二倍角的三角函數(shù)

一、選擇題1．(文)若sin2θ＝eq\f(1,4)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A．－8 B．8C．±8 D．2[答案]B[解析]tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝eq\f(1,\f(1,2)sin2θ)＝eq\f(2,\f(1,4))＝8，故選B.(理)已知sinα＝eq\f(2,3)，則cos(π－2α)＝()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(1,9)\f(1,9) \f(\r(5),3)[答案]B[解析]本題考查了誘導(dǎo)公式、三角恒等變形及倍半角公式的應(yīng)用．由誘導(dǎo)公式得cos(π－2α)＝－cos2α，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\f(4,9)＝eq\f(1,9)，∴cos(π－2α)＝－eq\f(1,9).2．已知sinα＝eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\f(sin2α,cos2α)的值為()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(3,2)\f(3,4) \f(3,2)[答案]B[解析]∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝eq\f(2×\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,2).\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)的化簡(jiǎn)結(jié)果是()A．4cos4－2sin4 B．2sin4C．2sin4－4cos4 D．－2sin4[答案]C[解析]eq\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，∵π<4<eq\f(5π,4)，∴cos4<sin4<0.∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故選C.4．(文)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(1,5)\f(1,5) \f(3,5)[答案]A[解析]sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5)，故選A.(理)設(shè)5π<θ<6π，coseq\f(θ,2)＝a，則sineq\f(θ,4)等于()\f(\r(1＋a),2) \f(\r(1－a),2)C．－eq\r(\f(1＋a,2)) D．－eq\r(\f(1－a,2))[答案]D[解析]∵5π<θ<6π，∴eq\f(5π,4)<eq\f(θ,4)<eq\f(3π,2)，∴sineq\f(θ,4)<0，∵a＝coseq\f(θ,2)＝1－2sin2eq\f(θ,4)，∴sineq\f(θ,4)＝－eq\r(\f(1－a,2)).5．函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在區(qū)間[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上的最大值是()A．1 \f(1＋\r(3),2)\f(3,2) D．1＋eq\r(3)[答案]C[解析]f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，f(x)max＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故選C.6．已知tan2α＝－2eq\r(2)，且滿(mǎn)足eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則eq\f(2cos2\f(α,2)－sinα－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))的值為()\r(2) B．－eq\r(2)C．－3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)[答案]C[解析]eq\f(2cos2\f(α,2)－sinα－1,\r(2)sin\f(π,4)＋α)＝eq\f(cosα－sinα,sinα＋cosα)＝eq\f(1－tanα,tanα＋1).又tan2α＝－2eq\r(2)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)∴2eq\r(2)tan2α－2tanα－2eq\r(2)＝0.解得tanα＝－eq\f(\r(2),2)或eq\r(2).又eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴tanα＝eq\r(2).原式＝eq\f(1－\r(2),\r(2)＋1)＝－3＋2eq\r(2).故選C.二、填空題7．設(shè)a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝eq\f(2tan13°,1＋tan213°)，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則a、b、c的大小關(guān)系為_(kāi)_____(由小到大排列)．[答案]a<c<b[解析]a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上單增，∴a<c<b.8．已知eq\f(π,2)<α<π，化簡(jiǎn)eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)\r(\f(1,2)－\f(1,2)cos2α))＝______.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))[解析]原式＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)|sinα|)＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)sinα)＝eq\r(\f(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)2,2))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4))).三、解答題9．(2022·天津理，15)已知函數(shù)f(x)＝tan(2x＋eq\f(π,4))，(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)設(shè)α∈(0，eq\f(π,4))，若f(eq\f(α,2))＝2cos2α，求α的大小．[解析](1)由2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z)).f(x)的最小正周期為eq\f(π,2).(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2cos2α，得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2cos2α，eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝2(cos2α－sin2α)，整理得eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝eq\f(1,2)，即sin2α＝eq\f(1,2).由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，得2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以2α＝eq\f(π,6)，即α＝eq\f(π,12).一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值為()A．5 \f(9,2)\f(1,2) \f(5,2)[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝eq\f(3,2)sin2x－2cos2x－2＝eq\f(5,2)sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝eq\f(4,3)，所以f(x)的最大值是eq\f(5,2)－2＝eq\f(1,2).故選C.2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝()A．－eq\f(1,2) \f(1,2)C．2 D．－2[答案]A[解析]本題綜合考查了同角三角函數(shù)的基本公式以及二倍角公式的逆運(yùn)用．∵cosα＝－eq\f(4,5)且α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)),\f(cos\f(α,2)－sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))))＝eq\f(1＋sinα,cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(1,2)，故選A.二、填空題3．(2022·江蘇，7)已知tan(x＋eq\f(π,4))＝2，則eq\f(tanx,tan2x)的值為_(kāi)_____．[答案]eq\f(4,9)[解析]由tan(x＋eq\f(π,4))＝2，可得tanx＝eq\f(1,3)，從而tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(3,4)，則eq\f(tanx,tan2x)＝eq\f(4,9).4．若sinα·cosβ＝eq\f(1,2)，則cosα·sinβ的取值范圍是________．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))[解析]解法一：設(shè)t＝cosα·sinβ，又sinα·cosβ＝eq\f(1,2)，∴sinα·cosβ·sinβ·cosα＝eq\f(1,2)t，即sin2α·sin2β＝2t，|sin2α·sin2β|≤1.∴2|t|≤1，即－eq\f(1,2)≤t≤eq\f(1,2).∴cosα·sinβ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).解法二：由sinα·cosβ＝eq\f(1,2)知sin2α·cos2β＝eq\f(1,4).則cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝eq\f(5,4)－(sin2α＋cos2β)≤eq\f(5,4)－2eq\r(sin2αcos2β)＝eq\f(1,4)，所以－eq\f(1,2)≤cosα·sinβ≤eq\f(1,2).三、解答題5．已知函數(shù)f(x)＝asinx·cosx－eq\r(3)acos2x＋eq\f(\r(3),2)a＋b.(a>0)(1)x∈R，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)x∈[0，eq\f(π,2)]，f(x)的最小值是－2，最大值是eq\r(3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．[解析](1)f(x)＝a(sinx·cosx－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2))＋b＝a×(eq\f(1,2)sin2x－eq\r(3)×eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2))＋b＝a·sin(2x－eq\f(π,3))＋b∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得，f(x)的遞減區(qū)間是[kπ＋eq\f(5,12)π，kπ＋eq\f(11,12)π](k∈Z)(2)∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴2x－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]∴sin(2x－eq\f(π,3))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]∴函數(shù)f(x)的最小值是－eq\f(\r(3),2)a＋b＝－2最大值a＋b＝eq\r(3)，解得a＝2，b＝eq\r(3)－2.6．(2022·重慶文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinxcosx－eq\r(3)cos(x＋π)cosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖像沿b＝(eq\f(π,4)，eq\f(\r(3),2))平移后得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，求y＝g(x)在[0，eq\f(π,4)]上的最大值．[解析](1)f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\r(3)cos2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\r(3)×(eq\f(1＋cos2x,2))＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝sin(2x＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)∴f(x)的最小正周期為π.(2)依題意g(x)＝f(x－eq\f(π,4))＋eq\f(\r(3),2)＝sin(2x－eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\r(3)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,4)]時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]sin(2x－eq\f(π,6))∈[－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)]∴g(x)在[0，eq\f(π,4)]上的最大值為eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).7．已知向量a＝(cosx＋2sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x＋φ)為偶函數(shù)，試求符合題意的φ的值．[分析]寫(xiě)出y＝f(x)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．對(duì)于(1)，結(jié)合題意，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角變換公式得到函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；對(duì)于(2)，函數(shù)y＝f(x＋φ)為偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)就是求y軸是函數(shù)y＝f(x＋φ)的一條對(duì)稱(chēng)軸．考慮到y(tǒng)＝sinx的對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故可利用整體思想來(lái)解決．[解析](1)由已知可得f(x)＝(cosx＋2sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＋eq\f(1,2)＝cos2x－sinxcosx＋2sinxcosx－2sin2x＋2sinxcosx＋eq