2021年中考數(shù)學(xué)03 圓（解析版）

專(zhuān)題03圓2021屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（解析版）

I.如圖，已知AB是O。的直徑，C,。是。。上的點(diǎn)，OC//BD,交AD于點(diǎn)￡連結(jié)

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=6,ZABC=30°,求圖中陰影部分的面積.

【試題解答】（1）證明：TAB是。。的直徑,

NADB=90。，

VOC/7BD,

JZAEO=ZADB=90°,即OC1AD,

又???OC為半徑，

.*.AE=ED；

(2)解：毗鄰CD,OD,

VOC=OB,

.\ZOCB=ZOBC=30°,

???ZAOC=ZOCB+ZOBC=60°,

???OC〃BD,

AZOCB=ZCBD=30°,

???ZCOD=2ZCBD=60°,ZABD=60°,

AZAOD=I20°,

VAB=6,

???BD=3,AD=3技

VOA=OB,AE=ED,

13

；.OE=—BD=-,

22

120IX3213氐。-幽

S用影=Sffi?AOD-SAAOD=----x

360224

2.如圖已知AB是。。的直徑,AB=10,點(diǎn)C,。在。。上，DC平分/ACB,點(diǎn)E在。。外,

ZE4C=ZD.

(1)求證:AE是。。的切線(xiàn):

⑵求4。的長(zhǎng).

【試題解答】(1)???/。和08是AC所對(duì)圓周角,

???ZD=ZB；

「AB是圓的直徑,

N_BC4=90°,

在RhABC中，ZB+ZBAC=90°,

:.AD+ZBAC=90°.

\-ZEAC=ZD,

:.ZEAC+ZBAC=90°,

..BA±AE,AE是。。的切線(xiàn).

(2)如圖：

B

「AB是圓的直徑，OC平分NACB,

.?.ZBC4=90°,NDC4=45。，

ZDOA=2ZDCA,

ZDOA=90°,△OOA是直角三角形；

QOD=OA,OA=^AB=5,

：.AD=yl52+52=5>/2■

3.已知如圖，MN為O。的直徑,ME為。。的弦，垂直于過(guò)點(diǎn)￡的直線(xiàn)DE,垂足為D,

且ME平分ZDMN.

求證：(1)OE是。。的切線(xiàn);

（2）ME2=MDMN.

【試題解答】（1）證明?.?QM=OE,

：.ZOME=ZOEM.

■:ME平分4DMN,

：./OME=AEMD,

：.ZOEM=ZEMD,

:.OE//MD.

'.MD±DE,

:.OE±DE,

DE是。。的切線(xiàn);

(2)證明：毗鄰NE,

YMN為的直徑,

ZMEN=90°.

\MD±DE,

.-.ZME>E=90°.

?;/OME=NEMD,

“MDE~^EN,

MDME

：.ME2=MD-MN.

4.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，以CD為直徑的。O分別交AC,

BC于點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)N作NE_LAB,垂足為E,

（1）若。。的半徑為AC=6,求BN的長(zhǎng);

2

（2）求證:NE與OO相切.

【試題解答】解：（1）毗鄰DN,ON

B

的半徑為

2

ACD=5

ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線(xiàn),

BD=CD=AD=5,

AAB=10,

.\BC=7AB2-AC2=8

〈CD為直徑

/.ZCND=90°,且BD=CD

ABN=NC=4

（2）VZACB=90°,D為斜邊的中點(diǎn),

.\CD=DA=DB=—AB,

2

???NBCD=NB,

VOC=ON,

???ZBCD=ZONC,

???NONC=NB,

，ON〃AB,

VNE±AB,

AON1NE,

???NE為OO的切線(xiàn).

5.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)。是。。上的一點(diǎn)，A8=8cmZBAC=30°,點(diǎn)。是弦4c上的一

點(diǎn).

(1)ZODIAC,求0D長(zhǎng)；

(2)若CD=2OD,判斷"￡)0形狀，并說(shuō)明來(lái)由.

【試題解答】解：(1)???AB為。。的直徑,

?.ZACB=90°,

AB=8cin,ZBAC=30°,

BC=4,

???0D1AC,ZACB=90°,

:.OD//BC,

OA=OB,

:.OD=-BC=2.

2

（2）AADO是等腰三角形.來(lái)由如下:

如圖，過(guò)O作。QJ_AC于。，毗鄰OC,

AB=8,NR4c=30。，

AC=AB.cos30°=8x—=4瓜

2

CQ=AQ=2百，

OQ=—OA=2,

設(shè)OD=x,則CD=2OD=2x,

DQ=2x-2y/3,

由勾股定理可得：

x2=（2X-2V3）2+22,

；.（后-4/=0,

4乖＞

AD=46一2乂迪=拽=0。，

33

是等腰三角形.

「

6.已知AB是。。的直徑，C是。。上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交。0

于點(diǎn)D,垂足為E點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)AE=4,BE=2時(shí)，求CD的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,毗鄰AC,BD,點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).求證:MELAC.

■修

圖1圖2

【試題解答】解：(1)如圖I,毗鄰0C.

AE=4,BE=2,

AAB=6,

ACO=AO=3,

AOE=AE-AO=1,

VCD±AB,

???CE=yj0C2-0E2==2V2

TAB是。。的直徑，CD±AB,

ACE=DE,

:.CD=2CE=4近.

(2)證明：如圖2,耽誤ME與AC交于點(diǎn)N.

VCD±AB,

JZBED=90°.

??,M為BD中點(diǎn)，

EM」BD=DM,

2

ZDEM=ZD,

/CEN=/DEM=/D.

VZB-ZC,ZB+"=90°

.-.ZC+ZC￡W=90°

ZCNE=90°,

即ME1AB.

7.如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，覺(jué)得（加,0）圓心的與％軸訂交于c、。兩點(diǎn)，與y軸訂交于

A、8兩點(diǎn)，毗鄰AC、BC.

(1)AB上有一點(diǎn)E,使得￡4=EC.求證——=—；

AEAC

(2)在(1)的結(jié)論下，耽誤EC到尸點(diǎn)，毗鄰/>5,若PB=PE,請(qǐng)證明PB與。O'相切;

(3)參加機(jī)=1,。0"的半徑為2,求⑵中直線(xiàn)總的解析式.

【試題解答】解：(1)由題意可知，NBAC=ZABC,

又因?yàn)椤?=EC,所以NACE=NC4E=/4BC,

故ZVIBCSMCE,

所嘮AB

~AC

(2)毗鄰0'8,則NCO'B=2/GW,

因?yàn)镻B=PE,ZPBE=APEB=2ZCAB=ZCO'B,

故ZPBO'=ZPBE+ZEBO'=ZCO'B+ZEBO'=90°,

即尸5J_O'3,所以PB與。。相切.

(3)00=1,O'B=2,所以N06O=3O°,

ZOO'B=ZPBO=(/)°,

所以APBE,ACS。均為等邊三角形，它們的高分別為BC=2,0B=A

故8點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.-V3)；P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,縱坐標(biāo)為-^-73=-—,

33

b=-y/3

丘+氏則

設(shè)必的直線(xiàn)為y=4JT,

-2k+b=~—

3

所以直線(xiàn)依的解析式為y=一軋一6.

所以5

3

I3

8.如圖1,CD是。。的直徑，且CD過(guò)弦AB的中點(diǎn)H,毗鄰BC,過(guò)弧AD上一點(diǎn)E作EF〃BC,交

BA的耽誤線(xiàn)于點(diǎn)F,毗鄰CE,其中CE交AB于點(diǎn)G,且FE=FG.

(1)求證:EF是。。的切線(xiàn)；

(2)如圖2,毗鄰BE,求證：BE2=BG?BF；

3

(3)如圖3,若CD的耽誤線(xiàn)與FE的耽誤線(xiàn)交于點(diǎn)M,tanF=—，BC=54,求DM的值.

【試題解答】(1)毗鄰0E,則NOCE=NOEC=。，

圖1

：FE=FG,

，NFGE=/FEG=0,

：H是AB的中點(diǎn)，

ACHIAB,

ZGCH+ZCGH=a+0=90°,

ZFEO=ZFEG+ZCEO=?+/3=90°,

；.EF是00的切線(xiàn)；

(2)VCHIAB,

；?AC=BC

；./CBA=/CEB,

VEF/7BC,

，NCBA=NF,故NF=NCEB,

.*.ZFBE=ZGBE,

/.△FEB^AEGB.

.BEBF

"~BG~~BE

BE?=BGBF;

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)F作FR_LCE于點(diǎn)R,

3

設(shè)NCBA=/CEB=NGFE=/,則tan/

4

VEF//BC,

...NFEC=/BCG=/，故△BCG為等腰三角形，則BG=BC=5j7,

3

在RSBCH中，BC=5近，tanZCBH=tan/=-

4

34

則sin/=—,cosY=—

55

3

CH=BCsin/=5V7x：=36，同理HB=4"

設(shè)圓的半徑為r,則OB」OH2+BH2,

即d=(「3療)2+(477)2,解得：r=型且

6

GH=BG-BH=55-4近=近,

GHS13

tanZGCH=——=^==一，貝I」cos/GCH="T=,

CH3幣3V10

則tanZCGH=3=tan,則cos0=—j=

v10

毗鄰DE,則NCED=90。,

在RsCDE中

CECE35J70

cosZGCH=——=——=-y==,解得：CE=-------,

CD2rV102

3^0

在△FEG中，cos/?=2____4_],

FG~FG-TlO

解得：FG="E

2

?.,FH=FG+GH=1Z^I

2

.*.HM=FHtanZF=

248

;CM=HM+CH=7、近

8

25V7

AMD=CM-CD=CM-2r=

24

9.（1）如圖①，△043、△08的極點(diǎn)O重合，且NA+ZB+NC+ND=180°,貝ij

ZAOB+ZCOD=°；（直接寫(xiě)出成果）

（2）毗鄰A。、BC,若AO、BO、CO、DO分別為四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn).

①如圖②，參加NAQB=110°,那么NCOD的度數(shù)為；（直接寫(xiě)出成果）

②如圖③，若NAOD=NBOC,AB與8平行嗎？為什么？

DD

,CrD

①

【答案解析】(1)180；(2)①70°；②ABHCD、來(lái)由見(jiàn)解析.

【試題解答】(1)ZA+N8+NC+N￡>+ZAO8+NOOC=360°,可得ZAQ8+NOOC=180°;

(2)①聯(lián)合NAO8+NOOC=180°,/AO8=110°,可得4coD=70°；

②AB//CD,

來(lái)由是：因?yàn)锳O.BO、CO、分別為四邊形A8CD的四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)，

所以ZOBA=-ZCBANOCD=L/BCD,ZODC=-ZADC.

2222

所以NOAB+NOBA+ZOCD+ZODC=-(NDAB+ACBA+NBCD+ZADC)

2

在四邊形ABC。中，ZDAB+ZCBA+ZBCD+ZADC=360°.

所以ZOAB+ZOBA+NOCD+ZODC=-x360°=180°

2

在△043中，ZOAB+ZOBA=180°-ZAOB.

在AOCD中，4OCD+NODC=180°-4coD.

所以180°-NAO3+180°—ZCOD=180°.

所以ZAOB+4COD=180°

所以ZADO+ZBOD=360°-(ZAOB+NCOD)=360°-180°=180°.

因?yàn)閆AOD=ZBOC,

所以ZAOD=ZBOC=90°

在ZAQD中，ZDAO+ZADO=180°-^4(9D=180°-90°=90°.

因?yàn)閆DAO=-ZDAB,ZADO=-ZADC,

22

所以」ZDAB+-ZADC=90°.

22

所以/ms+ZADC=180°.

所以AB//CD

10.如圖1,設(shè)AA3C是一個(gè)銳角三角形，且AB/AC,「為其外接圓，”分別為其外心和垂

心，CO為圓「直徑，M為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)且滿(mǎn)足AH=2Q0.

（1）證明：M為8c中點(diǎn)；

（2）過(guò)0作6C的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)E,若F為AH的中點(diǎn)，證明：EF工FC；

（3）直線(xiàn)AM與圓「的另一交點(diǎn)為N（如圖2）,覺(jué)得AM直徑的圓與圓「的另一交點(diǎn)為尸.證

明：若AP、BC、OH三線(xiàn)共點(diǎn)，則AH="N；反之也成立.

【試題解答】解：（1）毗鄰AD,8O,則ZMLAC,DBLBC

又H為AABC垂心

ABHLAC,AH±BC

：.AD//BH,BD//AH

.??四邊形ADBH為平行四邊形

:.DB=AH=2OM,又。為CO中點(diǎn)

:?M為8C中點(diǎn)

(2)過(guò)E作EG，3c

毗鄰GH,由(1)可知四邊形國(guó)力不為平行四邊形，四邊形EG%為平行四邊形

,/CHrAB,AB\\GF

；.CHLGF

H為bFGC垂心

GHJ_C￡而GH||Eb

；?EFLFC

(3)設(shè)AM與。尸交點(diǎn)為I

由(1)可知四邊形0A/E4為平行四邊形

???/為直徑AM中點(diǎn)

而圓/與圓「訂交弦為AP

.?.OFLAP,而又"||OR

.".MHLAP

設(shè)MC,4P交于。

則”為A4MQ垂心

QH±AM

AP.BC、0〃三線(xiàn)共點(diǎn)0O,",Q三點(diǎn)共線(xiàn)

OOH工ANOAH=HN

11.如圖，8c是。。的直徑，AO是。。的弦，AO交8C于點(diǎn)￡,毗鄰43,8,過(guò)點(diǎn)E作

EF±AB,垂足為F,ZAEF=ZD.

(1)求證：ADYBC-,

(2)點(diǎn)G在5c的耽誤線(xiàn)上，毗鄰AG,NDAG=2N。.

①求證：AG與00相切；

AF2

②當(dāng)——=一，CE=4時(shí)，直接寫(xiě)出CG的長(zhǎng).

BF5

【試題解答】(1)證明：?.?AC=AC

:.ZB=ZD,

,.ZD=ZAEP

:.AB=ZAEF

-,EFLAB

:.ZBFE^90"

ZB+ZBEF=90°

:.ZAEF+NBEF=90°

即N4E8=90°

.-.AD±BC

(2)①毗鄰AO

-.AC=AC

：.ZAOE^2ZD

：.ZAOE=ZDAG

ADIBC

：.ZAE0=9Cl

:.ZAOE+ZOAE=90°

：.ZDAG+ZOME^90°

即ZOAG=90°

AG1A0

?.?AO是OO的半徑

.?.AG與。。相切

②如圖，

_____J

D

??.BC為直徑，EF1AB,

/BAC=NBFE=90。，

；.AC〃FE,

?CEAF2

VCE=4,

ABE=10,

BC=14,

.?.0A=0C=7,

???0E=7-4=3,

在RtAAOE中，由勾股定理，得

陽(yáng)=小2_?=2河,

ZAOE=/DAG,ZAEO=ZAEG=90°,

.,.△AEO^AGEA,

，竺即義=血

AEGE25GE

.E_40

3

：.CG=GE-CE=—-4=—.

33

12.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是弧A尸的中點(diǎn).

F

BA

DO

(1)如圖1,求證：AH=FH；

(2)如圖2,若CD_LA8于點(diǎn)￡),交A/7于點(diǎn)E,求證：AE=CE；

(3)如圖3,在⑵的前提下，毗鄰8c交AR于T,毗鄰OT,CR//AB交A尸于S、交。。于

點(diǎn)R,已知NO7B=45。，777=1,求CR的長(zhǎng).

【試題解答】解：(1)毗鄰OF,?.?點(diǎn)。是弧AE的中點(diǎn)，

弧AC=弧CfZAOC=ZFOC

■：OA=OF：.AH=