歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編33不等式

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題33不等式第二緝1．【2018年貴州預(yù)賽】若實(shí)數(shù)a使得不等式x?2a+2x?a≥a2【答案】?【解析】設(shè)x=ka（k∈R），則ka?2a+即對(duì)?k∈R，恒有k?2+2k?1≥a≤故答案為：?2．【2018年廣西預(yù)賽】設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有(x2+ax?5)(ax?1)≥0【答案】1【解析】當(dāng)a=0時(shí)，顯然不能使原不等式對(duì)任意的x>0恒成立.因此a≠0.注意到y(tǒng)=x2+ax?5的開口向上，所以必然要求a>0.對(duì)于方程x2+ax?5=0，設(shè)其兩根為x1、x2，且x解得a=13．【2018年湖北預(yù)賽】設(shè)正實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y【答案】6【解析】由三元均值不等式，可得x≥33xy≥33y當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，①中等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)y=12時(shí)，①+②，得x2又已知x2+y2+1x+14．【2018年甘肅預(yù)賽】設(shè)x,y滿足2x+y≥4,x?y≥1,x?2y≤2.若z=ax+y只在點(diǎn)【答案】?【解析】畫出平面區(qū)域如下：由數(shù)形結(jié)合可得?2<?a<12，即5．【2018年甘肅預(yù)賽】若正實(shí)數(shù)x,y滿足y>2x，則y2【答案】4【解析】y>2x得yxy=t當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)等號(hào)成立，故y26．【2018年吉林預(yù)賽】若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b?2≥0b?a?1≤0a≤1，則【答案】7【解析】試題分析：由a+2b2a+b=12(2a+b)+32b2a+b=12+32考點(diǎn)：線性規(guī)劃．7．【2018年天津預(yù)賽】實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y【答案】42【解析】注意xy≤14x當(dāng)x=4，y=2時(shí)等號(hào)成立，所以也可以直接用柯西（Cauchy）不等式xy+8x+y2故答案為：428．【2018年河南預(yù)賽】已知a、b、【答案】2【解析】記M=min1a于是M3≤8abc又M≤3abc由①②可得M≤2M，所以M≤2，即M9．【2018年河北預(yù)賽】若實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2+y【答案】?【解析】由柯西不等式得(x2+y2)(1+22)≥(x+2y)2，由已知得x10．【2018年河北預(yù)賽】已知x?1，y?1且lg2【答案】2+22【解析】由已知得lg2所以lgx?1因?yàn)閤?1、y?1，所以lgx?0、lgy?0由線性規(guī)劃知識(shí)直線u=s+t與圓弧相切于點(diǎn)2+1,211．【2018年遼寧預(yù)賽】若正實(shí)數(shù)x、y滿足x3【答案】1【解析】設(shè)x=ky,則y=4k?5k3+1.令故f(k)≤f(2)=13，因此y的最大值為故答案為:112．【2018年江西預(yù)賽】設(shè)x，y，z∈R【答案】18【解析】根據(jù)條件得，y+z=xyz?1，因此yz?1=同理有zx?1=z+x又因xyz=x+y+z≥33xyz，得所以fx,y,z當(dāng)x=y=z=3故答案為：1813．【2018年山西預(yù)賽】若正整數(shù)n使得3恒介于1+3【答案】4【解析】當(dāng)n為正整數(shù)是，易知3n+1<3n，由3?1<3n，得n<14．【2018年湖南預(yù)賽】設(shè)a+b=1,b>0,a≠0，則1|a|【答案】22【解析】1|a|其中等號(hào)成立的條件是b|a|=2|a|當(dāng)a>0時(shí)，1|a|+2|a|當(dāng)a<0時(shí)，1|a|+2|a|b≥2故答案為：215．【2018年福建預(yù)賽】最近網(wǎng)絡(luò)上有一篇文章很火．源于一道常見題目：（見圖），這貌似易解的題目，里面竟然蘊(yùn)藏了深?yuàn)W的大道理．（本題不作為本次考試的試題，本次試題如下）設(shè)a，b∈2,3,4,5,6,7,8【答案】89287【解析】不妨設(shè)a≥b，x=aa=1?99x因?yàn)?≤x≤4，當(dāng)x=4時(shí)，10x+1x所以當(dāng)x=4時(shí)，1?9910x+所以當(dāng)a=8，b=2（或a=2，b=8）時(shí)，16．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】若正整數(shù)a、b、c滿足2017≥10a≥100b≥1000c，則數(shù)組(a，b，c)的個(gè)數(shù)為 .【答案】574【解析】由條件知c?2017當(dāng)c=1時(shí)，有10≤b≤20.對(duì)于每個(gè)這樣的正整數(shù)b，由10b≤a≤201知，相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)為202－10b.從而這樣的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為b=1020當(dāng)c=2時(shí)，由20?b?2017100，知b=20.進(jìn)而故a=200，201.此時(shí)共有兩組(a，b，c)綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為572+2=574.17．【2017年天津預(yù)賽】如果不等式x3?ax+1≥0對(duì)一切x【答案】0【解析】提示：當(dāng)x=當(dāng)x≠0時(shí),記fx=x注意fx在[?1,0)若x∈(0注意到x2+1x=x2綜上,a的取值范圍是0,3318．【2017年河北預(yù)賽】已知x,y∈R,2x【答案】22【解析】提示：根據(jù)柯西不等式得x+故x+2y≤即2x=32故x+2y另解:x26+所以x+其中cosφ=422,sinφ=6此時(shí)x=3故x+2y的最大值為19．【2017年吉林預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系中,由不等式x+y+x+【答案】3【解析】在第一、三象限內(nèi)是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,在第二、四象限內(nèi)是邊長(zhǎng)為1的正方形,面積是3.20．【2017年吉林預(yù)賽】已知x,y,z∈Z,且x【答案】3或57【解析】由x+y=從而x、y為關(guān)于t的方程于是Δ=3?當(dāng)z=1當(dāng)z=4當(dāng)z=?5時(shí),綜上,x221．【2017年山東預(yù)賽】設(shè)a,b,c是非負(fù)實(shí)數(shù),滿足a+b+c=【答案】16【解析】提示：不失一般性,設(shè)c≥b≥a由0≤a?因?yàn)閎c≥ca≥而ab=16?ca因此m≤16922．【2017年山東預(yù)賽】已知x,y,z∈R+,且【答案】3【解析】提示：如圖,構(gòu)造直角三角形△ABC,其中設(shè)F為△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足∠AFB=∠BFC=∠令BF=x,CF=則x+作三角形△AFC的外接圓,連結(jié)BF并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)D,連結(jié)DA、DC,在DF上取點(diǎn)E滿足FE=FA考慮△AFC和△AED,由AD=AC,AE=因此BD=FA+FB因此x+23．【2017年福建預(yù)賽】A,B,C為圓O上不同的三點(diǎn),且∠AOB=120°,點(diǎn)C在劣弧AB內(nèi)(點(diǎn)C與A,B不重合【答案】(【解析】提示：解法一如圖1,連結(jié)OC交AB于點(diǎn)D.設(shè)OD=mOC,則由因?yàn)锳、D,不妨設(shè)圓的半徑為1,作OE⊥AB于E,由∠AOB因?yàn)镺D≥OE=12,且點(diǎn)C在劣弧AB內(nèi)(點(diǎn)C于是,1<所以λ+μ的取值范圍為解法二如圖2,以O(shè)為原點(diǎn),線段AB的垂直平分線所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)圓O半徑為2,則由∠AOB=120設(shè)C2cosα,2sinα因?yàn)辄c(diǎn)C在劣弧AB內(nèi)(點(diǎn)C與A,B不重合),所以于是1所以λ+μ的取值范圍為24．【2017年河南預(yù)賽】實(shí)數(shù)x、y滿足4x2?5xy+4y2=5.若S【答案】8【解析】提示:不妨設(shè)x=代入4x2?則p=10325．【2017年河南預(yù)賽】若a≥b≥c,a+b+c=【答案】3【解析】提示:由a+b+c不妨設(shè)x1=1而a≥b≥c則?2≤ca≤?故最大值與最小值的和為3.26．【2017年湖北預(yù)賽】已知正實(shí)數(shù)a、b滿足aba+b=4【答案】2【解析】提示：由aba+b則2a在b2=8b,即所以2a+b的最小值為27．【2017年四川預(yù)賽】已知實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足:【答案】2【解析】由條件知x注意到,x12+x1+x當(dāng)x1=x28．【2017年陜西預(yù)賽】設(shè)a,b,c是互不相同的正整數(shù),則abca【答案】1【解析】提示：不妨設(shè)a>b從而,ab