第三章離散傅立葉變換

第三章離散傅立葉變換第1頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．１離散傅立葉變換的幾種可能形式傅立葉變換就是以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜”函數(shù)之間的一種變換關(guān)系，當(dāng)自變量“時間”和“頻率“取連續(xù)值或離散值時，就形成不同的形式的傅立葉變換對。第2頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．１．１非周期的連續(xù)時間、連續(xù)頻率——傅立葉變換非周期連續(xù)時間信號x(t)和它的頻譜密度函數(shù)X(jΩ)構(gòu)成的傅立葉變換對為正變換反變換

以連續(xù)時間矩形脈沖為例：x(t)t(a)非周期連續(xù)時間函數(shù)

x(t)X(jΩ)Ω(b)非周期連續(xù)頻譜X(jΩ)第3頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．１．２周期的連續(xù)時間、離散頻率——傅立葉級數(shù)周期為T0的連續(xù)時間信號x(t)的傅立葉級數(shù)展開的系數(shù)為X(jkΩ0)，構(gòu)成的傅立葉變換對為：正變換反變換X(jkΩ0)是以角頻率Ω0為間隔的離散函數(shù)，形成頻域的離散頻譜，Ω0與時間信號的周期之間的關(guān)系為。傅立葉級數(shù)展開將連續(xù)時間周期函數(shù)分解為無窮多個角頻率為Ω0整數(shù)倍的諧波，k為各次諧波序號。T0-T0x(t)(a)周期連續(xù)時間函數(shù)x(t)Ω0X(jkΩ0)(b)非周期離散時間函數(shù)X(jkΩ0)圖3.2周期連續(xù)時間函數(shù)及其傅立葉變換第4頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．１．３非周期的離散時間、連續(xù)頻率——序列的傅立葉變換非周期離散時間信號的傅立葉變換就是序列的傅立葉變換，其變換對為正變換反變換式中ω是數(shù)字頻率。如果序列x(n)是模擬信號x(t)經(jīng)過抽樣得到，抽樣時間間隔為Ts，抽樣頻率為fS，抽樣角頻率為ΩS=2π/Ts，由于數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為ω=ΩT，因此抽樣數(shù)字頻率ωS=ΩSTS，則上面的變換對也可寫成:正變換反變換第5頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月仍以連續(xù)時間矩形脈沖為例:結(jié)果表明，時域的離散造成頻域的周期延拓，而時域的非周期性對應(yīng)與頻域的連續(xù)性。tTSx(nT)(a)離散時間序列X(ejΩT)ΩΩS-ΩS0(b)序列的頻譜圖離散時間序列及其傅立葉變換第6頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．１．４離散時間、離散頻率——離散傅立葉變換假如序列x(n)是模擬信號x(t)經(jīng)過抽樣得到，抽樣時間間隔為Ts，則頻率函數(shù)的周期為ΩS=2π/Ts；如果頻率函數(shù)也是離散的，其抽樣間隔為Ω0，則時間函數(shù)的周期為Ω０=2π/T０。當(dāng)時間函數(shù)序列一個周期內(nèi)的抽樣點數(shù)為N時，有

上式表明在頻域中頻譜函數(shù)的一個周期內(nèi)的抽樣點數(shù)也為N，即離散傅立葉變換的時間序列和頻率序列的周期都是N，可以得到表示于一個周期內(nèi)的常用的離散傅立葉變換對為正變換反變換第7頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)周期離散時間序列tx(n)TST02T0-T0-2T00Ω0ΩS-ΩSΩX(k)(b)周期離散時間序列的頻譜圖周期離散時間序列及其傅立葉變換第8頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．２周期序列的離散傅立葉級（DFS）３．２．１周期序列一個周期為N的周期序列，對于所有n滿足式中N為正整數(shù)。定義n=0到N-1的周期區(qū)間為的主值區(qū)間，而主值區(qū)間內(nèi)的N個樣本值組成的有限長序列稱為的主值序列，即這一過程稱為取主值序列。第9頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月對于一個有限長序列如將其以N為周期進行周期性延拓，則可得由于周期序列不是絕對可和的，無論z取任何值，其z變換都是不收斂的，即因此周期序列不能用z變換法或傅立葉變換來進行討論。第10頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．２．２離散傅立葉級數(shù)令，則DFS變換對可寫成正變換

反變換

離散傅立葉級數(shù)表明是以N為周期的周期序列，其基波成分為，k次諧波成分為，為DFS的k次諧波分量的復(fù)系數(shù)。由于的周期性，當(dāng)已知0→N-1次諧波成分后，根據(jù)周期性就可以確定其余的諧波分量，因此，無論時域或頻域中都只有N個序列值是獨立的。第11頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．２．３離散傅立葉級數(shù)的性質(zhì)假定和是周期皆為N的兩個離散周期序列，它們的DFS為１、線性式中為任意常數(shù)，可見由兩個離散周期序列和線性組合成一個新的周期序列的DFS也是周期為N的離散周期序列。

第12頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月２、移位特性時域移位頻域移位如果≥N,那么證明：

第13頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３、時域卷積特性兩個周期都為N的周期序列和，它們卷積的結(jié)果也是周期為N的周期序列，即

m的取值由0～（N-1），因此稱為周期卷積。05n000000555555mmmmmm111234圖兩個周期序列(N=6)的周期卷積過程第14頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月周期卷積與DFS的關(guān)系如下：設(shè)若則有這就是時域卷積定理。第15頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：第16頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月４、頻域卷積特性對于時域周期序列的乘積，同樣對應(yīng)于頻域的周期卷積。若則第17頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．３離散傅立葉變換ＤＦＴ由于長度為N的有限長序列可以看作是周期是N的周期序列的一個周期，因此利用DFS計算周期序列的一個周期，就可以得到有限長序列的離散傅立葉變換．設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，可以把它看作是周期為N的周期序列的一個主周期，而將看作是x(n)以N為周期進行周期延拓得到，即同理第18頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月離散傅立葉變換的正變換反變換第19頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．４離散傅立葉變換的性質(zhì)假定和都是N點的有限長序列，有１、線性若兩個有限長序列和的線性組合為，則有式中為任意常數(shù)。說明：（1）若和的長度均為N，則的長度為N；（2）若和的長度不等，的長度為N1，的長度為N2，則的長度為N=max[N1，N2]，離散傅立葉變換的長度必須按N來計算。第20頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月２、序列的圓周移位有限長序列x(n)的圓周移位是以它的長度N為周期，將其延拓成周期序列，并將周期序列進行移位，然后取主值區(qū)間（n=0到N-1）上的序列值。因而一個有限長序列的右圓周移位定義為第21頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月x(n)x((n))Nx((n-2))Nx((n-2))NRN(n)nnnn0000N-1N-1N-1N-1圖3.6序列的周期移位(N=6)第22頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月（１）時域移位定理證明：由周期序列的時域移位性質(zhì)由于有限長序列的DFT就是周期序列DFS在頻域中的主值序列，有（２）頻域移位定理若則上式稱為頻率移位定理，也稱為調(diào)制定理，此定理說明時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。第23頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３、共軛對稱性任一序列都可以表示成共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和。周期序列的共軛對稱分量和共軛反對稱分量都是周期性的，周期仍為N，取出它們的主值序列就得到了有限長序列的相應(yīng)的分量，分別稱為圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量，公式推導(dǎo)如下：設(shè)有限長序列x(n)的長度為N，以N為周期的周期延拓序列為第24頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月則有同樣可以證明則有限長序列的圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量定義為由于滿足，有第25頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月DFT的一系列的對稱性質(zhì)：（１）式中x*(n)是x(n)的共軛復(fù)序列。（２）（３）復(fù)序列實部的DFT等于序列DFT的圓周共軛對稱部分，即（４）復(fù)序列虛部乘j的DFT等于序列DFT的圓周共軛反對稱部分，即（５）若x(n)是實序列，則X(k)只有圓周共軛對稱部分，即滿足（６）若x(n)是純虛數(shù)序列，則X(k)只有圓周共軛反對稱部分，即滿足第26頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月（７）例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是實數(shù)序列，試求X1(k)和X2(k)．解：先利用這兩個實數(shù)序列構(gòu)成復(fù)序列，有

又故同樣故

因此可以用一次DFT計算出Y1(k)，然后用上面的公式計算出X1(k)和X2(k)。第27頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例：試利用DFT的對稱特性求和的DFT。解：設(shè)

因為所以

第28頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月而因為所以第29頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月４、帕斯瓦爾（Parseval）定理證明：

若y(n)=x(n),則即第30頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月５、圓周卷積（１）時域圓周卷積設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點的有限長序列，有若則此卷積過程與周期卷積和的過程是一致的，只不過這里要取結(jié)果的主值序列。公式中的只在0≤m≤N-1范圍內(nèi)取值，因而是圓周移位，因此這個卷積和稱為圓周卷積和。

第31頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月（２）頻域圓周卷積利用時域與頻域的對稱性，得到頻域圓周卷積定理若則（３）圓周相關(guān)定理若則第32頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月（４）用圓周卷積求線性卷積如果信號x(n)和單位抽樣響應(yīng)h(n)都是有限長序列，那么是否能用圓周卷積的運算來代替線性卷積運算呢？下面就這個問題加以討論：設(shè)x1(n)是N1點的有限長序列，x2(n)是N2點的有限長序列。①x1(n)和x2(n)的線性卷積：x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N1-1，x2(n-m)的非零區(qū)間為0≤n-m≤N1-1，將兩個不等式相加，得到

0≤n≤N1+N2-2第33頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月②x1(n)和x2(n)的圓周卷積：假設(shè)x1(n)和x2(n)進行L圓周卷積,L>max(N1,N2)，再討論L等于何值時，圓周卷積才能代表線性卷積。將兩個序列都補零為長度為L點的序列，即則第34頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月將任一序列（這里采用x2(n)）變成L點周期延拓序列，即因此L點的圓周卷積y(n)是線性卷積yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列

結(jié)論：若L≥N1+N2-1，則L點圓周卷積能代表線性卷積。

第35頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月圖兩個有限長序列的圓周卷積和線性卷積000nnn11234x1(n)⑤y(n)=x1(n)x2(n)0n340n4y(n)=x1(n)x2(n)y(n)=x1(n)*x2(n)n134y(n)=x1(n)x2(n)0312(a)(b)(c)(d)(e)(f)x2(n)⑥⑦第36頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．５利用DFT計算模擬信號的

傅立葉變換(級數(shù))對３．５．１對連續(xù)時間非周期信號的傅立葉變換的DFT逼近連續(xù)時間非周期信號x(t)的傅立葉變換對為用DFT方法計算這一變換對:第37頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月１、采樣：對x(t)以T為間隔進行采樣，即由于因此得到２、截斷：將序列x(nT)=x(n)截斷成包含有N個抽樣點的有限長序列，因此有由于時域抽樣，抽樣頻率為fS=1/T，頻域產(chǎn)生以fS為周期的周期延拓，若頻域為帶限信號，則有可能不產(chǎn)生頻域混迭，而成為連續(xù)周期頻譜。３、頻域抽樣：在頻域的一個周期中取N個樣點，每個樣點間隔為F0，

fS＝ＮF0。頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時域就得到原來已經(jīng)截斷的離散時間序列的周期延拓，時域周期為Ｔ０＝１／F0。因此有第38頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月得到一些參量關(guān)系：因此得到：第39頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．５．2對連續(xù)時間周期信號的

傅立葉級數(shù)的DFS逼近連續(xù)時間周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)對為：T0為連續(xù)時間周期信號的周期.1、時域抽樣x(n)=x(nT)=x(t)|t=nT設(shè)一個周期內(nèi)的樣點數(shù)為Ｎ第40頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月因此得到用DFS(DFT)來逼近連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)對的公式:２、將頻域離散序列截斷，截斷長度等于一個周期（時域抽樣造成的頻域周期延拓的一個周期），有第41頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月３．５．３利用DFT計算模擬信號時

可能出現(xiàn)的問題１、頻域的混迭失真及參數(shù)的選擇２、截斷效應(yīng)３、柵欄效應(yīng)第42頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月１、頻域的混迭失真及參數(shù)的選擇１）根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率fS大于信號的最高頻率fh兩倍時，才能避免頻域混迭。即fS>2fh。也就是抽樣間隔為T滿足Ｔ=1/fS<1/2fh。實際信號的持續(xù)時間都是有限的，從理論上來說，其頻譜寬度是無限的，在工程上總是對信號先進行低通濾波——預(yù)濾波或抗混迭濾波，限制高于的頻率分量出現(xiàn)。２）DFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力,T0=1/F0為最短信號記錄長度。為了對全部信號進行采樣，必須使抽樣點數(shù)N滿足條件第43頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例:有一頻譜分析用的FFT處理器,其抽樣點數(shù)必須是2的整數(shù)冪,假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施,已知給定的條件為:頻率分辨率≤10Hz,信號最高頻率≤4kHz.試確定以下參量：①最小記錄長度Ｔ０；②抽樣點間的最大時間間隔Ｔ（最小抽樣頻率）；③在一個記錄中最少點數(shù)Ｎ．解：①最小記錄長度Ｔ０②抽樣點間的最大時間間隔Ｔ③第44頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月２、截斷效應(yīng)

在實際中遇到的序列x(n)，其長度往往是很長，甚至是無限長的，用DFT對其進行譜分析時，必須將它截斷為長度為N的有限長序列，即根據(jù)頻率卷積定理，有

式中，

其中部分稱為主瓣。假設(shè)，則第45頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月|RN(ejω)||X(ejω)||Y(ejω)|ωωω2π/N-2π/Nπ/4-π/40(a)