中考數(shù)學二次函數(shù)動點問題因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題

因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例12013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，符合MN在拋物線的對稱軸的左側的平行四邊形MNCB只有一個．請打開超級畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，MN有4次機會等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符合MN在拋物線的對稱軸的左側的平行四邊形MNCB只有一個．思路點撥1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設點M的坐標為，點N的坐標為，那么．當四邊形MNCB是平行四邊形時，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因為x＝3在對稱軸的右側（如圖4），所以符合題意的點M的坐標為（如圖3）．圖3圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．所以符合題意的點M有4個：，，，．代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標為．于是得到．因此．所以當t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構造點F關于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當FQ＝CQ時，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3例42011年上海市中考第24題已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動點B在y軸上點A下方運動，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次機會落在拋物線上．思路點撥1．本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟．3．第（3）題求點C的坐標，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3．如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標為．因此．（2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖3，設四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此點C的坐標可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此點C的坐標為（2，2）．圖2圖3考點伸展如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：如圖4，點C的坐標為．圖4例52011年江西省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．（1）請直接寫出拋物線c2的表達式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11江西24”，拖動點M向左平移，可以體驗到，四邊形ANEM可以成為矩形，此時B、D重合在原點．觀察B、D的位置關系，可以體驗到，B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況．思路點撥1．把A、B、D、E、M、N六個點起始位置的坐標羅列出來，用m的式子把這六個點平移過程中的坐標羅列出來2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關系列關于m的方程．3．根據(jù)矩形的對角線相等列方程．滿分解答（1）拋物線c2的表達式為．（2）拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c2：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為，與x軸的兩個交點為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如圖3，B在D的右側，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）．考點伸展第（2）題②，探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因為AB＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當四邊形ANEM是矩形時，B、D兩點重合．因為起始位置時BD＝2，所以平移的距離m＝1．例62010年山西省中考第26題在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．（1）求點B的坐標；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10山西26”，拖動點M可以在直線DE上運動．分別雙擊按鈕“DO、DM為鄰邊”、“DO、DN為鄰邊”和“DO為對角線”可以準確顯示菱形．思路點撥1．第（1）題和第（2）題蘊含了OB與DF垂直的結論，為第（3）題討論菱形提供了計算基礎．2．討論菱形要進行兩次（兩級）分類，先按照DO為邊和對角線分類，再進行二級分類，DO與DM、DO與DN為鄰邊．滿分解答(1)如圖2，作BH⊥x軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此點B的坐標為(3,6)．(2)因為OE＝2EB，所以，，E(2,4)．設直線DE的解析式為y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得，．所以直線DE的解析式為．(3)由，知直線DE與x軸交于點F(10,0)，OF＝10，DF＝．①如圖3，當DO為菱形的對角線時，MN與DO互相垂直平分，點M是DF的中點．此時點M的坐標為(5,)，點N的坐標為(－5,)．②如圖4，當DO、DN為菱形的鄰邊時，點N與點O關于點E對稱，此時點N的坐標為(4,8)．③如圖5，當DO、DM為菱形的鄰邊時，NO＝5，延長MN交x軸于P．由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此時點N的坐標為．圖3圖4考點伸展如果第（3）題沒有限定點N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形．圖5圖6例72009年江西省中考第24題如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF//DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？②設△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關系．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“09江西24”，拖動點P在BC上運動，可以體驗到，四邊形PEDF可以成為平行四邊形．觀察△BCF的形狀和S隨m變化的圖象，可以體驗到，S是m的二次函數(shù)，當P是BC的中點時，S取得最大值．思路點撥1．數(shù)形結合，用函數(shù)的解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．2．當四邊形PEDF為平行四邊形時，根據(jù)DE=FP列關于m的方程．3．把△BCF分割為兩個共底FP的三角形，高的和等于OB．滿分解答（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對稱軸是x＝1．（2）①直線BC的解析式為y＝－x＋3．把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點E的坐標為（1，2）．把x＝1代入，得y＝4．所以點D的坐標為（1，4）．因此DE=2．因為PF//DE，點P的橫坐標為m，設點P的坐標為，點F的坐標為，因此．當四邊形PEDF是平行四邊形時，DE=FP．于是得到．解得，（