2023-2023學年東城區(qū)一模數(shù)學試卷及答案

2024-2024學年東城區(qū)一模數(shù)學試卷及答案北京市東城區(qū)2024-2024學年度其次學期高三綜合練習（一）

數(shù)學（理科）2024.4

本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

(1)若集合{}31Axx=-,{}

12Bxxx=-或，則AB=(A){}

32xx-(B){

}31

xx--(C){}11xx-

(D)

{}

11xx-(2）復數(shù)1i

zi

=

-在復平面上對應的點位于(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知,abR∈，且ab，則下列不等式肯定成立的是

(A)22

0ab-(B)coscos0ab-(C)

11

0ab

-(D)0abee---(4)在平面直角坐標系xOy中，角θ以Ox為始邊，終邊與單位圓交于點（35，4

5

），則tan()

θπ+的值為(A)

43(B)34(C)43-(D)34

-(5)設拋物線24yx=上一點P到y(tǒng)軸的距離是2，則P到該拋物線焦點的距離是(A)1(B)2(C)3(D)4

(6)故宮博物院五一期間同時舉辦“戲曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“歷代青綠山水畫展”、“趙孟頫書畫展”四個展覽．某同學打算在五一當天的上、下午各參觀其中的一個，且至少參觀一個畫展，則不同的參觀方案共有(A)6種（B)8種（C)10種（D)12種

(7)設{}na是公差為d的等差數(shù)列，nS為其前n項和，則“d>0”是“{}nS為遞增數(shù)列”的(A）充分而不必要條件（B)必要而不充分條件(C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件(8)某次數(shù)學測試共有4道題目，若某考生答對的題大于全部題的一半，則稱他為“學習能手”，對于某個題目，假如答對該題的“學習能手”不到全部“學習能手”的一半，則稱該題為“難題”．已知這次測試共有5個“學習能手”，則“難題”的個數(shù)最多為(A)4(B)3(C)2(D)1

其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

(9)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a2+c2=b2+ac，則B=.(10)在極坐標系中，圓2cosρθ=的圓心到直線sin1ρθ=的距離為.

(11)若x，y滿意041xyxyx-≤??

+≤??≥?

，則2x+y的最大值為.

(12)某幾何體的三視圖如

圖所示，則該幾何體的表面積為

(13）設平面對量a,b,c為非零向量．能夠說明“若a?b=a?c

，則b=c”是假命題的一組向量a,b,c的坐標依次為.

(14）單位圓的內接正n(n≥3)邊形的面積記為()fn，則f(3)=;下面是關于()fn的描述：

①2()sin2nfnn

π=②()fn的最大值為π③()fn(1)fn+④()fn(2)fn2()fn≤

其中正確結論的序號為．（注：請寫出全部正確結論的序號）

三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)（本小題13分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；(Ⅱ)求()fx在2

π

上的最大值和最小值．

(16)（本小題13分）

從高一班級隨機選取100名同學，對他們期中考試的數(shù)學和語文成果進行分析，成果如圖所示．(Ⅰ)從這100名同學中隨機選取一人，求該生數(shù)學和語文成果均低于60分的概率；

(II）從語文成果大于80分的同學中隨機選取兩人，記這兩人中數(shù)學成果高于80分的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ);(Ill）試推斷這100名同學數(shù)學成果的方差a與語文成果的方差b的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）

(17)（本小題14分）

如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將△PAD,△PBC沿PA,PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O，如圖2．在三棱錐P-OAB中，E為PB中點．(Ⅰ)求證：PO⊥AB;

(II）求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大?。?/p>

(18)（本小題13分）

已知橢圓C：22

221xyab+=（0ab）的離心率為32

，且過點A(2,0).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

(II）設M,N是橢圓C上不同于點A的兩點，且直線AM，AN斜率之積等于1

4

-，試問直線MN是否過定點？若是，求出該點的坐標；若不是，請說明理由．

(19)（本小題14分）

已知函數(shù)()(1)xfxeax=-+.

若曲線()yfx=在(0,(0))f處的切線斜率為0，求a的值；(Ⅱ）若()0fx≥恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅲ）求證：當a0a=時，曲線()yfx=(x>0)總在曲線2lnyx=+的上方．

(20)（本小題13分）在nXn(n≥2)個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表中，,ija表示第i行第j列的數(shù)，記

12(1)iiiinraaain=+++≤≤．12(1)

jjjnjcaaajn=+++≤≤若

,ija∈｛-1,0,1}

((1,)ijn≤≤)，且r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，兩兩不等，則稱此表為“n階H表”，記H={r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}.

(I）請寫出一個“2階H表”;

(II）對任意一個“n階H表”，若整數(shù)nnλ∈-，且nHλ?，求證：λ為偶數(shù)；(Ⅲ）求證：不存在“5階H表”.

北京市東城區(qū)2024-2024學年度其次學期高三綜合練習（一）

數(shù)學（理科）

一、1-8BBDACCDD

其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分.

9.

3

π2221

cos222

ac

ba

cBacac+-===,3Bπ∴=

10.1

即求2220xyx+-=圓心到直線1y=的距離，

()2

211xy∴-+=的圓心為()1,0.距離為1.

11.6

可行域如右圖所示：

設2+zxy=即2yzx=-，當2yzx=-過(2,2)B時，z取最大值，所以6z=.12.2

3+12

該幾何體如圖所示：可知2ABACBC===,ABC為等邊三角形,

所以1

2332

ABC

S=??=,所以四邊形11ACCA的面積為11224ACCAS=?=,所以11232312ABCACCASSS=+=+表.

13.(1,1)a=，(1,2)b=，(2,1)c=（答案不唯一）

設(1,1)a=，(1,2)b=，(2,1)c=,則3?ab=，3?ac=，所以??ab=ac但≠bc，

所以若??ab=ac，則b=c為假命題。

14.

33

4

；①③④內接正n邊形可拆解為n個等腰三角形，腰長為單位長度1，頂角為

2n

π

.每個三角形的面積為

12sin2n

π，所以正n邊形面積為2()sin2nfnnπ=.323333(3)sin23224

==fπ=?，①正確；正n邊形面積無法等于圓的面積，所以②不對；

隨著n的值增大，正n邊形面積也越來越大，所以③正確；

當且僅當3n=時，有2(3)(6)ff=，由幾何圖形可知其他狀況下都有(2)2()fnfn17.

（Ⅰ）由圖1知,PDADPCCB⊥⊥

由圖2知,CD重合于點O.則,POAOPOBO⊥⊥

AOBOO=AO?面AOBBO?面AOB

PO∴⊥面AOB,又AB?面AOBPOAB∴⊥

（Ⅱ）由題知1OP=2OAOBAB===ABO?為等邊三角形

過O取1OF=延長作OFAO⊥建立如圖空間直角坐標系則()()()()

0,0,02,0,0,0,0,11,3,0OAPB，，

易知面POA的法向量為()0,1,0OF=

()

1

3,1BP=--，設BP與平面POA夾角為θ

ξ

012

()Pξ

13815215

則315sincos,515OFBPOFBP

OFBP

θ?-====??

∴直線BP與平面POA所成角正弦值為155

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA的法向量為()0,1,0OF=

設面EOA法向量為(,,)mxyz=

易知E為PB中點131

()222

E∴，，，131()222OE=，，，(200)OA=，，

00

OEmOAm??=?∴??=??即30222

20xzyx?+

+=???=?

令1y=-則(0,1,3)m=-

則11cos,21

2mOFmOFmOF?-===-??

由圖知二面角為銳角，

∴二面角PAOE--為3

π

18．（Ⅰ）32e=

，3

2

ca∴=

，過()2,0，2a∴=，3c=，

2

2

2

1bac=-=，2

214

xy∴+=

（Ⅱ）①當MN斜率不存在時，設()00,Mxy，則()00,Nxy-，

00001224AMANyykkxx-?=

?=---，()22024

24

yx=-，又()00,Mxy在橢圓上，

220244

xy∴+=，解得00x=，01y=±，:0MNlx∴=．

②當MN斜率存在時，設:MNlykxm=+，與橢圓聯(lián)立，由2

21

4xyykxm?+=???=+?

得

()2

2

2148440kx

kmxm+++-=，

0?>，即22410km+->，

設()11,Mxy，()22,Nxy，

則122212281444

14kmxxkmxxk?

+=-??+?-?=?+?

，()()2212122

414mkyykxmkxmk-=++=+，()1212

1212122224

AMANyyyykkxxxxxx?=

?=---++22

2222222

222

441144416416416164

141414mkmkkmkmkmkmkkkk--+===--+++++

+++，2222444mkmkmk∴-=---，

220mkm+=，0m∴=或2mk=-，當2mk=-時，():2MNlykx=-，

恒過()2,0不符合①，當0m=時，:MNlykx=，結合①，恒過()0,0，綜上，直線MN恒過()0,0．19.（Ⅰ）()xfxea'=-，由題可得(0)0f'=，即10a-=，故1a=

（Ⅱ）()xfxea'=-

①當0a=時，()0xfxe=>恒成立，符合題意。

②當0a恒成立，則()fx在R上單調遞增，當1

1xa

=

-時，1

11(1)10

afea

--=-時，令()0fx'=，解得lnxa=當x變化時，()fx和()fx'變化狀況如下

x(,ln)a-∞

lna

(ln,)a+∞

()fx'-

+

()fx

微小值

min()(ln)(ln1)fxfaaaa==-+，由題意可min()0fx≥，即ln0aa-≥，

解得01a+恒成立，即要證明

ln2xex->恒成立，構造函數(shù)()lnx

gxex=-

1()x

gxex'=-

，令1()xhxex=-，故21()0x

hxex

'=+>，則()hx在(0,)+∞單調遞增，則'()gx單調遞增.由于(1)10ge'=->，1

21

()202

ge'=-，即ln2x

ex->