【高中數(shù)學(xué)】基本不等式課件 2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第2章

一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式

我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個問題．【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)3．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．(數(shù)學(xué)運算)4．會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)5．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)運算)

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．問題1：基本不等式及其推導(dǎo)

由重要不等式可得：

問題1：基本不等式及其推導(dǎo)問題1：基本不等式及其推導(dǎo)【證法二】當(dāng)然我們也可以利用分析法：把這個過程倒過來，就是證明的過程.

綜合法

基本不等式鏈

問題1：基本不等式及其推導(dǎo)

ABDCE

問題2：基本不等式的幾何意義【例1】

一正：各項必須為正二定：各項之和或各

項之積為定值三相等：必須驗證取等號

時的條件十分具備問題3：利用基本不等式求最值思考問題3：利用基本不等式求最值

問題4：最值定理及其應(yīng)用

問題4：最值定理及其應(yīng)用

【證明】

【例題】(1)用籬笆圍成一個面積為100平方米的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用的籬笆最少，最短長度是多少？

問題5：基本不等式的實際應(yīng)用【例題】(2)用一段長為36米的鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

問題5：基本不等式的實際應(yīng)用【例題】（3）某工廠要建造一個長方體形狀的無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深為3米.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低？最低造價是多少？

問題5：基本不等式的實際應(yīng)用練習(xí)4：已知直角三角形的面積為50，當(dāng)兩條直角邊的長度各為多少時，

兩條直角邊的和最??？最小值是多少？.

練習(xí)（第48頁）1．用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？因為周長等于20，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時取等號。答：當(dāng)矩形的長與寬均為5cm時，面積最大。最大值為25cm2.2．用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m．當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？3．做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，當(dāng)?shù)酌娴倪呴L取什么值時，用紙最少？解：設(shè)底面的長與寬分別為am,bm.a>0,b>0,因為體積等于32m3,高2m,所以底面積為16m2,即：所以用紙面積是當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時取等號。答：當(dāng)?shù)酌娴拈L與寬均為4m時，用紙最少。4．已知一個矩形的周長為36cm？矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．當(dāng)矩形的邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？當(dāng)矩形的長和寬分別為9時，圓柱的側(cè)面積最大。習(xí)題2.2（第48頁）2．（1）把36寫成兩個正數(shù)的積，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？答：當(dāng)這兩個正數(shù)均為6時，它們的和最小。2．（2）把18寫成兩個正數(shù)的和，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？答：當(dāng)這兩個正數(shù)均為96時，它們的積最大。3．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元．如果墻高為3m，且不計屋脊面和地面的費用，那么怎樣設(shè)計房屋使總造價最低？最低總造價是多少？當(dāng)3600y=4800x,即x=6,y=8時，z有最小值，最低造價為63400元。6．一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費y1（單位：元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費用y2（單位：元）與x成正比；若在距離車站10km處建倉庫，則y1和y2分別為2萬元和8萬元．這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最?。克詡}庫應(yīng)建在距離車站5km處，才能使兩項費用之和最小，最小費用為8萬元．7．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些