《圓錐曲線新題型及定點問題分析》

《圓錐曲線新題型及定點問題分析》高三沖刺講義：《圓錐曲線新題型及定點問題分析》圓錐曲線是解析幾何主要內(nèi)容之一，也是高考重點考查內(nèi)容合熱點，知識綜合性較強，對學(xué)生邏輯思維能力、計算能力要求很高，這些問題重點考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想與劃歸思想應(yīng)用。定點問題與定值問題是這類題目標經(jīng)典代表，下面我們就著重研究這些2類問題；在圓錐曲線中，有一類曲線系方程，對其參數(shù)取值不一樣時，曲線本身性質(zhì)不變，或形態(tài)發(fā)生一些改變，但其一些固有共同性質(zhì)一直保持著，這就是我們所指定值定點問題。圓錐曲線中幾何量，有些與參數(shù)無關(guān)，這就組成了定值定點問題，她涵蓋兩類問題，一是懂曲線景觀定點問題；二是動曲線一些幾何量斜率、長度、角度、距離、面積等為常數(shù)問題。在幾何問題中，有些幾何量與參變數(shù)無關(guān)，即定值問題，這類問題求解策略是經(jīng)過應(yīng)有賦值法找到定值，然后將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式推導(dǎo)、論證定值符合通常情形。所以在圓錐曲線綜合性問題里，定點定值問題往往是我們學(xué)習(xí)一個難點.對于這類問題學(xué)習(xí)，通常有兩種處理方法:①從特殊人手，求出定點或定值，再證實這個點(值)與變量無關(guān).②直接推理、計算，并在計算中消去變量，從而得到定點(定值).而第二個方法又是我們深入且歸納重點方法，其中又包含：1、經(jīng)過定義代入化簡；2、經(jīng)過平面幾何知識或三角知識代入；3、經(jīng)過韋達定理化簡；下面我們就來介紹這些題型：題型一：經(jīng)過代入化簡得定值例1：已知為橢圓上一點，其中為橢圓左右焦點；求證：。證實：同理得證：題型二：經(jīng)過平面幾何知識化簡得到例2：已知橢圓方程為，右焦點為，直線與圓相切于點，且在軸右側(cè)，設(shè)直線交橢圓于不一樣兩點.（1）若直線傾斜角為，求直線方程；xyFQxyFQABlO（2）求證：.提醒：用代入法轉(zhuǎn)化AF，AQ=；從而化簡出是一個常值。解]（1）設(shè)直線方程為，則有，得又切點在軸右側(cè)，所以，所以直線方程為（2）因為為直角三角形，所以又得又得所以，同理可得所以題型三：經(jīng)過定義化簡得到：例3：某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所表示“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中、是過拋物線焦點兩條弦，且其焦點，，點為軸上一點，記，其中為銳角．（1）求拋物線方程；（2）求證：．（3）假如使“蝴蝶形圖案”面積最小，求大??？第(3)問提醒：，；想想BF和DF怎樣參加他們也能夠?qū)懗鰜怼Ｖ竺娣e問題就轉(zhuǎn)化為三角求最值問題了。解析:（1）由拋物線焦點得,拋物線方程為（2）設(shè)，則點所以，，既解得；（3）同理：，，“蝴蝶形圖案”面積令,則,時,即“蝴蝶形圖案”面積為8題型四：經(jīng)過韋達化簡得到例4、已知橢圓中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點，是上動點．（1）求最大值；（2）若平行于直線在軸上截距為，直線交橢圓于兩個不一樣點，求證：直線與直線傾斜角互補．[解]（1）設(shè)橢圓方程為將代入橢圓方程，得………2分解得，所以橢圓方程為…………2分設(shè)點坐標為，則．又是上動點，所以，得，代入上式得，故時，．最大值為．（2）因為直線平行于，且在軸上截距為，又，所以直線方程為．由得設(shè)、，則．又故．又，所以上式分子故．所以直線與直線傾斜角互補．題型五、經(jīng)過類比結(jié)論得到例5：橢圓中心為坐標原點，右焦點為，且橢圓過點.若三個頂點都在橢圓上，設(shè)三條邊中點分別為.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)三條邊所在直線斜率分別為，且.若直線斜率之和為0，求證：為定值.解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：左焦點為所以，解得，．故橢圓方程為．（方法2、待定系數(shù)法）（2）設(shè)，，由：，，兩式相減，得到所以，即，同理，所以，又因為直線斜率之和為0，所以方法2、(可參考方法1給分)設(shè)直線：，代入橢圓，得到，化簡得(以下略)題型六：其余綜合問題例6：已知拋物線：，直線交此拋物線于不一樣兩個點、．（1）當直線過點時，證實為定值；（2）當初，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）假如直線過點，過點再作一條與直線垂直直線交拋物線于兩個不一樣點、．設(shè)線段中點為，線段中點為，記線段中點為．問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）．（3）存在直線，點，點到它們距離相等．例7：在平面直角坐標系中，方向向量為直線經(jīng)過橢圓右焦點，:與橢圓相交于、兩點（1）若點在軸上方，且，求直線方程；（2）若，且△面積為，求值；（3）當（）改變時，是否存在一點，使得直線和斜率之和為,若存在，求出值；若不存在，請說明理由.答案：（1）；（2）；（3）存在一點。例8：動圓過定點且與直線相切，其中.設(shè)圓心軌跡方程為.求；曲線上一定點方向向量直線（不過點）與曲線交于、兩點，設(shè)直線、斜率分別為、，計算；（3）曲線上兩個定點、分別過點、做傾斜角互補兩條直線、分別與曲線交于、兩點，求證直線斜率為定值.答案：（1）；（2）====0.例:9：已知橢圓方程為，其焦點在軸上，點為橢圓上一點．（1）求該橢圓標準方程；（2）設(shè)動點滿足，其中、是橢圓上點，直線與斜率之積為，求證：為定值；（3）在（2）條件下探究：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，給出證實；若不存在，請說明理由．答案：（1）（定值）存在點A()、B（），使得=（定值）例10：設(shè)拋物線焦點為，經(jīng)過點動直線交拋物線于點，且．（1）求拋物線方程；（2）若（為坐標原點），且點在拋物線上，求直線傾斜角；（3）若點是拋物線準線上一點，直線斜率分別為．求證：當為定值時，也為定值．答案：（1）．（2）直線傾斜角為或．（3），可得，由（2）知又，∴，又為定值，所以也為定值．例11：已知雙曲線中心在原點，是它一個頂點，是它一條漸近線一個方向向量.求雙曲線方程；若過點()任意作一條直線與雙曲線交于兩點(都不一樣于點)，求證：為定值；對于雙曲線:，為它右頂點，為雙曲線上兩點(都不一樣于點)，且，那么直線是否過定點？若是，請求出此定點坐標；若不是，說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證實過程）.情形一：雙曲線及它左頂點；情形二：拋物線及它頂點；情形三：橢圓及它頂點.答案：（1）；（2）=0為定值；（3）過定點(,0).情形一：在雙曲線：中，若為它左頂點，為雙曲線上兩點(都不一樣于點)，且，則直線過定點(,0).情形二：在拋物線中，若為拋物線上兩點(都不一樣于原點)，且，則直線過定點.情形三：（1）在橢圓中，若為它右頂點，為橢圓上兩點(都不一樣于點),且，則直線過定點(,0)；（2）在橢圓中，若為它左頂點，為橢圓上兩點(都不一樣于點)，且，則直線過定點(,0)；（3）在橢圓中，若為它上頂點，為橢圓上兩點(都不一樣于點),且，則直線過定點(0,)；（4）在橢圓中，若為它下頂點，為橢圓上兩點(都不一樣于點),且，則直線過定點(0,).【課后作業(yè)】1.A、B是拋物線（p＞0）上兩點，且OA⊥OB，求證：（1）A、B兩點橫坐標之積，縱坐標之積分別都是定值；（2）直線AB經(jīng)過一個定點。證實：（1）設(shè)A（）、B（），則，?！?，∴為定值，也為定值。（2）∵，∵，∴∴直線AB方程為：，∴直線AB過定點（2p，0）。2.已知拋物線方程為，點A、B及點P(2，4)都在拋物線上，直線PA與PB傾斜角互補。（1）試證實直線AB斜率為定值；解析：（1）證實：把P(2，4)代入，得h=6。所以拋物線方程為：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。所以，因為PA和PB傾角互補，所以，用－k代k，得，所以=。3、設(shè)拋物線（p＞0）焦點為F，經(jīng)過點F直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線準線上，且BC∥x軸，證實：直線AC經(jīng)過原點。方法1：設(shè)直線方程為，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直線OA斜率，所以AC經(jīng)過原點O。當k不存在時，AB⊥x軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作AD⊥l，D為垂足，則：AD∥xyFBACDO圖3NE4、已知點，、、是平面直角坐標系上三點，且、、成等差數(shù)列，公差為，．（1）若坐標為，，點在直線上時，求點坐標；（2）已知圓方程是，過點直線交圓于兩點，是圓上另外一點，求實數(shù)取值范圍；（3）若、、都在拋物線上，點橫坐標為，求證：線段垂直平分線與軸交點為一定點，并求該定點坐標．答案：（1）坐標為或當初，或；當初，或直線與軸交點為定點5、已知橢圓中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上點到焦點距離最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且認為直徑圓過橢圓右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．答案：（1）（2）：直線過定點，定點坐標為6、已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，橢圓上點到焦點距離最小值為，且﹒（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個