（a）的多面體石凳是由圖（b）的正方體石塊截去八個相同的四面體得到，且該石凳的體積是．(1)求正方體石塊的棱長；(2)求多面體形石凳的表面積．【答案】(1)40cm(2)【分析】（1）設(shè)正方體石塊的棱長為，依題意，建立關(guān)于的方程，解出的值即可．（2）依題意多面體形石凳是由8個全等的等邊三角形和6個全等的正方形組成，且邊長均為，根據(jù)等邊三角形和正方形的面積公式計算可得；(1)即：設(shè)正方體石塊的棱長為，則每個截去的四面體的體積為．由題意得，解得，即正方體石塊的棱長為cm．(2)解：多面體形石凳是由8個全等的等邊三角形和6個全等的正方形組成，且等邊三角形與正方形的邊長均為，所以幾何體的表面積.9．帳篷是撐在地上遮蔽風(fēng)雨、日光，并供臨時居住的棚子，多用帆布做成，連同支撐用的東西，可隨時拆下轉(zhuǎn)移，如圖1所示．一個普通的帳篷可視為一個長方體與一個直三棱柱的組合，如圖2所示，已知米，米，米，且．(1)求該帳篷的表面積（不包含地面部分）；(2)求該帳篷的體積．【答案】(1)平方米(2)立方米【分析】（1）根據(jù)題意求出直三棱柱部分的表面積以及長方體的四個側(cè)面面積加和即可；（2）分別求出長方體和直三棱柱的體積加和即可.（1）在中，由余弦定理可得:，則（米），直三棱柱部分的表面積（平方米），長方體四個側(cè)面的面積（平方米），故該帳篷的表面積（平方米）；（2）直三棱柱的體積（立方米），長方體的體積（立方米），故該帳篷的體積（立方米）．10．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，是一個棱長為1的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上.則該正方體的棱長為________；半正多面體的表面積為_______.【答案】

【分析】首先由正六邊形還原為正方形，計算棱長，再分別計算正六邊形和正三角形的面積，再計算半多面體的表面積.【詳解】根據(jù)題意，可將正六邊形補全為正方形，是斜邊為1的等腰直角三角形，直角邊，所以正方形的邊長半正多面體包含6個正六邊形，8個正三角形，每個正六邊形面積，每個等邊三角形的面積，所以半正多面體的表面積是.故答案為：；11．柏拉圖多面體，是指嚴(yán)格對稱，結(jié)構(gòu)等價的正多面體．由于太完美，因此數(shù)量很少，只有正四、六、八、十二、二十面體五種．如果用邊數(shù)不同的正多邊形來構(gòu)造接近圓球、比較完美的多面體，那么數(shù)量會多一些，用兩種或兩種以上的正多邊形構(gòu)建的凸多面體雖不是正多面體但有些類似，這樣的多面體叫做半正多面體．古希臘數(shù)學(xué)家物理學(xué)家阿基米德對這些正多面體進行研究并發(fā)現(xiàn)了13種半正多面體（后人稱為“阿基米德多面體”）．現(xiàn)在正四面體上將四個角各截去一角，形成最簡單的阿基米德家族種的一個，又名截角四面體．設(shè)原正四面體的棱長為6，則所得的截角四面體的表面積為______，該截角四面體的體積為______．【答案】

【分