基于能量分析法的pde數(shù)字圖像處理模型

基于能量分析法的pde數(shù)字圖像處理模型

近年來，人們在物理、醫(yī)學(xué)等方面廣泛使用各種成像方法，以達到圖像增強和恢復(fù)的目的。在現(xiàn)有的許多算法中，pde的擴展特性顯示了其在數(shù)據(jù)處理方面的巨大潛力。在文獻中，關(guān)于非線性散列方程和非線性異質(zhì)散列方程的應(yīng)用研究為后代在該領(lǐng)域的發(fā)展提供了新思路。1pde模型算法定義一個能量函數(shù)E(u)=∫[g(v)|u(x,y)|+β(u-u0)2]dxdy,v=D(Gσ*u),E(u)=∫[g(v)|u(x,y)|+β(u?u0)2]dxdy,v=D(Gσ*u),并定義相應(yīng)的零流邊界變分問題{J(u)=minE;u∈{u∈C2(Ω)|u|?Ω=0}.{J(u)=minE;u∈{u∈C2(Ω)|u|?Ω=0}.設(shè)泛函J(u)的極小解為u*(x,y),允許函數(shù)u,ux和uy可視為極小解,經(jīng)擾動得到u=u*+λw；ux=u*x+λwx；uy=u*y+λwy.試探函數(shù)w(x,y)滿足?w∈{w∈C2(Ω)|w|?Ω=0}.上述變分問題可以改寫為{J(u*+λw)=∫ΩF(x,y,u*+λw,u*x+λwx,u*y+λwy)dxdy=minE;u=u*+λw∈{u∈C2(Ω)|u|?Ω=0}.利用格林公式和歐拉必要條件及零流邊界條件有∫Ω[?F?u*-??x(?F?u*x)-??y(?F?u*y)]vdxdy=0.據(jù)此可得到擴散方程模型?u/?t=g(v)|Du|divDu/|Du|+Dg(v)Du-β|Du|(u-u0)+(?g(v)/?ux,?g(v)/?uy)|Du|div|Du|+div[?g(v)/?ux,?g(v)/?uy]|Du|2.該PDE模型可以看作是文獻中擴散模型的進一步推廣.為了分析模型各項的功能,并就此模型描述本文設(shè)計的新的PDE擴散算法,先將該模型按照擴散功能分類簡記為?u/?t=m(uxx,uyy,uxy)+n(ux,uy)+l(u).對于m(uxx,uyy,uxy)來說,該擴散項在圖像處理主要起去噪的作用.人們希望在大片的平滑區(qū)域作各項同性擴散,而在邊緣區(qū)域作各項異性擴散,避免處理過程中的邊緣模糊化,提升邊緣部位的信噪比.為此,本文新算法將此擴散項修改為m(uxx,uyy,uxy)=g(v){(1-h(v))?(uxx+uyy)+h(v)[(Gu2yuxx-2GuxGuyuxy+Gu2yuyy)/(Gu2x+Gu2y)1/2-(Gu2xuxx+2GuxGuyGuxy+Gu2yGuyy)/(Gu2x+Gu2y)1/2]},式中將系數(shù)因子ux和uy改進為Gux和Guy,能夠降低噪聲的干擾從而真實地逼近梯度方向.在異質(zhì)區(qū)域不僅在垂直梯度方向作異質(zhì)擴散,而且在梯度方向作異質(zhì)反擴散,從而在邊緣去模糊,提升二階邊緣(即細節(jié)邊緣)方面有較明顯的功能,改善了圖像的信噪比.選取Guxx,Guxy和Guyy代替uxx,uxy和uyy,目的是避免混淆噪聲邊緣和細節(jié)邊緣,提取二階邊緣的主要部分.對于n(ux,uy)來說,該發(fā)展項在圖像處理中主要起銳化一階邊緣(即梯度模反映區(qū)域)的作用.為此,本文新算法將此發(fā)展項修改為n(ux,uy)=α(t)(gxGux+gyGuy)?式中α(t)隨著時間的增加而變大.原因是迭代初期一階邊緣會受到噪聲的較大干擾.ux和uy改進為Gux和Guy的原因同上.對于l(u)來說,該保留項在圖像處理中主要起保留原圖像特性,降低圖像失真度.為此,本文新算法將此保留項修改為l(u)=kg(v)(1-h(v))(u-ui-1)+β(t)g(v)h(v)(u-u0),式中:ui-1為迭代前一步圖像;u0為退化圖像;k為常數(shù);β(t)為隨時間t的單調(diào)遞增函數(shù).該項要求在迭代初期,在同質(zhì)擴散區(qū)域,處理后的圖像以更快得速度擴散,從而加速了圖像前期處理的速度;迭代后期,在異質(zhì)擴散區(qū)域,處理后的圖像與退化圖像盡可能保持灰度的一致性,從而減少了圖像后期處理的失真度.2閾值函數(shù)的選取a.低通濾波器G參數(shù)的選取.在實際計算時,可以根據(jù)設(shè)備狀況和實驗要求(細節(jié)邊緣情況保留與否)來決定.由于實驗選取的圖像為高斯白噪聲,需要盡可能多地保留圖像信息,突出圖像的邊緣特性,特別是細節(jié)邊緣,所以取σ為0.6的5×5的高斯模板.為能在全局圖像點作低通濾波,在圖像邊界區(qū)域作鏡像對稱延拓.b.閾值函數(shù)g(v)的選取.該項的意義是限制處理某梯度模以內(nèi)的圖像部位,而對于過大的梯度模不予處理.為方便起見,選取g(v)=1/(1+v2/p);為保證對于盡可能多的圖像區(qū)域進行擴散,可以根據(jù)v的統(tǒng)計特性來確定p值的大小,經(jīng)過對原圖像的統(tǒng)計后令p=1000.c.閾值函數(shù)h(v)的選取.該項的意義是以梯度模大小劃分擴散區(qū)域,對較小的梯度模區(qū)域進行同質(zhì)擴散,相反,對較大的則進行異質(zhì)擴散,為保證處理圖像的灰度光滑性,該函數(shù)在二者之間有一段過渡區(qū)域.設(shè)h(v)=c×arctan(av-b)+d,其中,a,b,c,d的選取也要根據(jù)v的統(tǒng)計特性來確定,實驗中令h(v)=arctan(v-10)/π+0.5.d.閾值函數(shù)g(v)和h(v)中的自變量v的選取.一般選定v為梯度模,但為避免細節(jié)邊緣的磨光,可以對u的高斯卷積梯度模進行修改(即添加uxx,uyy和2uxy的高斯卷積梯度模),修改的結(jié)果是將細節(jié)邊緣像素點(如頭發(fā),細線等)劃為非擴散點(為增加判斷權(quán)重,還可在各項前添加系數(shù)),保護了細節(jié)特征.在實驗中,采用了v=[|DGσ*u|2+(DGσ*uxx)2+2(DGσ*uxy)2+(DGσ*uyy)2]1/2.e.差分格式的選取.ux,uy,uxx,uyy,uxy的格式分別為:(-1/2,0,1/2),(-1/2,0,1/2)Τ,(1,-2,1),(1,-2,1)Τ,(1/40-1/4000-1/401/4).為保證全局離散格式一階及二階微分的存在,同樣在邊界區(qū)域作鏡像對稱延拓.f.系數(shù)α(t),β(t)的選取.為方面起見,取α(t)=a2t,β(t)=a2t.g.二階微分高斯卷積Guxx,Guxy和Guyy依如下方程計算:?Guxx?t=|DGuxx|divDGuxx|DGuxx|；?Guyy?t=|DGuyy|divDGuyy|DGuyy|；?Guxy?t=|DGuxy|divDGuxy|DGuxy|,進行異質(zhì)擴散,為減少計算量,時間間隔Δt可取大些,迭代步數(shù)減少為3～5步.h.方程擴散迭代時間間隔取0.01.3實驗結(jié)果和psnr本試驗在PC機(AMDXP1800)WindowsXP平臺下Matlab中進行.初始圖像為256×256的Lena圖像,經(jīng)過4×4,σ=1的高斯低通模糊和0.000～0.002的高斯白噪聲退化后,模糊圖像的峰值信噪比為PSNR=26.7769dB,信噪比SSNR=12.6503dB,待處理圖像退化至PSNR=23.8828dB,SSNR=9.9611dB.從實驗結(jié)果中可以看出,本算法對圖像恢復(fù)的效果比較明顯,無論在大片平滑區(qū)域還是在邊緣區(qū)域,新算法恢復(fù)的圖像很好地去除了高斯白噪聲,并且圖像在關(guān)鍵邊緣上得到了加強,細節(jié)邊緣很好地保留下來,圖像輪廓非常清晰