2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

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1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù))，=y-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,拋物

線y=f+灰+c經(jīng)過點(diǎn)A、B,點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1所示，過點(diǎn)P作軸，分別交直線A8、x軸于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)P、B、

C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2所示，過點(diǎn)P作PQLAB于點(diǎn)Q,連接PB,當(dāng)△PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等

于度數(shù)的2倍時(shí)，請直接寫出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

解：(1)令x=0,得產(chǎn)Jr-2=-2,則3(0,-2),

令y=0,得0=1-2,解得x=4,則A(4,0),

把A(4,0),B(0,-2)代入y=/+bx+c(a#。)中，得：｛；6_博+c=°

解得：P=_：,

lc=-2

拋物線的解析式為：y=?-f.r-2；

(2)軸，

AZADC=90°,

"：ZACD^ZBCP,

以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況:

①當(dāng)NCBP=90°時(shí)-，如圖1,過尸作PNty軸于N,

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???/ABO+/PBN=乙鉆O+NO48=90°,

:?/PBN=/OAB,

?；/AOB=NBNP=90°,

???△AOBsMNP,

AOOB?42

--=，即------1—7-----------=一，

BNPN-2-(X2-X-2)%

解得：XI=0(舍)，X2=2?

3

：.P(-,-5)；

2

7

/.XI=0(舍)，］2=

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7

：.P(-,-2)；

2

37

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是號3或號-2）；

(3)???0A=4,0B=2,ZAOB=90°,

???N5QAW45°,

；?NBQPW2/B0A,

???分兩種情況：

①當(dāng)NP3Q=2NO45時(shí)，如圖3,取A3的中點(diǎn)￡連接0￡過戶作軸于G,

：.ZOAB=ZAOE,

：?NOEB=2/OAB=/PBQ,

■:OB//PG,

；.NOBE=NPHB,

:.△BOES^HPB,

.OBBE

??—,

PHBH

由勾股定理得：AB=y/22+42=25/5,

：.BE=V5,

?：GH〃OB,

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OGBHxBH

--=---,即-=-尸，

OAAB42追

BH=與x,

o71

設(shè)P(x,廣一］式-2),則"(x,-x-2),

PH=-2-(x2—3-2)=-f+4x,

-2_V5_

解得：XI=0,X2=3,

...點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3；

②當(dāng)NBPQ=2/OA8時(shí)，如圖4,取A8的中點(diǎn)E,連接。E,過P作尸G_Lx軸于G,

交直線4B于”，過。作OF_LAB于F,連接AP,則NBPQ=NOEF,

圖4!

I

71

設(shè)點(diǎn)P(r,P-夕-2),則H(r,-r-2),

PH=-2-(P-夕-2)=-P+43

".'OB=2,OA=4,

：.AB=2V5,

CAOB_2x4_延

：.OE=BE=AE=V5,OF=

AB~275―

3/5

：.EF=>JOE2-OF2=

11

SMBP=^AB.PQ“PHOA,

，2遙PQ=4(-?+4r),

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—2￡?+8t

PQ=

75

?；N0FE=NPQB=9G0,

:.叢PBQs叢EOF,

-2t2+8t3V5

?絲—竺即nz_工.三

BQ~OF1BQ一延一4,

5

?nc—8￡2+32t

\'BQ1+PQ2^PB2,

2

...(-8t+32t)2+(與出)2=產(chǎn)+?2_9_2+2產(chǎn),

3V5V5/

化簡得，44Z2-388r+803=0,

BP：(2r-11)(22r-73)=0,

7Q

解得：*=5.5（舍），ti=22；

綜上，存在點(diǎn)P,使得△PB。中有某個(gè)角的度數(shù)等于N0A8度數(shù)的2倍時(shí)，其P點(diǎn)的橫

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坐標(biāo)為3或；;.

22

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=/+/zx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,對稱軸為直線x=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接PC.當(dāng)NPCB=NACB時(shí)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂

點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，當(dāng)。時(shí)，求拋物線平移的距離.

（備用圖）

解：（1）?..對稱軸為直線x=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,

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，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0).

將A(1,0),B(3,0)分別代入y=W+bx+c,得

+b+c=0

l9+3h+c=0"

解得憶

則該拋物線解析式是：y=7-4x+3.

由y=J?-4x+3=(x-2)2-1知，該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1)；

(2)如圖1,過點(diǎn)尸作PN_Lx軸于N,過點(diǎn)C作CMLPN,交NP的延長線于點(diǎn)M,

VZCON=90°,

???四邊形CONM是矩形.

:?/CMN=90°，CO=MN、

.*.y=x2-4x+3,

：.C(0,3).

*：B(3,0),

?,.OB=OC=3.

VZCOB=90°,

：.ZOCB=ZBCM=45°.

又：/ACB=/PCB,

：?NOCB-NACB=NBCM-NPCB,即NOCA=NPCM.

AtanZOCA=tanZPCM.

,PM1

?'CM-3.

故設(shè)PM=a,MC=3mPN=3-a.

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??P(3m3-a),

將其代入拋物線解析式y(tǒng)=/-4x+3,得(3a)2-4(3-。)+3=3-a.

解得。2=0(舍去).

1116

:?P(——，——)?

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(3)設(shè)拋物線平移的距離為m，得y=(x-2)2-1-722.

：.D(2,-1-m).

交P。延長線于點(diǎn)R

VZOED=ZQFD=ZODQ=90Q,

???NEOO+NOOE