無套利定價法

無套利定價法第一章無套利定價法的思想§1.1無套利思想的產(chǎn)生及發(fā)展在高鴻業(yè)《宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》(第五版)中，我們知道了市場中一般商品通常是通過均衡價格理論，即假定消費者追求最大消費效用、生產(chǎn)者追求最大生產(chǎn)利潤、然后在一定條件下，存在一個一般經(jīng)濟(jì)均衡的價格體系，使得商品的供需達(dá)到平衡。作為特殊商品的金融資產(chǎn)的定價似乎也應(yīng)遵循這一原則，但由于金融市場的最主要的特征在于未來的不確定性，沿“均衡定價論”的道路前進(jìn)步履十分艱難。所以得出一個精確的金融資產(chǎn)定價理論變得迫在眉睫，這時無套利思想應(yīng)運而生。早在20世紀(jì)20年代,凱恩斯(1923)在其利率平價理論中，首次將無套利原則引入金融變量的分析中。其后，米勒和莫迪格利亞(1958)創(chuàng)造性地使用無套利分析方法來證明其公司價值與資本結(jié)構(gòu)無關(guān)定理，即著名的MM定理。羅斯的套利定價(APT)理論的產(chǎn)生使人們進(jìn)一步認(rèn)識到無套利思想的重要性。經(jīng)濟(jì)學(xué)家們甚至將無套利思想看做是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)區(qū)別于經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要特征。羅斯曾指出：“大多數(shù)現(xiàn)代金融不是基于無套利直覺理論就是基于無套利的實際理論。事實上，可以把無套利看做是統(tǒng)一所有金融的一個概念?！币虼?，無套利定價思想構(gòu)成了金融經(jīng)濟(jì)學(xué)基本定理(也稱資產(chǎn)定價的基本定理)。第二章無套利定價法的原理§2.1什么是套利套利(Arbitrage)是指在某項資產(chǎn)的交易過程中,交易者可在不需要期初投資支出的條件下便可獲得無風(fēng)險報酬，但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生無風(fēng)險盈利的策略，可能會承擔(dān)一定的低風(fēng)險。套利有五種基本形式：空間套利、時間套利、工具套利、風(fēng)險套利和稅收套利。由于金融產(chǎn)品通常是無形的，所以不需要占據(jù)空間，所以沒有空間成本，而且金融市場上存在的賣空機(jī)制(即投資者可以在不擁有某種產(chǎn)品的前提下便擁有以高價賣光該種產(chǎn)品的權(quán)利，然后低價買回該種產(chǎn)品，通過價格差獲得利潤)大大增加了套利機(jī)會，并且金融產(chǎn)品在時間和空間上的多樣性(如遠(yuǎn)期合約，期權(quán)合約)也使得套利更加便利。套利存在的條件：1、存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益相同，但它們的成本卻不同；2、 存在兩個成本相同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益卻不同；3、 一個組合其購建成本為零，但損益大于等于零，且至少在某一狀態(tài)下大于零?！?.2什么是無套利定價“無套利定價”原理是指金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在套利機(jī)會，即在該種價格下金融產(chǎn)品的組合不會使投資者獲得無風(fēng)險利潤。無套利定價的基本方法：將金融資產(chǎn)的“頭寸”與市場中其他金融資產(chǎn)的頭寸組合起來，構(gòu)筑起一個在市場均衡時不能產(chǎn)生不承受風(fēng)險的超額利潤的組合頭寸，由此測算出該項頭寸在市場均衡時的價值即均衡價格。該種價格會使得套利者處于這樣一種境地：他通過套利形成的財富的現(xiàn)金價值，與他沒有進(jìn)行套利活動時形成的財富的現(xiàn)金價值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是“復(fù)制”技術(shù)，所謂復(fù)制是指即用一組證券來復(fù)制另外一組證券，其要點是使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被組合的現(xiàn)金流特征完全一致復(fù)制組合的多頭（空頭）與被復(fù)制組合的空頭（多頭）互相之間完全實現(xiàn)頭寸對沖.§2.3無套利的基本理論（1）同損益同價格如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格。（2）靜態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格。這個資產(chǎn)組合稱為證券的“復(fù)制組合”。（3）動態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個自融資交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本。這稱為動態(tài)套期保值策略。第三章無套利定價法的應(yīng)用§3.1在確定狀態(tài)下資產(chǎn)的定價例1：假設(shè)2個零息票債券A和B，兩者都是1年后的同一天到期，面值都是100元，如果債券A的當(dāng)前價格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，1.債券B的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？如果PB=97.5元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：（1）由同損益同價格定價理論可知，因為兩種零息債券同一天到期，且面值相同，即未來損益相同，所以要想不存在套利機(jī)會，兩者的價格應(yīng)該相同，所以債券B的當(dāng)前價格也應(yīng)該為98元。（2）如果PB=97.5元，此種情況下B債券被低估，當(dāng)然存在套利機(jī)會。具體操作為，投資者應(yīng)該買低賣高，即他應(yīng)該花97.5元買進(jìn)債券B,同時以98元賣出債券A，則期初凈獲得0.5元的利潤，一年之后因為兩種債券的面值相同，但所持的頭寸相反，所以剛好可以抵消。例2靜態(tài)組合復(fù)制定價假設(shè)3種零息票債券A、B和C，面值都是100元，它們的當(dāng)前市場價格分別為（1）1年后到期的零息票債券A的當(dāng)前市場價格為98元，（2）2年后到期的零息票債券B的當(dāng)前市場價格為96元，（3）3年后到期的零息票債券C的當(dāng)前市場價格為93元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，如果一個附息債券D的息票率為10%，一年支付一次利息，期限為3年問：1.債券D的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？2.如果PD=120元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：（1）由無套利定價的基本理論第二條知，如果一個資產(chǎn)組合的損益與一個證券的損益相同，那么該資產(chǎn)組合的價格與該證券的價格相同。先看一個息票率為10%，一年支付一次利息的三年后到期的債券的損益情況。面值為100元，息票率為10%，所以第一年末、第二年末利息分別為10元，第三年末本息和110元，由復(fù)制技術(shù)可知，要找一個資產(chǎn)組合，并且該組合未來時間的損益應(yīng)該和該證券相同，所以（1）要購買0.1份債券A，1年后損益為10元：（2）購買0.1份債券B，兩年后損益為10元：（3）購買1.1份債券C，一年后損益為110元.所以債券D的價格應(yīng)該等于該資產(chǎn)組合的價格，即P=0.1*98+0.1*96+1.1*93=121.7元。（2）當(dāng)該種債券價格為120元時，低于無套利時的定價121.7元，所以該種債券被低估，當(dāng)然存在套利機(jī)會。并且由買低賣高原則可知投資者以120元應(yīng)該買入一份債券D，并且賣出0.1份債券A，0.1份債券B，1.1份債券C，則此時投資者的利潤為1.7元，1年后用債券A的損益去支付第一年的債券D的利息，第二年用債券B的損益去支付第一年的債券D的利息，第二年用債券C的損益去支付第債券D的本息。例3動態(tài)組合復(fù)制定價假設(shè)面值都為100元的零息票債券，從現(xiàn)在開始,1年后到期的零息票債券A的當(dāng)前市場價格為98元；從1年后開始，在2年后到期的零息票債券B的市場價格恰好也為98元。問：1.從現(xiàn)在開始，2年后到期的零息票債券債券C的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？2.如果PG=97元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：（1）由無套利定價的基本理論（3）知，如果一個自融資交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本。由題意知面值為100元，2年后到期的債券C的損益為第一年末0元，第二年末為100元，所以應(yīng)構(gòu)造相同損益的自融資組合。該組合為（1）購買0.98份一年后到期的面值為100元的債券A，一年后債券A的損益為100*0.98=98元：（2）一年后用從債券A中所獲得的98元再去購買一年后開始，2年到期的面值為100元的債券B，2年后，債券B的損益為100元。該種融資組合的損益與債券C的損益完全相同，所以債券C的價格應(yīng)該等于自融資交易策略的成本，即等于0.98*98=96.04元。（2）當(dāng)該種債券價格為97元時，高于于無套利時的定價96.04元，所以該種債券被高估，當(dāng)然存在套利機(jī)會。并且由買低賣高原則可知投資者以97元應(yīng)該賣空一份債券C，并且以96.04元買入0.98份債券A，則期初投資者凈掙0.96元：一年后用債券A所獲得的98元去購買一份債券B，兩年后用債券B的損益去彌補(bǔ)債券C的損益。這樣投資者凈獲利0.96元?！?.2在不確定狀態(tài)下資產(chǎn)的定價金融經(jīng)濟(jì)社會中常見的不確定狀態(tài)有以下幾種?C資產(chǎn)的未來損益不確定?C假設(shè)市場在未來某一時刻存在有限種狀態(tài)?C在每一種狀態(tài)下資產(chǎn)的未來損益已知?C但未來時刻到底發(fā)生哪一種狀態(tài)不知道例4假設(shè)有一個無紅利支付的風(fēng)險證券A，當(dāng)前的市場價格為100元，1年后的市場有兩種狀態(tài)，在狀態(tài)1時證券A的價格上升至105元，在狀態(tài)2時證券A的價格下降為95元；-4-同樣也有一個證券B,它在1年后的損益為：在狀態(tài)1時價格上升至105元，在狀態(tài)2時價格下跌為95元；假設(shè)不考慮交易成本和信用風(fēng)險，問：1.證券B的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？如果證券B的當(dāng)前價格PB=99元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？如果證券B的當(dāng)前價格PB=110元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：（1）由同損益同價格理論知，B的合理價格也為100元；（2）如果B為99元，價值被低估，則買進(jìn)B,賣空A；（3）如果B為110元，價值被高估，則買進(jìn)A，賣空B?，F(xiàn)在考慮如何利用證券A和無風(fēng)險債券來構(gòu)建一個與證券B損益相同的組合。例5（資金借貸無成本）假設(shè)有一風(fēng)險證券A，當(dāng)前的市場價格為100元，1年后的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1和狀態(tài)2。狀態(tài)1時，A的未來損益為105元，狀態(tài)2時，95元。有一證券B，它在1年后的未來損益也是：狀態(tài)1時120元，狀態(tài)2時110元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸也不需要成本。（1）求證券B的價格？（2）如果證券B的當(dāng)前價格PB=110元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：（1）用圖表示證券A，證券B和無風(fēng)險債券一年后的損益狀況如下現(xiàn)在構(gòu)建一個組合，使證券A和無風(fēng)險債券一年后的損益等于證券B的損益狀況。假設(shè)X份證券A和Y份無風(fēng)險債券（Y大于0為借出錢，小于0為借入錢），要使得組合的損益與證券B的損益相同，則應(yīng)滿足如下式子：?105??1??120?x???y??????95??1??110?解