第三章力學(xué)量用算符表達(dá)

第三章力學(xué)量用算符表達(dá)第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月代表對波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號?u=v表示

?

把函數(shù)u

變成

v，?就是這種變換的算符。1）du/dx=v，

d/dx就是算符，其作用是對函數(shù)u微商，故稱為微商算符。2）xu=v，

x也是算符。它對u作用是使u變成v。由于算符只是一種運(yùn)算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義，例如：算符定義§3.1算符的運(yùn)算規(guī)則

第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)波函數(shù)，求解：

例題1第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）線性算符?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2其中c1,c2是任意復(fù)常數(shù)，ψ1,ψ1是任意兩個波函數(shù)。滿足如下運(yùn)算規(guī)律的算符?稱為線性算符（2）算符相等若兩個算符?、?對體系的任何波函數(shù)ψ的運(yùn)算結(jié)果都相同，即?ψ=?ψ，則算符?

和算符?

相等記為?=?。例如：開方算符、取復(fù)共軛就不是線性算符。注意：描寫可觀測量的力學(xué)量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。

①

；②

；③解：①是線性算符第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月②不是線性算符③是線性算符第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）算符之和若兩個算符?、?對體系的任何波函數(shù)ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ則?+?=ê

稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。例如：體系Hamilton算符注意，算符運(yùn)算沒有相減，因為減可用加來代替。?-?=?+（-?）。很易證明線性算符之和仍為線性算符。第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ則??=ê其中ψ是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運(yùn)算規(guī)則的唯一不同之處。（5）對易關(guān)系若??≠??，則稱?與?不對易。顯然二者結(jié)果不相等，所以:對易關(guān)系第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月量子力學(xué)中最基本的對易關(guān)系。若算符滿足??=-??，

則稱

?

和

?

反對易。寫成通式:但是坐標(biāo)算符與其非共軛動量對易，各動量之間相互對易。注意：當(dāng)?與?對易，?與ê對易，不能推知?與ê對易與否。例如：第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（6）對易括號為了表述簡潔，運(yùn)算便利和研究量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了對易括號：

[?,?]≡??-??這樣一來，坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系可改寫成如下形式：不難證明對易括號滿足如下對易關(guān)系：

1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為

Jacobi恒等式。第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3（1）第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月角動量算符的對易關(guān)系證：第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（7）逆算符1.定義:設(shè)?ψ=φ,能夠唯一的解出

ψ,則可定義算符

?

之逆

?-1

為:

?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性質(zhì)I:若算符

?

之逆

?-1

存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因為ψ是任意函數(shù),所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質(zhì)II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例如:設(shè)給定一函數(shù)F(x),其各階導(dǎo)數(shù)均存在,其冪級數(shù)展開收斂則可定義算符?的函數(shù)F(?)為:（9）復(fù)共軛算符算符?的復(fù)共軛算符

?*就是把?表達(dá)式中的所有量換成復(fù)共軛.例如:坐標(biāo)表象中（8）算符函數(shù)第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:當(dāng)|x|→∞時ψ,

→0。由于ψ、φ是任意波函數(shù),

所以同理可證:（10）轉(zhuǎn)置算符第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(11)厄密共軛算符由此可得：:轉(zhuǎn)置算符的定義厄密共軛算符亦可寫成：算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(12)厄密算符1.定義:滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=(?+?)性質(zhì)II:兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。

因為

(??)+=?+?+=??≠??僅當(dāng)[?,?]=0成立時,(??)+=??才成立。第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。例題4第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題5證明是厄米算符。所以是厄米算符，同理都是厄米算符第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：如果算符和都是厄米的，那么也是厄米的+（）證：

∴

也是厄米的。+（）例題6第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月問下列算符是否是厄米算符：例題7①

②解：①

因為

∴

不是厄米算符。第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月②

∴

是厄米算符。

第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理I：體系任何狀態(tài)ψ下，其厄密算符的平均值必為實數(shù)。證：逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄密算符。根據(jù)假定在任意態(tài)下有：證：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1

、ψ2

也是任意態(tài)的波函數(shù)，c是任意常數(shù)。第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月因為對任意波函數(shù)左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相減得：所得二式正是厄密算符的定義式，故逆定理成立。實驗上的可觀測量當(dāng)然要求在任何狀態(tài)下平均值都是實數(shù)，因此相應(yīng)的算符必須是厄密算符。所以左右兩邊頭兩項相等相消，于是有：第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：（為實數(shù)）

例2：動量算符為厄密算符例3：證明Hamilton為厄密算符綜上所述：表示力學(xué)量的算符必為線性、厄密算符，但線性厄密算符不一定是力學(xué)量算符。所以明確厄米算符的基本性質(zhì)是討論力學(xué)量的理論基礎(chǔ)。表示力學(xué)量的算符必為線性厄密算符。第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月力學(xué)量的算符為線性厄密算符當(dāng)我們試圖用算符表示力學(xué)量時，首先注意到：力學(xué)量的測量值都是實數(shù)值，而算符只表示對態(tài)函數(shù)的某種作用，并不代表數(shù)值，只有算符本征態(tài)的本征值才是一個確定的數(shù)值。進(jìn)一步說，只有厄米算符本征態(tài)的本征值才是一個確定的實數(shù)值。這提示我們，力學(xué)量的值只可能與厄米算符的本征值相聯(lián)系。于是提出假設(shè)：量子力學(xué)中每一個力學(xué)量可以用一個線性厄米算符來表示，狀態(tài)用線性厄米算符的本征態(tài)表示。第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）漲落因為是厄密算符必為實數(shù)因而也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有：（2）力學(xué)量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)，在此狀態(tài)下測量F所得結(jié)果是唯一確定的，即：則稱這種狀態(tài)為力學(xué)量F的本征態(tài)。可把常數(shù)記為Fn，把狀態(tài)記為ψn，于是得：其中Fn,ψn分別稱為算符F的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)，上式即是算符F的本征方程。求解時，ψ作為力學(xué)量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。證明：§3.2厄米算符的本征值與本征函數(shù)第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1：厄密算符的本征值必為實。

當(dāng)體系處于F的本征態(tài)ψn時，則每次測量結(jié)果都是Fn。 由本征方程可以看出，在ψn（設(shè)已歸一）態(tài)下證（3）量子力學(xué)基本假定根據(jù)上節(jié)定理I測量力學(xué)量F時所有可能出現(xiàn)的值，都對應(yīng)于線性厄密算符F的本征值Fn（即測量值是本征值之一），該本征值由力學(xué)量算符F的本征方程給出：第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理II:厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證：設(shè)取復(fù)共軛，并注意到Fm為實。兩邊右乘φn后積分二式相減得：若Fm≠Fn，則必有：[證畢]第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月微觀體系所處的狀態(tài)，只可能分為兩大類：一是體系狀態(tài)恰好處于力學(xué)量算符的本征態(tài)；二是處于任意態(tài)。當(dāng)體系處于力學(xué)量算符的本征態(tài)時，力學(xué)量具有確定值。這種確定的關(guān)系可以表示為：

量子力學(xué)重要的基本任務(wù)之一，就是確定力學(xué)量算符的本征態(tài)及本征值。但必須隨時注意：力學(xué)量算符的本征態(tài)可能不止一個。

第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

的本征值和本征函數(shù)例1:第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例2:動量分量

的本征值和本征函數(shù)若粒子位置不受限制,則可以取一切實數(shù),是連續(xù)變化的.是平面波,不能歸一化.第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例3:

一維自由粒子的能量本征值和本征函數(shù)一維自由粒子的Hamilton量其本征函數(shù)可以取為:相應(yīng)能量本征值為:二重簡并第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月大致可分為三類：（1）連續(xù)譜—本征值可取任何實數(shù)值。如自由粒子的坐標(biāo)和動量的本征值譜；（2）帶譜—本征值被限定在某些區(qū)域，例如固體中的能帶；（3）分立譜—本征值只能取一系列孤立實數(shù)，如粒子在束縛態(tài)下的能譜。重點討論連續(xù)譜和分立譜。通常連續(xù)譜記為或分立譜記為。對應(yīng)的本征函數(shù)分別記為及。力學(xué)量算符的本征態(tài)及本征值可能不是一一對應(yīng)，而出現(xiàn)若干個（如f個）本征態(tài)對應(yīng)一個本征值，稱這種情況為f度簡并。力學(xué)量算符的本征值被稱為力學(xué)量譜或本征值譜第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？①，②

，③，④，⑤

解：①∴不是的本征函數(shù)。

②∴是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。

③④

⑤

例題8第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月試求算符的本征函數(shù)

解：的本征方程為（的本征值）例題9第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)簡并情況上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時，曾假設(shè)這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。如果F的本征值Fn是f度簡并的，則對應(yīng)Fn有f個本征函數(shù)：φn1,φn2,...,φnf

滿足本征方程：一般說來，這些函數(shù)并不一定正交?？梢宰C明由這f個函數(shù)可以線性組合成f個獨立的新函數(shù)， 它們?nèi)詫儆诒菊髦礔n且滿足正交歸一化條件。但是證明由這f個φni線性組合成f個新函數(shù)ψnj可以滿足正交歸一化條件：證明分如下兩步進(jìn)行1.Ψnj是本征值Fn的本征函數(shù)。2.滿足正交歸一條件的f個新函數(shù)ψnj可以組成。第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月1.ψnj是本征值Fn的本征函數(shù)。2.滿足正交歸一條件的f個新函數(shù)ψnj可以組成。方程的歸一化條件有f

個，正交條件有f(f-1)/2

個，所以共有獨立方程數(shù)為二者之和等于f(f+1)/2

。為此只需證明線性疊加系數(shù)Aji的個數(shù)f2大于或等于正交歸一條件方程個數(shù)即可。算符F本征值Fn簡并的本質(zhì)是：當(dāng)Fn

確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學(xué)量算符，F(xiàn)算符與這些算符兩兩對易，其本征值與Fn一起共同確定狀態(tài)。綜合上述討論可得如下結(jié)論：既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時，都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。因為f2-f(f+1)/2=f(f-1)/2≥0，所以，方程個數(shù)少于待定系數(shù)Aji的個數(shù)，因而，我們有多種可能來確定這f2

個系數(shù)使上式成立。f

個新函數(shù)Ψnj

的確是算符

F對應(yīng)于本征值Fn的正交歸一化的本征函數(shù)。第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)由上節(jié)討論表明，當(dāng)體系處于力學(xué)量A的本征態(tài)時,若對它測量,則可以得到一個確切值,即相應(yīng)的本征值,而不會出現(xiàn)漲落。在A的這個本征態(tài)下,如去測量另一個力學(xué)量B,是否也可以得到一個確定的值?不確定度：測量值Fn

與平均值<F>的偏差的大小。（1）測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)證：§3.3共同本征函數(shù)第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月II

測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)設(shè)二厄密算符對易關(guān)系為：是算符或普通數(shù)第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月最后有：對任意實數(shù)

均成立由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：兩個不對易算符均方偏差關(guān)系式測不準(zhǔn)關(guān)系均方偏差其中：第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系表明：坐標(biāo)與動量的均方偏差不能同時為零，其一越小， 另一就越大。測不準(zhǔn)關(guān)系:總之，若兩個力學(xué)量F和G不對易，則一般說來和不能同時為零，即F與G不能同時測定，或者說它們不能有共同本征態(tài)，反之，若兩個厄密算符對易，則可以找出這樣的態(tài)，使和，即可找到它們的共同本征態(tài)。第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）兩力學(xué)量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)

（x）時，力學(xué)量F一般沒有確定值。如果力學(xué)量F有確定值，

（x）必為F的本征態(tài)，即如果有另一個力學(xué)量G在

態(tài)中也有確定值，則

必也是G的一個本征態(tài)，即結(jié)論：當(dāng)在

態(tài)中測量力學(xué)量F和G時，如果同時具有確定值，那么

必是二力學(xué)量共同本征函數(shù)。第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題：

1、若兩個厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時具有確定值？2、若兩個厄米算符不對易，是否一定都沒有共同本征態(tài)？3、若兩個厄米算符有共同本征態(tài)，是否它們就彼此對易？

第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

兩算符對易的物理含義所以？是特定函數(shù)，非任意函數(shù)也！例如：

=0的態(tài)，Y

m=Y00

LxLz

同時有確定值。 但是，如果兩個力學(xué)量的共同本征函數(shù)不止一個，而是一組且構(gòu)成完備系，此時二力學(xué)量算符必可對易?？疾烨懊娑剑旱?9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：若兩個力學(xué)量算符有一組共同完備 的本征函數(shù)系，則二算符對易。證：由于

n

組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù)

(x)可以按其展開：則因為

(x)是任意函數(shù)第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月逆定理：如果兩個力學(xué)量算符對易，則此二算符 有組成完備系的共同的本征函數(shù)。證：考察：

n也是G的本征函數(shù)，同理F的所有本征函數(shù)

n

（n=1，2，…)也都是G的本征函數(shù),因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系.僅考慮非簡并情況即：與

n

只差一常數(shù)Gn第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。例1：例2：第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2的共同本征態(tài),球諧函數(shù)由于角動量的三個分量不對易,一般無共同本征態(tài),但由于

因此可以找出與任何一個分量的共同本征態(tài).采用球坐標(biāo):第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月由于的本征函數(shù)可以同時也取為的本征態(tài)此時的本征函數(shù)已分離變量,即令帶入本征方程是的本征值,無量綱,待定第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月令,則連帶Legendre方程其解:當(dāng)有一個多項式解本征方程：利用正交歸一性公式，可以定義一個歸一化的θ部分的波函數(shù)（實）：第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣,的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為:稱為球諧函數(shù),它們滿足:對應(yīng)一個

值，m取值為0,±1,±2,±3,...,±

共(2

+1)個值。因此當(dāng)

確定后，尚有(2

+1)個磁量子狀態(tài)不確定。 換言之，對應(yīng)一個

值有(2

+1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，

的簡并度是(2

+1)度。由于量子數(shù)

表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)。的本征值為：的本征值為：第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月由角動量對易關(guān)系：代入平均值公式：同理：證明在LZ本征態(tài)Ylm下，<Lx>=<Ly>=0例題10第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月利用測不準(zhǔn)關(guān)系證明，在Lz本征態(tài)Ylm下， 〈Lx〉=〈Ly〉=0證：由于在Lz本征態(tài)Ylm中，測量力學(xué)量Lz

有確定值，所以Lz均方偏差必為零，即則測不準(zhǔn)關(guān)系：平均值的平方為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：同理：例題11第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3力學(xué)量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué)量算符的最小（數(shù)目）集合稱為對易力學(xué)量完全集(CSCO）定義：設(shè)有一組彼此對易而又相互獨立的力學(xué)量算符?(?1,?2,...)，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡并的，它們的共同本征函數(shù)記為

k，k是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號。設(shè)給定k之后即給定這組本征值就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱這組力學(xué)量(?1,?2,...)構(gòu)成體系的對易力學(xué)量完全集。第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學(xué)量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學(xué)量：例3：一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。（3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的 一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：兩個力學(xué)量同時有確定值的條件體系恰好處在其共同本征態(tài)上。例：動量算符：兩兩對易，共同完備本征函數(shù)系：本征態(tài)下有確定值：第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月體系的任何態(tài)總可以用包含?在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來展開。

第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2

的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz

的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值； （4）在Ψ

態(tài)中分別測量L2

和Lz

時得到的可能值及 其相應(yīng)的幾率。解：

Ψ

沒有確定的

L2

的本征值，故

Ψ

不是

L2

的本征態(tài)。例題11第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Ψ是Lz

的本征態(tài)，本征值為

。（3）求L2的平均值方法I驗證歸一化：第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月歸一化波函數(shù)方法II（4）第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題12第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題13第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題14第71頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例題15第72頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)第74頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）線性算符?(c1ψ1+c2ψ