第三章量子力學中的力學量下

第三章量子力學中的力學量下第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第4(5)節(jié)

厄米算符本征函數的正交性根據前面2個定理，我們總可適當選擇厄米算符的本征函數，使它們滿足正交歸一性！例如動量算符本征函數角動量算符本征函數一維線性諧振子氫原子波函數波函數波函數波函數波函數一維無限深勢阱第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系前面提到，當系統(tǒng)處于力學量算符(厄米算符)的本征態(tài)時，力學量有確定值，這個值就是力學量算符在該本征態(tài)中的本征值。例如處于哈密頓算符本征態(tài)時的能量，動量算符本征態(tài)時的動量，角動量算符本征態(tài)時的角動量，等等?，F在推廣這個假定。先引入概念：完全系（完全性、完備集）則稱該函數集構成完全系或完備集，滿足展開系數稱為幾率幅。注意展開系數滿足若厄米算符的正交歸一本征函數集第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系測量F的結果是其本征值，一般不確定是那個本征值。量子力學基本假定：力學量F對應厄米算符,算符的本征函數構成量F的結果必定是對應算符的本征值，測量到本征值的幾率是。展開系數稱為幾率幅。如果測量F的結果為，波函數塌縮為。完全系。當系統(tǒng)由歸一化波函數描述時，測量力學平均值公式未歸一化波函數平均值公式歸一化波函數（分立譜）（連續(xù)譜）按照幾率求平均值的法則，可以求得力學量F在態(tài)中的平均值。第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例題氫原子處于基態(tài)，求電子動量的幾率分布。幾率密度幾率分布電子動量在范圍的幾率氫原子基態(tài)動量的本征態(tài)例題(定理)任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實數。例題任何狀態(tài)下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系例題(p1013.6題)設t=0時，粒子處于狀態(tài)求此時粒子的平均動量和平均動能(1)按動能算符的本征函數展開(2)按動量算符的本征函數展開平均動能平均動量平均動能按(1)：按(2)

：第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系例題(p1013.7題)一維運動粒子的狀態(tài)是歸一化常數A=?若粒子的能量為E,求系統(tǒng)的勢能。動量的幾率分布函數平均動量動量的幾率分布函數平均動量實際上，平均動量一看就知道為零。積分是實數！1)2)3)4)第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系平均能量實際上，平均能量可以非常方便地計算出例題(p1013.8題)一維無限深勢阱（阱寬為a）中運動，若粒子的狀態(tài)波函數是求粒子能量的幾率分布和能量平均值。能量本征函數和能量本征值是能量的幾率分布(阱內)第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例題一維無限深勢阱（）中的粒子處于狀態(tài)求(1)粒子處于內的概率;(2)求此時測粒子能量得到的可能值、相應的概率及能量的平均值。解：(1)首先對波函數歸一化得所以此系統(tǒng)得歸一化波函數為：是定態(tài)波函數所以，粒子處在的概率：

其中因為：(2)能量的平均值為：概率為：概率為：能量的可能值為：第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例題設一維無限深勢阱中運動粒子的波函數為(0<x<a)，求在此任意態(tài)下，粒子能量的可能測量值和相應的幾率。可以把分解如下

解：一個算符F在態(tài)中可能的測量值，即為將用F的本征態(tài)展開時，各本征態(tài)相應的本征值。相應的概率即為展開式中本征態(tài)前面的系數的模的平方。第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，為無限深勢阱中粒子能量的本征函數。因此，

是和兩態(tài)的疊加，能量的可能測量值為或測量值為和的幾率各為。第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系例題(p1023.9題)若氫原子處于狀態(tài)求原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，相應幾率和這些量的平均值是能量、角動量平方及角動量z分量算符的共同本征函數氫原子定態(tài)波函數角動量z分量角動量平方能量可能值幾率平均值第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例題設氫原子處于的狀態(tài)上，求其能量、角動量平方及角動量z分量的可能取值與相應的取值概率，進而求出它們的平均值。其中量子數的取值范圍是利用歸一化條件求出歸一化常數為氫原子的能量只與主量子數n有關，依題意可知，n的可能取值有兩個，即n=2，3，于是解選為描述體系的力學量完全集，氫原子的本征解為第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月角動量量子數的可能取值只有一個，即故有角動量磁量子數的可能取值有兩個，即于是第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系2個有用的定理H-F定理

系統(tǒng)處于束縛定態(tài)，則維里定理

系統(tǒng)處于束縛定態(tài)，若勢能是α次齊次函數則由前面的定理第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系由維里定理得

例題一維諧振子處于能量本征態(tài)1)求勢能的平均值。2)求動能的平均值。3)求動量幾率分布。例題

p100的3.2題氫原子處于基態(tài)1)求r的平均值。2)求勢能的平均值。3）最可幾半徑(前面已講，略)。4)求動能的平均值。5)求動量幾率分布(前面已講，略)。動量幾率分布。該題當n=0時就是p100的3.1題由維里定理得

其中第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第6(7)節(jié)算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系兩個算符乘積一般與次序有關

定義對易式坐標算符與動量算符的對易式

基本對易關系同理得到坐標算符與動量算符的其它對易關系。

其它(有經典對應的)物理量的對易關系可從基本對易關系導出。例如角動量算符的對易式

對易式的公式作業(yè)第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月對易：

一、兩力學量算符對易不對易：

定理

兩個力學量算符有共同的構成完全系的本征函數集第6(7)節(jié)算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系證明：必要條件證明：充分條件若則則若且和（i）如果非簡并，則（ii）如果度簡并，則維子空間一定存在個正交歸一函數滿足注意證畢！用取代第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系定理

兩個力學量算符有共同的構成完全系的本征函數集若系統(tǒng)處于兩個力學量算符的共同本征函數描述的狀態(tài)則這兩個力學量同時有確定值。二、兩力學量同時有確定值的條件例如，也就是說，即使兩個算符不對易,也不排除它們存在個別的共同本征函數,在這樣的函數描述的狀態(tài)下,兩個力學量同時有確定值。氫原子的基態(tài)就屬于這種情況。注意：即使兩個算符對易,但若體系所處的狀態(tài)不是它們的共同本征函數，則它們都沒有確定值。推廣：(兩個以上的算符)

一組力學量同時具有確定值的充分必要條件是在這些力學量算符的共同本征態(tài)中。兩個力學量不對易沒有共同構成完全系的本征函數集。但它們可能有共同本征函數！第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：例2：定理：一組力學量算符具有完備的共同本征函數系的充要條件是這組算符兩兩對易。第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月力學量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學 量算符的最?。〝的浚┘戏Q為力學量完全集。例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學量：例3：一維諧振子，只需要一個力學量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學量完全集中力學量的數目一般與體系自由度數相同。（3）由力學量完全集合所確定的本征函數系，構成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系三、測不準關系（不確定關系）——不對易情況若2個厄米算符F,G滿足對易關系定義2個新厄米算符定理

兩個力學量算符滿足對易關系厄米算符：是實數。引入非負積分證明：則它們滿足測不準關系或幾個新物理量的定義：第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系定理

兩個力學量算符滿足對易關系則它們滿足測不準關系習題：證明—力學量算符滿足是該算符的本征態(tài)。是厄米算符！Heisenburg(也稱為基本)測不準關系：位置與（相應的）動量不能夠同時準確決定動能與勢能不能同時準確決定總能量=動能+勢能不再成立。應該是這也解釋了勢壘現象中似乎動能為負值的疑問。例題：或第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系注意線性諧振子束縛態(tài)必定有確定宇稱例題：

Heisenburg測不準關系可以說明線性諧振子零點能的存在。所以Heisenburg測不準關系第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第7(8)節(jié)

力學量平均值隨時間的演化守恒定律力學量平均值其中歸一化波函數滿足(含時)薛定諤方程則如果力學量算符不顯含時間，若力學量算符不顯含時間守恒量又滿足則第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第7(8)節(jié)

力學量平均值隨時間的演化守恒定律(3)轉動不變角動量守恒(1)時間平移不變能量守恒(2)空間平移不變動量守恒(4)空間反演不變宇稱守恒時間平移不變空間平移不變系統(tǒng)轉動不變是守恒量是守恒量第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第3節(jié)

氫原子——習題習題書中第三章3.1—3.9題前面都已講過！習題3.10題—球形腔中的運動，勢能為