高中數(shù)學必修4第二章平面向量從力做功到數(shù)量積

北師大版高中數(shù)學必修4第二章《平面向量》從力做的功到平面向量的數(shù)量積一、教學目標：1.知識與技能：（1）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.（3）掌握平面向量數(shù)量積的運算律和它的一些簡單應(yīng)用.（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.2.過程與方法：教材利用同學們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學生理解和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了4個例題；通過講解例題，培養(yǎng)學生邏輯思維能力.3.情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學習，使同學們認識到向量的數(shù)量積與物理學的做功有著非常緊密的聯(lián)系；讓學生進一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積，有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神.二.教學重、難點:重點:向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；運算律.難點:運算律的理解三.學法與教法(1)自主性學習+探究式學習法：(2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.四.教學過程一、知識復(fù)習數(shù)量積的坐標公式：a

b

x1

x2

y1

y2其中：

a

(x1

,

y1

),

b

(x2

,

y2

)規(guī)定:0

a

01、數(shù)量積的定義：a

b

|

a

||

b

|

cos

其中：a

0,b

0

是a和b的夾角,范圍是0

注意：兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.2、數(shù)量積的幾何意義：b

cos

的乘積.數(shù)量積a

b等于a的長度a

與b在a的方向上的投影數(shù)量可用公式計算:3、數(shù)量積的物理意義：F

SF

cos

如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功WW

F

S

|

F

||

S

|

cos

ab

|

b

|

cos

BAOa

b

a

b

cos

a

b

b

aa

b

b

a

cos

設(shè)a,b是兩個非零向量

2

.當a與b同向時,a

b

a

b

;當向量a與b反向時,a

b

a

b2特別地,

a

a

a

或a

a

a用于計算向量的模設(shè)a

x,

y

,則a

x2

y2a

b

3

.cos

a

b

.221

11

2

1

2x2

2

x2

22

21

1,

b

x

,

y

,則cos

設(shè)a

x

,y

y

y

x

x

y

y

用于計算向量的夾角

4

.

a

b

a

b如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為

x1,y1

,

x2

,y2

,那么22

21

2

1a

x

x

y

y

.這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式4、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標表示：

1

a

b

a

b

0

當a

0時,a

b

0,不能推出b

0內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的充要條件設(shè)非零向量a

x1,y1

,b

x2

,y2

,則a

b

x1x2

y1

y2

022

22212121

21

2x

y

x

y

證明柯西不等式特例:

x

x

y

y

5、數(shù)量積的運算律：⑴交換律：a

b

b

a⑵對數(shù)乘的結(jié)合律：(

a)

b

(a

b)

a

(

b)⑶分配律：(a

b)

c

a

c

b

c注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律即:(a

b)

c

a

(b

c)1.有四個式子:

1

0

a

0,

2

0

a

0,

3

a

b

a

c

b

c,二、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

4

a

b

a

b

,

其中正確的個數(shù)為:

DA.

4個

B.3個

C.

2個

D.1個2.已知a,

b均為單位向量,下列結(jié)論正確的是:

BA.a

b

12

2B.a

b

C.a平行b

a

bD.a

b

03.設(shè)向量a

x1

,y1

,b

x2

,y2

,有下列命題:

1

a

2

b2

其中假命題序號是:⑵1

2

y

y

022

2

1

2

1

2

1

2

y

,

3

a

b

x

x

y

y

,

4

a

b

x

xx21

1

y

,x2

24.若a

0,1

,b

1,1

且

a

b

a,則實數(shù)

的值是A．-1

B.0

C.1

D.2（A）解:

1

因為AD與BC平行且方向相同,

AD與BC的夾角為0

.

AD

BC

AD

BC

cos

0

3

3

1

9

2

.

AB與CD平行,且方向相反

AB與CD的夾角是180

AB

CD

AB

CD

cos180

4

4

1

161

6

2

AB

DA

AB

DA

cos120

4

3

三、典型例題分析進行向量數(shù)量積計算時,既要考

慮向量的模,又

要根據(jù)兩個向量

方向確定其夾角。進行向量數(shù)量積計算時,既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個向量

3

.

AB與AD的夾角是60

,

AB與DA的夾角是120

方向確定其夾角。2或AD

BC

AD

92或AB

CD

AB

16例1、如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB

4,AD

3,

DAB

60

,求:

1

.AD

BC

2

.AB

CD

3

.AB

DABA120

CD60

兩個向量的數(shù)量積是否為零,是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一.使

k

a

b

a

2b

例2、

已知a

5,

b

4,且a與b夾角為60

,問k為何值時,解:

k

a

b

a

2b

k

a

b

a

2b

0

ka

2k

1

a

b

2b

02

2k

25

2k

1

5

4

cos

60

2

16

015解得:k

1415所以當k

14

時,

k

a

b

a

2b

2

2a

b

b

42

2

a

b

4

2a

b

4

2

2

8

2222

2

2

2122

2a

b

a

b

AOBa

b

a

b

cos2

S

1

OA

OB

sin

1

a

b

1

cos2

2

2a

b

42

12

12

2

2a

b當且僅當a

b

2時,S有最大值,此時cos

a

b

60

注意兩個向量夾角的取值范圍16

4

3222

122

4

1

2

12

a

b

a

b

cos

a

b

0

180

求a與b的夾角

解:因為a

b

2,所以a2例3、已知OA

a,OB

b,a

b

a

b

2,當

AOB的面積有最大值時,OABab

22

2

1

x

2

1

x

0x

y2

1

1

2

1

x

2

1

x

x

0

x2

y2

3即所以點P的橫坐標的取值范圍為0

x

3PM

PN

,NM

NP公差小于零的等差數(shù)列,求點P的橫坐標的取值范圍?解:記P

x,y

,由M

1,0

,N

1,0

得PM

1

x,

y

,

PN

1

x,

y

,

MN

2,0

MP

MN

2

1

x

,

PM

PN

x2

y2

1,

NM

NP

2

1

x

,于是MP

MN,PM

PN,NM

NP是公差小于零的等差數(shù)列等價于例4.

已知兩點M

1,0

,N

1,0

,且點P使MP

MN,小結(jié)本節(jié)課主要復(fù)習了平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)、運算律、幾何意義及其在物理學上的應(yīng)用。利用平面向量的數(shù)量積運算來解決一些實際問題.四、作業(yè)布置1.已知a

1,

b

4,

a

b

a

0,則a與b的夾角是:2

2A.90

B.60

C.120

D.150

已知a

3,

b

5,且a

b

12,則b在a的方向上投影為

已知向量x與a

2,

1

共線,且a

x

18,則x的坐標為

已知a與b的夾角為30

且a

3,

b

1,

求向量p

a

b與q

a

b的夾角的余弦.已知平面四邊形ABCD中,AB

a,BC

b,CD

c,DA

d

,且a

b

b

c

c

d

d

a,試判斷四邊形ABCD的形狀特征.若a

cos

,sin

,b

cos

,sin

,且k

a

b

3

a

kb

k

0

1

用k表示數(shù)量積a

b

2

求a

b的最小值,并求此時a與b的夾角

.0PM

PN

4

x

cos

PM

PN

1

2

0

2014

x

sin

1

cos2

1

02