充分條件與必要條件

一、選擇題1．(2022·福建文，3)若a∈R，則“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件[答案]A[解析]本題考查充要條件．a(chǎn)＝1成立，則|a|＝1成立．但|a|＝1成立時(shí)a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要條件．2．(文)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”[答案]B[解析]考查命題與它的逆命題之間的關(guān)系．原命題與它的逆命題的條件與結(jié)論互換，故選B.(理)命題“若a>0，則a2>0”的否命題是()A．若a2>0，則a>0 B．若a<0，則a2<0C．若a≤0，則a2≤0 D．若a≤0，則a2≥0[答案]C[解析]否命題是將原命題的條件與結(jié)論分別否定，作為條件和結(jié)論得到的，即“若a≤0，則a2≤0”．3．(2022·臨沂模擬)“sinα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題主要考查充要條件和三角公式．∵cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(1,2)，∴sinα＝±eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(1,2)?cos2α＝eq\f(1,2)，但cos2α＝eq\f(1,2)eq\o(?,/)sinα＝eq\f(1,2)，∴“sinα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的充分而不必要條件．4．(2022·安慶模擬)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]考查平面向量平行的條件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.反之，a＝3b時(shí)也有a∥b，但a＋b≠0.故選A.5．有下列四個(gè)命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③“若b≤－1，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題；④“若A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．其中真命題是()A．①② B．②③C．①③ D．③④[答案]C[解析]寫出相應(yīng)命題并判定真假．①“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”為真命題；②“不相似三角形的周長不相等”為假命題；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0沒有實(shí)根，則b>－1”為真命題；④“若A?B，則A∪B≠B”為假命題．6．(2022·天津理，2)設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題主要考查充分必要條件．由x≥2且y≥2，則x2＋y2≥4一定成立，而x2＋y2≥4時(shí)，x≥2且y≥2不一定成立，如x≥3且y≥0，故充分不必要條件．二、填空題7．已知命題p：|2x－3|>1，命題q：lg(x－2)<0，則命題p是命題q的________條件．[答案]必要不充分[解析]p：x>2或x<1，q：2<x<3，故p是q的必要不充分條件．8．在命題“若m>－n，則m2>n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個(gè)數(shù)是________．[答案]3[解析]原命題為假命題，所以逆否命題也是假命題，逆命題“若m2>n2，則m>－n”也是假命題，從而否命題也是假命題．三、解答題9．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]解法一：(直接法)∵p：－2≤x≤10，∴綈p：A＝{x|x<－2或x>10}．∵q：1－m≤x≤1＋m，∴綈q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m}．∵綈p是綈q的必要而不充分條件，∴BA，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10))(等號不同時(shí)成立)，解得m≥9.解法二：(等價(jià)命題轉(zhuǎn)化法)∵“?p是?q必要不充分條件”的等價(jià)命題是：p是q的充分不必要條件．設(shè)p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．∵p是q的充分不必要條件，∴AB.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10.))(兩個(gè)等號不能同時(shí)取到)，∴m≥9.一、選擇題1．(2022·大綱全國卷理，3)下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是()A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3[答案]A[解析]本題主要考查了不等式的性質(zhì)以及充分不必要條件、充要條件等概念，難度適中．要求a>b成立的充分不必要條件，必須滿足由選項(xiàng)能推出a>b，而由a>b推不出選項(xiàng)．在選項(xiàng)A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b時(shí)a>b＋1不一定成立，故A正確；在選項(xiàng)B中，a>b－1時(shí)a>b不一定成立，故B錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，a2>b2時(shí)a>b也不一定成立，因?yàn)閍，b不一定均為正值，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，a3>b3是a>b成立的充要條件，故D也錯(cuò)誤．2．(文)命題甲：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x、21－x、2x2成等比數(shù)列；命題乙：lgx、lg(x＋1)、lg(x＋3)成等差數(shù)列，則甲是乙的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件[答案]B[解析]甲：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x·2x2＝(21－x)2，即2x2－x＝22－2x，∴x＝1或－2乙：lgx＋lg(x＋3)＝2lg(x＋1)，即x(x＋3)＝(x＋1)2，∴x＝1，∴甲eq\o(?,/)乙，而乙?甲．(理)在△ABC中，設(shè)命題p：eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA)；命題q：△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]命題p中，因eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA)，由正弦定理可得eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)＝eq\f(c,a)＝k，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝kb，,b＝kc，,c＝ka，))消去k，得a＝b＝c.命題q中，因△ABC是等邊三角形，所以a＝b＝c，∠A＝∠B＝∠C＝60°，所以eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA).二、填空題3．有下列判斷：①命題“若q則p”與命題“若綈p則綈q”互為逆否命題；②“am2<bm2”是“a<b”的充要條件；③“平行四邊形的對角相等”的否命題；④命題“??{1,2}或?∈{1,2}”為真．其中正確命題的序號為________．[答案]①④[解析]①兩個(gè)命題的條件與結(jié)論互逆且否定，故正確；②am2<bm2，∴m2>0，∴可以推出a<b.但反之不能(如m＝0)．故錯(cuò)誤；③命題“平行四邊形的對角相等”的否命題是“若一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則它的對角不相等”是假命題．④??{1,2}是真命題，?∈{1,2}是假命題，故正確．4．(文)設(shè)集合A＝{x|eq\f(x,x－1)<0}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“m∈A”是“m∈B”的________條件．[答案]充分不必要[解析]若m∈A，則eq\f(m,m－1)<0，∴0<m<1.若m∈B，則m2－4m<0，即0<m<4.故“m∈A”是“m∈B”的充分條件．取m＝2，則eq\f(m,m－1)＝2，于是eq\f(m,m－1)<0不成立，所以m∈A不成立．故“m∈A”不是“m∈B”的必要條件．綜上所述，“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件．(理)對于下列四個(gè)結(jié)論：①若A是B的必要不充分條件，則綈B也是綈A的必要不充分條件；②“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0))”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”的充要條件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要條件；④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分條件．其中，正確結(jié)論的序號是________．[答案]①②④[解析]∵“A?B”，∴“綈A?綈B”，故①正確．“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0))，故②正確．∵x≠1eq\o(?,/)x2≠1，例如x＝－1，故③錯(cuò)誤．∵x＋|x|>0?x≠0，但x≠0eq\o(?,/)x＋|x|>0，例如x＝－1.故④正確．三、解答題5．給出下列命題：(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實(shí)根．(4)p：一個(gè)四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．試分別指出p是q的什么條件．[解析](1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0eq\o(?,/)x－2＝0.∴p是q的充分不必要條件．(2)∵兩個(gè)三角形相似eq\o(?,/)兩個(gè)三角形全等；但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似．∴p是q的必要不充分條件．(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實(shí)根；方程x2－x－m＝0無實(shí)根eq\o(?,/)m<－2.∴p是q的充分不必要條件．(4)∵矩形的對角線相等，∴p?q；而對角線相等的四邊形不一定是矩形．∴qeq\o(?,/)p.∴p是q的充分不必要條件．6．(文)判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假．(1)若四邊形的對角互補(bǔ)，則該四邊形是圓內(nèi)接四邊形；(2)在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac<0，則該函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)．[解析](1)該命題為真命題．逆命題：若四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形的對角互補(bǔ)．真命題．否命題：若四邊形的對角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓內(nèi)接四邊形．真命題．逆否命題：若四邊形不是圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形的對角不互補(bǔ)．真命題．(2)該命題是假命題.逆命題：在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，若該函數(shù)的圖像與x軸有交點(diǎn)，則b2－4ac<0.假命題．否命題：在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac≥0，則該函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)．假命題．逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，則b2－4ac≥0.假命題．(理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝2x相交于A、B兩點(diǎn)．(1)求證：“如果直線l過點(diǎn)(3,0)，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3”是真命題．(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．[解析](1)設(shè)l：x＝ty＋3，代入拋物線y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3，故為真命題．(2)(1)中命題的逆命題是：“若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3，則直線l過點(diǎn)(3,0)”它是假命題．設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝2x，消去x得y2－2ty－2b＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，此時(shí)直線l過點(diǎn)(3,0)或(－1,0)．故逆命題為假命題．7．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：實(shí)數(shù)x滿足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>