全國中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編點直線與圓的位置關(guān)系解析

學(xué)大教育學(xué)大教育學(xué)大教育學(xué)大教育點直線與圓的位置關(guān)系（2015?江蘇南京涕6題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與。O相切于E,F,G三點，過點D作。O的切線BC于點M,切點為N,則DM的長為()13 9 4 廠A. B.- C.-V13D.2拈-3 J【答案】A.【解析】試題分析：連接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中，?//A=ZB=90°,CD=AB=4,VAD,AB,BC分別與。O相切于E,F,G三點，.../AEO=ZAFO=ZOFB=ZBGO=90°,??.四邊形AFOE,FBGO是正方形，AF=BF=AE=BG=2,ADE=3,VDM是。O的切線，DN=DE=3,MN=MG,ACM=5-2-MN=3-MN,在Rt△DMC中，UUf3=O)3+CMf3,4 413A.0+JfiV)3=O_JfW)3+43,ANM=—,ADM=3+—=—，故選A.考點：1.切線的性質(zhì)；2.矩形的性質(zhì).（2015湖南岳陽第8題3分）如圖，在^ABC中，AB=CB，以AB為直徑的。O交AC于點D.過點C作CF//AB,在CF上取一點E,使DE=CD,連接AE.對于下列結(jié)論:①AD=DC；②^CBA-△CDE；③BD=AD；④AE為。O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項是（）

EAFC.①④D.①②④A.C.①④D.①②④考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)..分析： 根據(jù)圓周角定理得/ADB=90°,則BD±AC于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷AD=DC,則可對①進行判斷；利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明N1=N2=N3=N4,則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CBA-△CDE，于是可對②進行判斷；由于不能確定N1等于45°,則不能確定BD與AD相等，則可對③進行判斷；利用DA=DC=DE可判斷NAEC=90°,即CE±AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB±AE，然后根據(jù)切線的判定定理得AE為。O的切線，于是可對④進行判斷.解答：解：：AB為直徑，??/ADB=90°,??BD±AC,而AB=CB,??AD=DC,所以①正確；,?AB=CB,.??N1=N2,而CD=ED,.??N3=N4,VCF//AB,.??N1=N3,AZ1=Z2=Z3=Z4,??△CBA^ACDE，所以②正確；??△ABC不能確定為直角三角形，，N1不能確定等于45°,

，BD與AD不能確定相等，所以③錯誤;??DA=DC=DE,??點E在以AC為直徑的圓上，AZAEC=90°,??CE±AE,而CF//AB,AAB±AE,AAE為。O的切線，所以④正確.故選D.CEF點評： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定.經(jīng)過圓心.若ZB=20°,則ZC的大小等于（）3A20° B25° C40° D50°? ? ? ?考點： 切線的性質(zhì).分析： 連接OA,根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得ZC的度數(shù).解答：解：如圖，連接OA,B\^~）cVAC是。O的切線，AZOAC=90°,VOA=OB,AZB=ZOAB=20°,AZAOC=40°,AZC=50°.故選：D.點評： 本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時常用的輔助線是連接圓心與切點是解題的關(guān)鍵.（2015?廣東廣州涕3題3分）已知。O的半徑為5,直線l是。O的切線，則點O到直線l的距離是（）A2.5 B3 C5 D10考點： 切線的性質(zhì).分析： 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可直接得到點O到直線l的距離是5.解答：解：V直線l與半徑為r的。O相切，A點O到直線l的距離等于圓的半徑，即點O到直線l的距離為5.故選C.點評： 本題考查了切線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)。O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,直線l和。O相交T<r；直線l和。O相切Cd=r；當(dāng)直線l和。O相離Cd>r.（2015?浙江衢州，第10題3分）如圖，已知等腰"BC = ,以工￡為直徑的圓交工C于點。，過點。的曰□的切線交BC于點E,若］。=5,慮=4,則相口的半徑學(xué)大教育學(xué)大教育學(xué)大教育學(xué)大教育【答案】D.【考點】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方程思想的應(yīng)用.【分析】如答圖，連接口白，過點B作于點尸VAB=BC,.??/月=/C.??工0二。0一,?ZZ=&口。.：.￡C=&D0；OatBC.是e0的切線，.??。WLOD.：.DE工BC.??/出。=90口，且四邊形0區(qū)5尸是矩形..?CO=5,霞=4,.?.由勾股定理，得。豆=3.設(shè)e門的半徑是，則0B=x,BF=3,OF=x-BE=x-[2x-A')=A-x.??由勾股定理，得^^二口^+反/，即M=33+（4—耳，解得工二—.025??匕的的半徑是.O故選D.（2015?浙江湖州，第8題3分）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C,OA交小圓于點D,若OD=2,tanZOAB=-，則AB的長是（ ）

A.4 B.2出 C.8 D.4出1解析】試題分析：連接0C,由切線的性質(zhì)可得口C_LAB,又因口D=0C=2,t311/0細(xì)=1,彳以虹=4，再根據(jù)垂徑定理2可得AB=2M=&故答案選C.考點：切線的性質(zhì)定理；銳角三角函數(shù)；垂徑定理（2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，。O是^ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD,BC上，連結(jié)OG,DG,若OG±DG,且。O的半徑長為1,則下列結(jié)論不成立的是（）A.CD+DF=4B.CD-DF=2君-3C.BC+AB=2出+4 D.BC-AB=2【答案】A.【解析】試題分析：如圖，設(shè)。O與BC的切點為M連接MO并延長MO交AD于點N,利用“AAS”易證△OMG/△GCD，所以O(shè)M=GC=1,CD=GM=BC—BM—GC=BC—2.又因AB=CD，所以可得BC-AB=2.設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,。O的半徑為r,。O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=-(a+b2—c)，所以c=a+b-2.在Rt△ABC中，由勾股定理可得>=(。+8—為？，整理得2ab—4a—4b+4=0,乂因BC—AB=2即b=2+a，代入可得2a(2+a)—4a—4(2+a)+4=0,解得%+ —出造去)，所以b=14■餡為=34■出，即可得BC+AB=2出+4.再設(shè)DF=羽在Rt△ONF中,FN=3+<5-1-x,OF=羽ON=14■百一1二出，由勾股定理可得。士出—月4G5『=，，解得*=4—d，所以CD-DF=^+1-(4-4)=動—3,CD+DF=加4144—出=5.綜上只有選項A錯誤，故答案選A.d第g題考點：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理；(2015?浙江嘉興，第7題4分)如圖，_.三;中，AB=5,BC=3,AC=4,以點C為圓心的圓與AB相切，則。C的半徑為(▲)(A)2.3 (B)2.4(C)2.5 (D)2.6考點：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理?.分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是。C的切線，即可得CD±AB，又由在直角△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理求得AB的長，然后由S△ABC與。BC=^B?CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長.解答：解：在△ABC中，,?AB=5,BC=3,AC=4,

???AC2+BC2=32+42=52=AB2,AZC=90°,如圖：設(shè)切點為。，連接CD,*/AB是。C的切線，ACD±AB,:S△ABC當(dāng)°BC與"CD，AAC?BC=AB?CD,即cA^BC^2￡4^2即CD=AB=5=5'12AOC的半徑為專，故選B.點評：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（2015?四川省內(nèi)江市，第10題，3分）如圖，在OO的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，ZBCD=120°,過D點的切線PD與直線AB交于點P,則ZADP的度數(shù)為（ ）30°45°30°45°考點：切線的性質(zhì)..分析： 連接DB，即ZADB=90°,又ZBCD=120°,故ZDAB=60°,所以ZDBA=30°；又因為PD為切線，利用切線與圓的關(guān)系即可得出結(jié)果.解答：解：連接BD,

VZDAB=180°-ZC=60°,,?AB是直徑，AZADB=90°,AZABD=90°-ZDAB=30°,VPD是切線，AZADP=ZABD=30°,故選：C.點評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑對圓周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角求解.3(2015?四川樂山，第10題3分)如圖，已知直線，=二二一3與1軸、y軸分別交于A、B4兩點，P是以C(0,1)為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結(jié)PA、PB.則^PAB面積的【答案】C21C.D【答案】C21C.D.17【解析】3試題分析：:直線？=— 3與左軸7?軸分別交于aB兩點，「上點的坐標(biāo)為（4,<0,8點的坐標(biāo)為CL4-3）,3x-4y-n=0,即“工=4,03=3?由勾股定理得：.一=5,，點,C（11）到直線士c—4尸一12=0的距離是="，，圓燈上, 點到直線v=-x-3的最大距離是1+竺=4,「.△E由TOC\o"1-5"\h\zJ支+4- 5 4 551 71 71面積的最大值是二M5K二二X,故選C.1？（2015?廣東梅州，第6題，3分）如圖，AB是。O的弦，AC是。O的切線，A為切點，BC經(jīng)過圓心.若/B=20°,則NC的大小等于（ ）A.20°B.25° C.40° D.50°考點：切線的性質(zhì).分析：連接OA,根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得/C的度數(shù).解答：解：如圖，連接OA，VACVAC是。O的切線，???/OAC=90°,VOA=OB,???/B=NOAB=20°,???/AOC=40°,AZC=50°.故選：D.點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時常用的輔助線是連接圓心與切點是解題的關(guān)鍵.（2015?山東濰坊第7題3分）如圖，AB是。O的弦，AO的延長線交過點B的。O的切線于點C,如果ZABO=20°,則ZC的度數(shù)是（ ）

50°C50°C. 45°D. 20°考點：切線的性質(zhì)..分析： 由BC是。O的切線，OB是。O的半徑，得到NOBC=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NABO=20°,由外角的性質(zhì)得到NBOC=40°,即可求得NC=50°.解答：解：???BC是。O的切線，OB是。O的半徑，ANOBC=90°,???OA=OB,ANA=NABO=20°,ANBOC=40°,ANC=50°.故選B.點評：本題考查了本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵.二.填空題（2015?浙江寧波，第17題4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,過點A,D兩點的。O與BC邊相切于點E，則。O的半徑為 ▲【答案】-.【考點】矩形的性質(zhì)；垂徑定理；勾股定理；方程思想的應(yīng)用.【分析】如答圖，連接EO并延長交AD于點H，連接AO,答圖???四邊形ABCD是矩形，。O與BC邊相切于點E,EH±BC,即EH±AD..,.根據(jù)垂徑定理，AH=DH.,?AB=8,AD=12,???AH=6,HE=8.設(shè)。O的半徑為r，則AO=r,OH=8-r.25在RtAOAH中，由勾股定理得（8-r?+62=r2，解得r=.4AOO的半徑為25.4（2015?江蘇徐州，第14題3分）如圖，AB是OO的直徑，點C在AB的延長線上，CD與OO相切于點D，若NC=20°,則NCDA=125°.考點：切線的性質(zhì)..分析： 連接OD，構(gòu)造直角三角形，利用OA=OD,可求得NODA=36°,從而根據(jù)NCDA=NCDO+NODA計算求解.解答： 解：連接OD，則NODC=90°,NCOD=70°；AZODA=ZA=JZCOD=35°,AZCDA=ZCDO+ZODA=90°+35°=125°,故答案為：125.點評：本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角求解.（2015湖北荊州第18題3分）如圖，OA在％軸上，OB在y軸上，OA=8,AB=10,點C在邊OA上，AC=2,。P的圓心P在線段BC上，且。P與邊AB,AO都相切.若反比例函k 27數(shù)y=（原0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k=-丹.x 4一考點：切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.專題：計算題.分析：作PD±OA于D,PE±AB于E,作CH±AB于H，如圖，設(shè)。P的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到PD=PE=r,AD=AE，再利用勾股定理計算出OB=6,則可判斷△OBC為等腰直角三角形，從而得到△PCD為等腰直角三角形，則PD=CD=r,AE=AD=2+r,通過證明^ACH-△ABO,利用相似比計算出CH岸，接著利用勾股定理計算5TOC\o"1-5"\h\zQ Q49出AH=-,所以BH=10--==-,然后證明△BEH^^BHC,利用相似比得到即5 55\o"CurrentDocument"10-（2+r）r q=6,解得r\，從而易得P點坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征T 石 2求出k的值.解答：解：作PD±OA于D,PE±AB于E,作CH±AB于H，如圖，設(shè)。P的半徑為r,V0P與邊AB,AO都相切，APD=PE=r,AD=AE,在用△045中，V0A=8,AB=10,；.0B=J在用△045中，V0A=8,AB=10,；.0B=J102-S2=6,'：AC=2,：.0C=6,???△03C為等腰直角三角形，??.△PCD為等腰直角三角形，：.PD=CD=r,.AE=AD=2+r,ZCAH=ZBAO,：.AACH^AABO,?CHACgn_Q^一之解得ch—

.?比一研’即6一10'解何0"一5'???AH=7aC2-CH2^^22-(-|)2=|，：.BH=10-^=^,55'：PE//CH,ABEP^ABHC,解得后，,BEPE'bh'chOD=OC-CD=6-5393、 27一"了點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線不確定切點，則過圓心作切線的垂線，則垂線段等于圓的半徑.也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.3（2015?福建泉州第14題4分）如圖，AB和。O切于點B,AB=5,OB=3,則tanA=-一-5―解：???直線AB與。O相切于點B,貝UNOBA=90°.,?AB=5,OB=3,一人33..tanA=LT■，=「.AB53故答案為：春（2015?四川成都，第24題4分）如圖，在半徑為5的口O中，弦AB=8,P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP,過點A作AP的垂線交射線PB于點C，當(dāng)APAB是等腰三角形時，線段BC的長為.圖（1）圖（圖（1）圖（2）圖（3）【答案】：BC=8或56或空15 3【解析】：（1）當(dāng)AB=AP時，如圖（1）,作OH1AB于點H，延長AO交PB于點G；AP易知PC

L=AP易知PC

L=cos/APC=cos/AOH=OH=3nPC=5AP=竺AO5射影知P°—AP2 64PC射影知P°—AP2 64PC40T=24nBC=PC-2PG=膽-18=56(2)當(dāng)PA=PB時如圖（2）,延長PO交AB于點K，易知OK=3,PK=8,（3）當(dāng)BA=BP時，如圖(3),由/c=900-ZP=900-ZPAB=/CABnBC=AB=8.綜上：BC=8或56或吟（2015?浙江省紹興市，第14題，5分）在Rt△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)PA,PB。若PB=4,則PA的長為▲考點：點與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理..專題：分類討論.分析：連結(jié)CP,PB的延長線交。C于P',如圖，先計算出CB2+PB2=CP2,則根據(jù)勾股定理的逆定理得ZCBP=90°,再根據(jù)垂徑定理得到PB=P，B=4,接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3,然后在Rt△APP中利用勾股定理計算出P'A=.行，從而得到滿足條件的PA的長為3或.林.解答：解：連結(jié)CP,PB的延長線交。C于P',如圖，VCP=5,CB=3,PB=4,??CB2+PB2=CP2,??△CPB為直角三角形，ZCBP=90°,??CB±PB,??PB=P'B=4,VZC=90°,??PB//AC,而PB=AC=4,???四邊形ACBP為矩形，???PA=BC=3,在Rt△APP'中，?;PA=3,PP'=8,p[a= ='/73,???PA的長為3或；在.故答案為3或節(jié)i.點評：本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.也考查了垂徑定理和勾股定理.7.（2015?淄博第17題,4分）如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點，拋物線的解析式為尸%2-2%分析：連接AC,BC,有拋物線的解析式可求出A,B,C的坐標(biāo)，進而求出AO,BO,DO的長，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的長，進而可求出CD的長.解答：解：連接AC,BC,??拋物線的解析式為尸X2-2x-3,??點D的坐標(biāo)為（0,-3）,??OD的長為3,設(shè)尸0,則0=x2-2x-3,解得：x=-1或3,??A(-1,0),B(3,0)???AO=1,BO=3,,/AB為半圓的直徑，AZACB=90°,VCO±AB,ACO2=AO?BO=3,ACO='；'，ACD=CO+OD=3+不，故答案為：3+1且點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點問題、解一元二次方程、圓周角定理、射影定理，讀懂題目信息，理解“果圓”的定義是解題的關(guān)鍵.8.（2015?浙江省臺州市，第16題）如圖，正方形ABCD的邊長為1,中心為點O,有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個六邊形的邊長最大時，AE的最小值為一宗I7ZPFi【分析】當(dāng)正六邊形EFGEIJ的邊長最大時，要使.YE最小，以點:T(E與0重合)為圓心，對角線EH為半徑的圓應(yīng)與正方形軸CD相切，且點三在線段M上，如圖斯示，只需求出的值，就可解決問題.【解答1解：當(dāng)這個正六邊形的邊長最大時，作正方形軸CD的內(nèi)切圖當(dāng)正六邊形EFGEIJ的頂點:｛與。重合，且點三在線段。也上時，捻E最小，如圖所示.￡ DE C「正方形ABCD的邊長為L，QC?的半徑。E為L，ACi=liC=-X1-"正,則AE的最小值為坐故簪案為在22匚點評】本題是有關(guān)正多邊形與圓的問題，考查了正方形的內(nèi)切圓、圓外一點與圓上點的最短距離、勾股定理等知識，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵.三.解答題1.(2015?四川省內(nèi)江市，第27題，12分)如圖，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。O經(jīng)過點C,且圓的直徑AB在線段AE上.(1)試說明CE是。O的切線；(2)若^ACE中AE邊上的高為九試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB；(3)設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD,當(dāng)tCD+OD的最小值為6時，1^-1求。O的直徑AB的長.考點： 圓的綜合題；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值..專題：綜合題.分析：(1)連接0C如圖1,要證CE是。O的切線，只需證到/OCE=90°即可；(2)過點C作CH±AB于H，連接OC,如圖2,在Rt△OHC中運用三角函數(shù)即可解決問題；(3)作OF平分/AOC,交。O于F,連接AF、CF、OF,如圖3,易證四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對稱性可得DF=OO.過點D作DH±OC于H，易得DH=^OC,從而有CD+O+OD=DH+FD.根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點共線時，DH+FD(即三CD+OD)最小，然后在Rt△OHF中運用三角函數(shù)即可解決問題.C—■解答：解：(1)連接OC,如圖1,圖1??CA=CE,ZCAE=30°,??/E=ZCAE=30°,ZCOE=2ZA=60°,AZOCE=90°,??CE是。O的切線；(2)過點C作CH±AB于H，連接OC,如圖2,由題可得CH=h.在Rt△OHC中，CH=OC?sinZCOH,AhAh=OC?sin60,2h273.OC;hV334Vs??AB=2OCh；，（3）作OF平分NAOC,交。O于F,連接AF.CF、OF,如圖3,鄙貝UNAOF=NCOF=^NAOC=^(180°-60°)=60°.乙 L??OA=OF=OC,??△AOF、△COF是等邊三角形，??AF=AO=OC=FC,??四邊形AOCF是菱形，??根據(jù)對稱性可得DF=DO.過點D作DH±OC于H,??OA=OC,ANOCA=NOAC=30°,???DH=DC?sinNDCH=DC?sin30巖DC,C—■：ACD+OD=DH+FD.I^-I根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點共線時，DH+FD（即^CD+OD）最小，V3止匕時FH=OF?sinNFOH=--OF=6,則OF=4?，AB=2OF=8'/且A當(dāng)弓CD+OD的最小值為6時，。O的直徑AB的長為8/飛.C-j點評： 本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，把,CD+OD轉(zhuǎn)化為DH+FD是解決第（3）小題的關(guān)鍵.1^-1

2.(2015?四川省宜賓市，第23題，10分)(注意：在試題卷上作答無效)如圖，CE是。O的直徑，BD切。O于點D,DE〃BO,CE的延長線交BD于點A。(1)求證：直線BC是。O的切線；(2)若AE=2,tanZDEO=/2,求AO的長.工分析】(L)連接。D，由口得到21=/4，Z2=Zj,通過△口05芻△匚如，得到問題得證：(2)根據(jù)三角函數(shù)tan/DEC=tan/￡=JI，設(shè)；OC=r-K=巧r，得到BD=BC=Jir，由切割線定理得至此口=￡『；，再根據(jù)平行線分線段成比例得到比例式即可求得結(jié)果.1解答］解：（L）連接。。，■.'3E//B0，Z1=Z4,Z2=Z3-丫0口=。三，Zj=Z4?二21二2二，在△0四與△二0E中，OD=OC{/1=/2，OB=OBXADOB^ACOB，■,■20cm=2ODE，BD切。。于點D,■,■，■,■Z0CB=9D°，AC±BC-二直線sc是@c?的切線;(2)ZDE0=Z2,tanZDEO=tan/二二日，設(shè)5OC=r?EOgr，由門)證得△口口萬絲△CUB,,-BD=BC=^21，由切割線定理由:AD±=AH(2+e)，',A.D=2,J1—5/DE/BO，,AD一上IE"bd~oe9.2^_2一必；，"■r=Ls,■M=3.【在評1本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).切割線定理，平行線分線段成比例，室提定理是解題的關(guān)鍵.3.(2015?浙江省臺州市，第22題)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點E在對角線AC上，EC=BC=DC(1)若NCBD=39°,求NBAD的度數(shù)(2)求證：N1=N2【專題1計算題.1分析1（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BC=3得到/CEC=/CnE=3g。，再根據(jù)圓周角定理得/3AC=/CDE=3&0，ZCAD=ZCBD=3&0，所以5BAD=CAD="0；（2）根據(jù)等腰三錯形的性質(zhì)由EC=即得/CEE=』CBE，再利用三角形外用性質(zhì)得/CEE=，則/二-/3彩=2：1-/匚5二，加上/5處=/二BD，所以2L=/二.【解答1（1） ■,■BC=DC-,■ZCBD=ZCDB=39°，vZBAC=ZCDB=39°，ZCA3=ZCBD=39°，,■ZBAD=ZBAC+ZCAD=39°-39°=7￡°；（2）證明：???EC=BC，,■ZCEB=ZCBZ，而』CEB二2二-/EAE，ZCBE=Z1-ZCBD-,■Z2-ZBAE=Z1-ZCB2，/ZfiAE=Zt?B2，■.Z1=Z2.【點評1本題考查了圓周鬲定理：在同圖或等圓中，同弧或等強所對的圓周鬲相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了等腰三角形的性質(zhì).4.（2015?江蘇泰州，第24題10分）如圖，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF±AC于點F。（1）試說明DF是。O的切線；（2）若AC=3AE，求1311c【答案】（1）證明見解析；（2） .2【解析】試題分析：（1）連接OD，根據(jù)等邊對等角得出/B=/ODB,ZB=/C,得出/ODB=/C,證得OD〃AC,證得OD±DF,從而證得DF是。O的切線；（2）連接BE,AB是直徑，ZAEB=90°,根據(jù)勾股定理得出BE=2^AE,CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的試題解析：（1）證明：連接OD,?「OB=OD,AZB=ZODB,,?AB=AC,AZB=ZC,AZODB=ZC,AOD〃AC,???DF±AC,AOD±DF,ADF是。O的切線；(2)解：連接BE,,?AB是直徑，AZAEB=90°,,?AB=AC,AC=3AE,AAB=3AE,CE=4AE,ABE= -AE2=,2AE- BE2^j2AEa在Rt△BEC中，tanC== =.CE4AE2考點：切線的判定.（2015?山東東營,第21題8分）（本題滿分8分）已知在△ABC中，ZB=90。，以AB上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E.（1）求證：AC-AD=AB-AE；（2）如果BD是。O的切線，D是切點，E是OB的中點，當(dāng)BC=2時，求AC的長.【答案】（1）證明見解析；（2）AC=4.【解析】試題分析：門）連接DE,由題意可得/ADERO°,/ABCRO°,又是公共角，從而可得△仙Es△研C,由相似比即可得J（2）連接0E,由ED是切線，得0D1ED,有E為0E中點，則可得OE=EE=OD,從而可得/0ED=/EM=30°,所以AC=2BC=4j試題解析：（1）連接DE,.「AE是直徑，.../ADERO：,，/ADE=/ABC,在Rt2kADE和Rt2kABC中，4是4Z）AE公共角，.'.AADEcoAABC,——=——，即M?AD=AB-AEABAC⑵連接?,,「后□是圓。的切線，則OD1ED,在Rt&OED中，OE=EE=OD...0E=20D, Z0BD=30°,同理ZBAC=30。，在RtAABC中,AC=2BC=2X2=4.考點：1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.切線的性質(zhì)；4.30°的直角三角形的性質(zhì).（2015?山東聊城，第24題10分）如圖，已知AB是。O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切。O于點D，過點B作BE垂直于PD,交PD的延長線于點C,連接AD并延長，交BE于點E.（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2,cosB=匕求。O半徑的長.考點： 切線的性質(zhì)；解直角三角形..分析： （1）本題可連接0。，由PD切。O于點D,得到OD±PD,由于BE±PG得到0D〃BE，得出NADO=ZE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；（2）由（1）知，0D〃BE,得到/POD=NB，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.解答： （1）證明：連接OD,「PD切。O于點D,??OD±PD,??BE±PC,??OD//BE,??ADO=NE,??OA=OD,??/OAD=NADO,??/OAD=NE,??AB=BE；（2）解：有（1）知，OD/BE,AZPOD=NB,3AcosZPOD=cosB=,二,5在Rt△POD中，cosZPOD3=,???OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,2+uA5，AOA=3,???。O半徑=3.點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識點，正確的畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.7.（2015?山東臨沂，第23題9分）如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以O(shè)A為半徑的。O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD.（1）求證：AD平分NBAC；（2）若NBAC=60°,OA=2,求陰影部分的面積（結(jié)果保留=）.【答案】（2）【解析】試題分析：連接通，根據(jù)切線的性質(zhì)可知20%=跋",因此可證得隊40必然后根據(jù)平行的性質(zhì)和圓的半徑可證必是/CAB的平分線s⑵連接OE,ED,可證得△。妞是等邊三角形，然后根據(jù)圓周角定理可得/ADE=30’，由（1）的結(jié)論可知ZDAO-3O0,可證得ED”軸，再由同底等高可知X皿=之血然后把求陰高部分的面積轉(zhuǎn)化為求6商另8E得面機試題解析：（1）證明：連接OD.:BC是。O的切線，D為切點，

??.OD±BC.又?:AC±BC,：.OD〃AC,AZADO=ZCAD.又???OD=OA,AZADO=ZOADAZCAD=ZOAD,即AD平分ZBAC.(2)方法一：連接OE,ED.VZBAC=60°,OE=OA,???△OAE為等邊三角形，AZAOE=60°,AZADE=30°.XVZ<MD=|ZB4C=3(TAZADE=ZOAD,AED//AO,A陰影部分的面積=5『。“扇形ODEjc4=2360-3學(xué)大教育學(xué)大教育圖圖2學(xué)大教育學(xué)大教育方法二：同方法一，得ED#40?，四邊形的DE為平行四邊形，，近4=立啟=-2式招=4jL°又3—也廿當(dāng)梁一有=梟一"，陰影部分的面積=心三節(jié)由―Ah）十S二F二：在一J5十出=寧安.考點：圓的綜合（切線的性質(zhì)，角平分線，陰影部分面積，三角形的面積，扇形面積）（2015?四川廣安，第25題9分）如圖，PB為。O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C交。O于點A,連接PA、AO,并延長AO交。O于點E，與PB的延長線交于點D.（1）求證：PA是。O的切線；□C2（2）若巖等，且OC=4,求PA的長和tanD的值.H—'J1考點：切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形..分析： （1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA=PB，然后證明△PAO/△PBO,進而可得/PBO=ZPAO,然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得NPBO=90°,進而可得：ZPAO=90°,進而可證：PA是。O的切線；口「7（2）連接BE,由言若，且OC=4,可求AC,OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值；由AC=BC,AO=OE,可得OC是^ABEpr-|pn-的中位線，進而可得BE〃OP,BE=2OC=8,進而可證4DBE^ADPO,進而可得：而力,從而求出BD的值，進而即可求出tanD的值.解答： （1）證明：連接OB，則OA=OB,圖1??AC=BC,??OP是AB的垂直平分線，??PA=PB,在^PAO和^PBO中，"PA=PBIPO=PO,tOA=OB??△PAO0APBO(SSS)AZPBO=ZPAO,PB=PA,「PB為。O的切線，B為切點，AZPBO=90°,AZPAO=90°,即PA±OA,APA是。O的切線；(2)連接BE,

AC3,AC3,且OC=4,???AC=6,??AB=12,在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=AC2+UC2=2'/'，，.AE=2OA=41~13,OB=OA=21~13,在Rt△APO中，AC±OP,??AC2=OC?PC,解得：PC=9,??OP=PC+OC=13,在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=.(jp2-0A2=3'/13,，.PB=PA=3：13,AC=BC,OA=OE,，.OC=^BE,OC//BE,??BE=2OC=8,BE/OP,??△DBE^ADPO,.?圖理PDOP5明即3丁13+即13,解得：bd=24'_13,5在Rt△OBD中，OB 5tanD=BD=24/13=i2.5點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵.要證某線是圓的切線，對于切線的判定：已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.學(xué)大教育學(xué)大教育學(xué)大教育學(xué)大教育9. (2015?四川甘孜、阿壩，第20題10分)如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DE±AC,垂足為點E.(1)判斷DF與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)過點F作FH±BC,垂足為點H，若AB=4,求FH的長(結(jié)果保留根號).考點：切線的判定..分析：(1)連接OD,由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC,ZB=ZC=60°,證出△OBD是等邊三角形，得出NBOD=ZC,證出OD〃AC,得出DE±OD,即可得出結(jié)論；(2)先證明△OCF是等邊三角形，得出CF=OC=￡BC=^AB=2,再由三角函數(shù)即可求出FH.d-j i^-a解答： 解：(1)DE是。O的切線；理由如下：連接OD，如圖1所示：「△ABC是等邊三角形，??AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,「OB=OD,??△OBD是等邊三角形，AZBOD=60°,AZBOD=ZC,AOD〃AC,??DE±AC,ADE±OD,ADE是。O的切線；(2)連接OF,如圖2所示：??OC=OF,ZC=60°,??△OCF是等邊三角形，

?，.CF=OC=zBC=zAB=2,C-jAZFHC=90°,???FH=CF?sinZC=2x-y=；lj點評：本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵.10.(2015?山東濰坊第21題10分)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的。O交BC于點D,交AB于點E，過點D作DF±AB，垂足為F,連接DE.(1)求證：直線DF與。O相切;(2)若AE=7,BC=6,求AC的長.考點,

:八、、：考點,

:八、、：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)..分析:分析:(1)連接OD，利用AB=AC,OD=OC,證得OD〃AD，易證DF±OD，故DF為oO的切線;(2)證得△BEDs'BCA,求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可.解答： (1)證明：如圖，連接OD.,?AB=AC,AZB=ZC,??OD=OC,AZODC=ZC,AZODC=ZB,AOD〃AB,;DF±AB,AOD±DF,??點D在。O上，A直線DF與。O相切；(2)解：二?四邊形ACDE是。O的內(nèi)接四邊形，AZAED+ZACD=180°,VZAED+ZBED=180°,AZBED=ZACD,VZB=ZB,A'BEDs'BCA,?現(xiàn)期AB=BC,VOD〃AB,AO=CO,ABD=CD=BcC=3,XVAE=7,.「工一理7+dE5,

???BE=2,???AC=AB=AE+BE=7+2=9.點評：此題考查切線的判定三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線點評：此題考查切線的判定三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點(即為半徑)，再證垂直即可.11.(2015過圓上某點，連接圓心和這點(即為半徑)，再證垂直即可.11.(2015?廣東梅州，第22題，9分)如圖，直線l經(jīng)過點A(4,0),B(0,3).(1)求直線l的函數(shù)表達(dá)式;(2(2)若圓M的半徑為2,圓心M在y軸上當(dāng)圓M與直線l相切時，求點M的坐標(biāo).考點：切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式..分析：(1)把點A(4,0),B(0,3)代入直線l的解析式尸kx+b，即可求出結(jié)果.(2)先畫出示意圖，在Rt△ABM中求出sinZBAM,然后在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM,繼而可得點M的坐標(biāo).解答：解：(1)???直線l經(jīng)過點A(4,0),B(0,3),???設(shè)直線l的解析式為：產(chǎn)kx+b,J。=4k+b“I3=b.1 4.,b=3?.?直線l的解析式為：y=_jx+3；(2)二?直線l經(jīng)過點A(4,0),B(0,3),???OA=4,OB=3,???AB=5,①如圖所示，此時。M與此直線l相切，切點為C,連接MC,則MC±AB,AC…… ,f-OB3在Rt△ABM中，sinZBAM=—r=z,Ad5

在Rt△AMC中，???sinZMAC=,AM24K笥A,,AM=sinZMAC= =4，b???點M的坐標(biāo)為（0,0）.②此時。M與此直線l相切，切點為C',連接MC,則MC'±AB,AZM'CB=ZMCB=90°,在^M'CB與^CMB中，2pBMy=/CBM{/獷C'B=ZMCB,，獷C'=MCABM=BM=3,???點M的坐標(biāo)為（0,6）.綜上可得：當(dāng)。M與此直線l相切時點M的坐標(biāo)是（0,0）,（0,6）.Ecm,現(xiàn)在FCEcm,現(xiàn)在FC(1)當(dāng)B與O重合的時候，求三角板運動的時間;點評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般.(2015?深圳，第22題分)如圖1,水平放置一個三角板和一個量角器，三角板M邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB=BC=6cm,OD=3cm,開始的時候三角板以2cmIs的速度向右移動。(2)如圖2,當(dāng)AC與半圓相切時，求AD；(3)如圖3,當(dāng)AB和DE重合時，求證：CF2=CG?CE。【解析】【解析】（解析］⑴柑）-4cm,t=1=2s,賽玷白宜用卜則加尺&=44r二金口=揚卅=1五0AD：』。-兇="-忖.（3）連賽-FOi）=OF,.Z（MW^ZOFD為白13.-...￡WJf+ZZW*=90工比t=士小卜十一￡小卜=川,=LOtH=一削t）=At'FG￡￡Hl一上"『.：.mi任或而后（T-=Y7CG(2015?南寧，第25題10分)如圖14,AB是。O的直徑，C、G是。O上兩點，且AC=CG,過點C的直線CD±BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC,交OD于點F.圖14(1)求證：CD是。O的切線.(2)若ODD=：,求/E的度數(shù).(3)連接AD，在(2)的條件下，若CD=V3，求AD的長.考點：圓的綜合題..分析：(1)如圖1,連接OCAC,CG,由圓周角定理得到/ABC=ZCBG,根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到/OCB=NOBC,等量代換得到NOCB=NCBG,根據(jù)平行線的判定得到OC〃BG,即可得到結(jié)論；(2)由OC//B。，得到△OCF-△BDF,△EOC-△EBD，得到? 一 俞不，DUUr3DUDED根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(3)如圖2,過A作AH±DE于H,解直角三角形得到BD=3,DE=3巧，BE=6,在Rt△DAH中，AD=/AH2+DH2=-,12+中衛(wèi))2=.13.解答：(1)證明：如圖1,連接OC,AC,CG,VAC=CG,，AC二CG,??/ABC=NCBG,OC=OB,??/OCB=NOBC,??/OCB=NCBG,??OC/BG,CD±BG,?.OC±CD,??CD是。O的切線；(2)解：VOC/BD,??△OCF^ABDF,△EOC^AEBD,,3±BDDF3,.理。心?即BE丐OA=OB,??AE=OA=OB,?.OC=^OE,VNECO=90°,AZE=30°；

(3)解：如圖2,過A作AH±DE于H,VZE=30°AZEBD=60°,.??ZCBD=1/EBD=30°,1^-1VCD='/年，ABD=3,DE=3不，BE=6,AAE=|BE=2,AAH=1,AEH='；1,ADH=2：W在Rt△DAH中，AD=AH2+DH2='112+(2與)2=.13-點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.14.(2015?甘肅武威，第21題6分)如圖，已知在△ABC中，ZA=90°(1)請用圓規(guī)和直尺作出。P，使圓心P在AC邊上，且與AB,BC兩邊都相切(保留作圖痕跡，不寫作法和證明).(2)若ZB=60°,AB=3,求。P的面積.考點： 作圖一復(fù)雜作圖；切線的性質(zhì).分析： (1)作NABC的平分線交AC于P，再以P為圓心PA為半徑即可作出。P；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ABP=30°,根據(jù)三角函數(shù)可得AP=..互，再根據(jù)圓的面積公式即可求解.解答：解：(1)如圖所示，則。P為所求作的圓.VZB=60°,BP平分/ABC,???/ABP=30°,VtanZABP=r,AB/.AP=.:3,二S?P=3n-點評： 本題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等.同時考查了圓的面積.15.(2015?甘肅武威，第27題8分)已知^ABC內(nèi)接于。0,過點A作直線EF.(1)如圖①所示，若AB為?0的直徑，要使EF成為?0的切線，還需要添加的一個條件是(至少說出兩種)：ZBAE=90°或者/EAC=ZAB^.(2)如圖②所示，如果AB是不過圓心0的弦，且ZCAE=ZB,那么EF是?0的切線嗎？試證明你的判斷.圖①圖②考點： 切線的判定.分析：(1)求出ZBAE=90°,再根據(jù)切線的判定定理推出即可;(2)作直徑AM，連接CM,根據(jù)圓周角定理求出ZM=ZB,ZACM=90°,求出

ZMAC+ZCAE=90°,再根據(jù)切線的判定推出即可.解答：解：（1）①ZBAE=90°,②ZEAC=ZABC,理由是：①?//BAE=90°,??AE±AB,/AB是直徑，??EF是。O的切線；②.「AB是直徑，AZACB=90°,AZABC+ZBAC=90°,「ZEAC=ZABC,AZBAE=ZBAC+ZEAC=ZBAC+ZABC=90°,即AE±AB,*/AB是直徑，(2)EF是。O的切線.A(2)EF是。O的切線.EC證明：作直徑AM,連接CM,則ZACM=90°,ZM=ZB,AZM+ZCAM=ZB+ZCAM=90°,「ZCAE=ZB,AZCAM-+ZCAE=90°,AAE±AM,*/AM為直徑，AEF是。O的切線.點評： 本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線.（206貴州六盤水，第24題12分）如圖12,在Rt△ACB中，/ACB=90°,點O是AC邊上的一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點。，連接OD.（6分）△ADO必ACB.（6分）若。O的半徑為1,求證：AC=AD?BC考點：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)..分析：（1）由AB是。O的切線，得到OD±AB，于是得到/C=ZADO=90°,問題可證;由^ADOs^ACB列比例式即可得到結(jié)論.解答：（1）證明：?「AB是。O的切線，???OD±AB,AZC=ZADO=90°,VZA=ZA,???△ADOs△ACB；（2）解：由（1）知：△ADOs△ACB.?螞逆ACBC'AAD?BC=AC?OD,VOD=1,AAC=AD?BC.點評：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵.17.（2015?黑龍江綏化，第24題分）如圖，以線段AB為直徑作。O,CD與。O相切于點E，交AB的延長線于點D,連接BE，過點O作OC//BE交切線DE于點C,連接AC.

(1)求證：AC是。O(1)求證：AC是。O的切線；(2)若BD=OB=4，求弦AE的長。專題：計算題.分析：(1)連接OE，根據(jù)CD與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，再由OC與BE平行，得到同位角相等與內(nèi)錯角相等，根據(jù)OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到夾角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用^AS得到三角形AOC與三角形EOC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到NOAC=/OEC=90°,即可得證；(2)根據(jù)題意得到EB為直角三角形斜邊上的中線，求出EB的長，再由OE=OB=EB得至1」三角形OEB為等邊三角形，求出NABE=60°,根據(jù)AB為圓O直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到三角形AEB為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長即可.解答：(1)證明：連接OE,:CD與圓O相切，?.OE±CD,.??NCEO=90°,??BE//OC,.NAOC=NOBE,NCOE=NOEB,??OB=OE,.NOBE=NOEB,.NAOC=NCOE,在^AOC和^EOC中，'OA=OE,ZAOC=ZCOE,QCOC.△AOC必EOC(SAS),.NCAO=NCEO=90°,則AC與圓O相切;

(2)在Rt△DEO中，BD=OB,，.BE=^OD=OB=4,??OB=OE,:.△BOE為等邊三角形，AZABE=60°,/AB為圓O的直徑，AZAEB=90°,AAE=BE?tan60°=4/3.點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.（2015-北京市，第24題，5分）如圖，AB是口O的直徑，過點B作口O的切線BM，弦CD//BM,交AB于點孔且DA=DC，鏈接AC,AD，延長AD交BM地點E。⑴求證：AACD是等邊三角形。⑵鏈接OE，若DE=2，求OE的長。【考點】圓的性質(zhì)【難度】中等【答案】A.i5±5.VJ/SMCD14落上口?！鲆?9-CD-JC二一.WCD土號江三W號.工：：：：一.WCD±理二三盤與「.￡5—8:,zni5?^存￡加一*.即一0遼D= =壽；D￡=2上5E".SD=2J5.15=30.玷三壬二05￡二0￡=3—亍=^f2<6=#【點評】本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題.(2015?安徽省，第20題，10分)在。O中，直徑AB=6,BC是弦，ZABC=30°,點P在BC上,點Q在。O上，且OP±PQ.第20題圖1 第20題圖2(1)如圖1,當(dāng)PQ〃AB時，求PQ的長度；⑵如圖2,當(dāng)點P在BC上移動時，求PQ長的最大值.考點：圓周角定理；勾股定理；解直角三角形..專題：計算題.分析：(1)連結(jié)OQ,如圖1,由PQ〃AB,OP±PQ得到OP±AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計算出OP=3tan30°=巧，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計算出PQ=.衛(wèi);(2)連結(jié)OQ,如圖2,在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ= ，則當(dāng)OP的長1 ?最小時，PQ的長最大，根據(jù)垂線段最短得到OP±BC,則OP奇OB與，所以PQ長的最大C.■ C—■解答:解：(1)連結(jié)0。，如圖1,??PQ//AB,0P±PQ,??0P±AB,……q..fOP在Rt△0BP中，.tanNB=tt,Ud??0P=3tan30°=;'W在Rt△0PQ中，.0P=.飛,0Q=3,PQ=\;皿2-Op2=.6;(2)連結(jié)0Q,如圖2,在Rt△0PQ中，PQ=".；0Q2-0P2=；;9-OP2,當(dāng)0P的長最小時，PQ的長最大,1 ?止匕時0P±BC,貝U0P,0B=7，i￡-i 乙條弧所對的圓心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.（2015湖北鄂州第22題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是NBAC的平分線，NABC的平分線BM交AE于點M,點0在AB上，以點0為圓心，0B的長為半徑的圓經(jīng)過點M,交BC于點G,交AB于點F.（3分）求證：AE為。0的切線.（3分）當(dāng)BC=8,AC=12時，求。0的半徑.（3分）在（2）的條件下，求線段BG的長.

【解析】試題分析：(1)連接5,可得根據(jù)/0皿+/日皿=/怔￡+/6岫=9。"即可證明‘⑵由A啦Ms△軸邑根據(jù)相似三角形對度邊成比例即可求解.(3)過點口作OH_LEG于點也則BG=2EH.易知匹邊形OMEH是矩形,故可求BH的長.!JllJZOMB=ZOBM=ZMBEV.'AB=AC,AE是角平分線,J,ae_Lec,Z0MB+ZBME=ZMBE+ZBME=90°， ZM0=90°，AE與⑷。相切.（2）設(shè)00的羋徑為R'.'OMZ/BE/.AOMA1^1ABEA.OM_AO''^E~14S加艮12-A即一= 4 12解得R=3，⑷。的半徑為3（3）過點0作0H1BG于點旦則BG=2BHZOME=ZMEH=ZEHO=90°，四邊形OMEH是矩形.■.HE=0M=3,-.BG=2BH=2考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.切線的判定.（2015?甘肅蘭州，第27題，10分）如圖，在RtkABC中，ZC=90°,ZBAC的平分線AD交BC邊于點D。以AB上一點O為圓心作。O,使。O經(jīng)過點A和點D。（1）判斷直線BC與。O的位置關(guān)系，并說明理由；TOC\o"1-5"\h\z（2）若AC=3,ZB=30°, 、、①求。o的半徑； \②設(shè)。O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD,BE與劣弧性所 弋圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和兀）。 第27題圖【考點解剖】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，扇形面積計算【知識準(zhǔn)備】過直徑的端點，且與直徑垂直的直線是圓的切線【思路點拔】（1）我們當(dāng)然很容易就猜想到BC是。O的切線，為此，只要連結(jié)OD,證明OD±BC即可;（2）只要求出^OBD的面積和扇形ODE的面積，那么兩者之差便為陰影部分的面積第27題解答圖【解答過程】（1）連結(jié)OD,?:OA=OD,，Z2=Z3第27題解答圖,?AD平分/BAC,AZ1=Z2,而N2=N3,AZ1=Z3,?.OD//AC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），??/ODB=NC=90°（兩直線平行，同位角相等）即OD±BC,??BC是。O的切線（過直徑的一個端點，且與直徑垂直的直線是圓的切線）；（2）①過點O作AC的垂線段OH，則OH/BC,ZAOH=/B=30°,1Rt△AOH中，AH=AO-sinZAOH=AO-sin30°=2AO,矩形CDOH中，CH=OD,而OD=OA,1VAC=AH+CH，即3=-AO+AO,AO=2,即。O的半徑為2；②Rt△OBD中，ZBOD=90°—ZB=60°，則BD=DO-tan60°=2<3,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 - 60 2S=-BD-DO=—義2V3義2=2v3,S=兀-OD2.一二2兀,\o"CurrentDocument"gOD2 2 扇形ode 3603.?.s=S-S=2V3-2兀。陰影 NBOD 扇形ODE 3【題目星級】★★★★【解題策略】涉及到非常規(guī)圖形的面積問題時，我們通常采用的是割補的方法，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形的面積問題來解決（2015遼寧大連，23,10分）如圖，AB是圓O的直徑，點C、D在圓O上，且AD平分ZCAB.過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E，與AB的延長線相交于點F.求證：EF與圓O相切；若AB=6,AD=4a/2，求EF的長。

（第23題）【答案】【解析】解：（1）證明：聯(lián)接OD如圖，因為OA=OD，所以NOAD=/ODA又因為AD平分/5AC,所以/OAD=NCAD所以/ODA=NCAD。所以O(shè)D〃AE，又因為EF垂直于AE,所以O(shè)D垂直于EF,所以EF與圓O相切；（第23（第23題答圖1）=2,所以CD=2.（2）如圖聯(lián)接OD、CD、BD、BC,則CD=BD，因為AB是直徑，所以NACB=N=2,所以CD=2.又因為AB=6,AD=4<2，所以BD=、.AB2一AD2=(,62-因為NACB=NE，所以BC〃EF.因為AD平分NCAB,所以NOAD=NCAD，又因為NADB=NE,所以△ADE^AABD所以de所以de二殍ADDE在Rt△在Rt△CDE中，CE=yCD2—DE2=4y,223< 7二—所以DG=—.OG=3——=—.3 3 33在Rt在Rt△OGB中，GB='OB2—OG2=4、:’2

"I"因為NACB=NE,因為NACB=NE,所以BC〃EF,所以△OGB^AODF,OGGBODDF7 4<2所以3二丁，所以3DF12<2DF=——-（2015山東菏澤，18,8分）如圖，在△ABC中，BA=BC,以AB為直徑的。O分別交AC>BC于點D、E，BC的延長線于。O的切線AF交于點F.（1）求證：ZABC=2ZCAF；(2)若AC=2而，CE：EB=1：4,求CE的長.【答案】（1）證明見試題解析；（2）2.【解析】試題分析：首先連接54由上5為直徑，可得一WD占又由/F是⑷口的切線f易證得/匚#=ZABD.然后由5G證得；ZASC=2ZCAF,（2）首先連接上工設(shè)匚Wr,由勾股定理可得方程：［2畫）：=/十（3》1求得答案.試題解折】（建如圖，連接5口.：.」3為電口的直徑，，/一口光式產(chǎn).，，2D4+乙步二式產(chǎn)，7工廠是。門的切姓…己3二支尸，即/2』3+/匚4期。，：.ZCAF=Z.4BD,'."BA=BC, ，工乙嶗C二2乙』即，，乙!3"/匚，（2）如圖，連接AE,Z.ZAEB=90°,設(shè)CE=x,*/CE：EB=1：4,，EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,在Rt△ACE中，,即（2^^=/ ，:.%=2.:.CE=2.產(chǎn)AA考點：1.切線的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì).（2015?四川涼山州,第23題8分）在甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字-1,-2,0；現(xiàn)從甲袋中隨機抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x,再從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y,確定點M坐標(biāo)為（x,y）.（1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標(biāo)；（2）求點M（x,y）在函數(shù)，=一*14的圖象上的概率；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。O的半徑是2,求過點M（x,y）能作。O的切線的概率.【答案】（1）答案見試題解析；（2）-；（3）-.【解析】試題分析：(1)用樹狀圖法展示所有g(shù)種等可能的結(jié)果數(shù)m匕)根據(jù)一i■欠函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，從g個點中找出滿足條件的點，然后根據(jù)概率公式計算；(打利用點與圓的位置關(guān)系找出圓上的點和圓外的點，由于過這些點可作⑷口的切線，則可計菖出過點》03能作⑷口的切線的概率.試題解析：m,畫樹狀圖：o1 ?共有g(shù)種等可能的結(jié)果數(shù)，它們是:(口，-1)，(［，-2),(U,3),(1,-1),(1,-2),(b(D,(3-1),㈡-2),(3辦㈡)在直線j=-工+1的圖冢上的點有：「3g㈡-1),所以點㈠在函數(shù)j二t十1的圖象上的概率=W9(3)在。O上的點有(0,-2),(2,0),在。O外的點有(1,-2),(2,-1),(2,-2),所以過點M(x,y)能作。O的切線的點有5個，所以過點M(x,y)能作。O的切線的概考點：1.列表法與樹狀圖法；2.一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；3.切線的性質(zhì).25.(2015?四川樂山，第25題12分)已知Rt△ABC中，AB是。O的弦，斜邊AC交。O于點。，且AD=DC,延長CB交。O于點E.(1)圖1的A、B、C、D、E五個點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的長？請說明理由；(2)如圖2,過點E作。O的切線，交AC的延長線于點F.①若CF=CD時，求sinZCAB的值；②若CF=aCD(a>0)時，試猜想sinZCAB的值.(用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果)【答案】(1)AE=CE；(2)①且；②恒23 a+2【解析】試題分析：(1)連接.正、環(huán)如圖L根據(jù)圓周角定理可得品/結(jié)必加。，由于工ADG根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CEy(2)連接工7ED?如圖，由乙西期加"可得.二是02的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得/工方=期L從而可證到雷，然后運用相似三角形的性質(zhì)可得,小刀工力且已①當(dāng)*6時，可得AE2=3CD2,從而有EC=AE=^3CD?在RtADEC中運用三角函數(shù)可得sm^CED=—=^-,根據(jù)圓EC3周角定理可得即可求出m/小3的值三②當(dāng)仃XS.Q>0)時，同①即可解決問題.試題解析：(1)AE=CE.理由：連接上MDE,如圖1,7乙.—E甑，乙山E=4EE=**,\'AD=DC,：.AE=CEi《辦連接且用期如圖,「乙1酩二期口…：生是日。的直徑，;即是。。口的切線…:/金泊90。，ARAJ) ,，乙i0歐乙2EF=M0,又:"EE=二.逐，：./\ADE<^l\AEF,：.--=--,：.AE2=AD'AF.AFAE①當(dāng)CF=CD時，且ADC=CF,且F=3DC,.'.AE1=r>C^DC=3DC1f：.AE=^3DCf,：EC=ASf:￡C=出口C,出一金>變二等二旦EC?)C31 ，2②當(dāng)CF=aCD(a>0)時，sin/CAB=——a4-2VCF=aCD,AD=DC,；.AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,^AE3=DC?(a+2)DC=(a+2) ,

，AE= DC, ???EC=AE ,.. .ZJC_GC J口.2...sinNCAB=sinNCED=0c== =__= .，EC= Jo+2DC考點：1.圓的綜合題；2.探究型；，EC= Jo+2DC考點：1.圓的綜合題；2.探究型；3.存在型.26.（2015?四川涼山州涕27題8分）如圖，。O的半徑為5,點P在。O外，PB交。O于A、B兩點，PC交。O于D、C兩點.（1）求證：PA?PB=PD?PC；45 19（2）若PA=—,AB=,PD=DC+2,求點O到PC的距離.4 4【答案】（1）證明見試題解析；（2）3.【解析】試題分析：（1）先莊接上4BC,由局內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知故可得出色3口sAm匚3再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論,（2）由白?.%二?口■尸匕求出C4根據(jù)垂徑定理可得點0到F廠的距離.試題解析：《11連接二。，5G：四邊形上3次內(nèi)接于⑷0,^PBA=ZPBC,，△旦口PAPDs△尸匚R ——=——，：.R4-PS=PC-PD,PCPB連接OD,作OE±DC,連接OD,作OE±DC,垂足為京：m4519一，二扉一，PEi=DC+l,.,.PB=l6,PC=lDC+lf'：R^?B=PD'PC,4;A—X16=(DC+2)(2DC+1),解得：DOS或口C=-11(舍去)，，口E=4, 即點04考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.圓周角定理.27.（2015?四川瀘州，第24題12分）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.圓周角定理.27.（2015?四川瀘州，第24題12分）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,BD為。O的弦，且AB//CD，過點A作。O的切線AE與DC的延長線交于點E,AD與BC交于點F。（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形;(2)若AE=6,CD=5,求OF的長?？键c：切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定..分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)證明NEAC=NABC,根據(jù)等代得到NEAC=/ACB,從而根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行的AB//CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形;的性質(zhì)和等量DljAE/BC,結(jié)合已知（2）作輔助線，連接AO,交BC于點H,雙向延長OF分別交AB,CD于點N,M，根據(jù)切割線定理求得EC=4,證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據(jù)對稱性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用證明△OFHs^DMFs^BFN,并由勾股定理列式求解即可.解答：（1）證明：*/AE與。O相切于點A,???/EAC=NABC,,?AB=AC,.??NABC=NACB,.??/EAC=NACB,?'.AE/BC,:AB〃CD，，四邊形ABCE是平行四邊形;(2)解：如圖，連接40,交BC于點H，雙向延長OF分別交AB,CD與點N,M,*/AE是。0的切線，由切割線定理得，A