函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

一、選擇題1．(文)已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在區(qū)間[0,2π]的圖像如圖，那么ω＝()A．1 B．2\f(1,2) \f(1,3)[答案]B[解析]由圖像可知，該函數(shù)的周期T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.故選B.(理)(教材改編題)若f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖像(部分)如下圖所示，則ω和φ的取值可能是()A．ω＝1，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,3)C．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6) D．ω＝eq\f(1,2)，φ＝－eq\f(π,6)[答案]C[解析]∵eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝π，∴T＝4π，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(1,2)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).又圖像過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，∴0＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))，∴－eq\f(π,6)＋φ＝kπ.由圖知k＝0，∴φ＝eq\f(π,6).2．將函數(shù)y＝sinx的圖像上所有的點向右平行移動eq\f(π,10)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖像的函數(shù)解析式是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,20)))[答案]C[解析]3.下圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的圖像，為了得到這個函數(shù)的圖像，只要將y＝sinx(x∈R)的圖像上所有的點()A．向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標不變B．向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標不變D．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變[答案]A[解析]本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的平移．由題知函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(5,6)π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，A＝1，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，故將y＝sinx的圖像先向左平移eq\f(π,3)個單位長度后，再把所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標不變，故選A.4．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－2的圖像F按向量a平移到F′，F(xiàn)′的解析式y(tǒng)＝f(x)，當(dāng)y＝f(x)為奇函數(shù)時，則向量a可以等于()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，－2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，2))[答案]D[解析]本題主要考查向量的平移和三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)．A中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2－2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－4，∴不是奇函數(shù)，故排除A；B中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2＋2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴不是奇函數(shù)，故排除B；C中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2－2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))－4，∴不是奇函數(shù)，故排除C；D中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2＋2＝－sin2x，∴是奇函數(shù)，所以選D.5．(2022·棗莊二模)如下圖，在某點給單擺一個作用力后它開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(厘米)和時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，單擺擺動時，從最右邊到最左邊的距離為()A．6eq\r(3) B．3eq\r(3)C．3 D．6[答案]A[解析]∵s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，∴T＝eq\f(2π,ω)＝1，從最左邊到平衡位置O需要的時間為eq\f(T,4)＝eq\f(1,4)秒，由6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×\f(1,4)＋\f(π,6)))＝3eq\r(3)，得從最右邊到最左邊的距離為6eq\r(3).6．(文)(2022·新課標文，11)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))＋cos(2x＋eq\f(π,4))，則()A．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱B．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱C．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱D．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱[答案]D[解析]本題主要考查了兩角和的正弦余弦公式、三角函數(shù)圖像性等．此類題目應(yīng)先化簡函數(shù)解析式為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m形式再求解．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.則函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于x＝eq\f(π,2)對稱．(理)(2022·新課標理，11)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則()A．f(x)在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞減B．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))單調(diào)遞減C．f(x)在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞增D．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))單調(diào)遞增[答案]A[解析]本題主要考查三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及輔助角公式．依題意：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝eq\r(2)sin(ωx＋φ＋eq\f(π,4))，又T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋φ＋eq\f(π,4))又f(x)為偶函數(shù)，∴φ＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋eq\f(π,4).又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\r(2)cos2x.又y＝cosx在x∈(0，π)單調(diào)遞減，則由0<2x<π得0<x<eq\f(π,2).即f(x)＝eq\r(2)cos2x在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞減，故選A.二、填空題7．如下圖所示為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像上的一段，則這個函數(shù)的解析式為______________．[答案]y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(3π,4)))[解析]A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，T＝eq\f(4π,3)，∵eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)π，∴ω＝eq\f(3,2)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋φ)).∵當(dāng)x＝eq\f(5,6)π時，y＝2，∴2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(5,6)π＋φ))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(5,4)π))＝1，∴φ＋eq\f(5,4)π＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(3π,4)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(3π,4))).8．(文)(2022·東營模擬)已知函數(shù)f(x)＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25π,6)))＝________.[答案]0[解析]方法一：f(x)＝－eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,6)π))＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\f(26,3)π＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\f(2π,3)＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝0.方法二：當(dāng)x＝eq\f(25π,6)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,6)π))＝－eq\r(3)sin2eq\f(25π,6)＋sineq\f(25π,6)coseq\f(25π,6)＝－eq\r(3)sin2eq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝0.(理)函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))的對稱中心是________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，0))，k∈Z[解析]由eq\f(x,2)－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z得eq\f(x,2)＝eq\f(π,6)＋kπ.∴x＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，0)).三、解答題9．(2022·重慶理，16)設(shè)a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(eq\f(π,2)－x)滿足f(－eq\f(π,3))＝f(0)，求函數(shù)f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最大值和最小值．[解析]f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝eq\f(a,2)sin2x－cos2x，由f(－eq\f(π,3))＝f(0)得－eq\f(\r(3),2)·eq\f(a,2)＋eq\f(1,2)＝－1，解得a＝2eq\r(3).∴f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6))，當(dāng)x∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]時，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]，f(x)為增函數(shù)．當(dāng)x∈[eq\f(π,3)，eq\f(11π,24)]時，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]，f(x)為減函數(shù)．∴f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最大值為f(eq\f(π,3))＝2，又f(eq\f(π,4))＝eq\r(3)，f(eq\f(11π,24))＝eq\r(2)，∴f(x)的最小值為f(eq\f(11π,24))＝eq\r(2).一、選擇題1．(2022·天津文，7)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π，若f(x)的最小正周期為6π，且當(dāng)x＝eq\f(π,2)時，f(x)取得最大值，則()A．f(x)在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)B．f(x)在區(qū)間[－3π，－π]上是增函數(shù)C．f(x)在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)D．f(x)在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)[答案]A[解析]本題考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)．由題意得T＝eq\f(2π,ω)＝6π，∴ω＝eq\f(1,3).∵x＝eq\f(π,2)時，f(x)取得最大值．∴eq\f(1,3)×eq\f(π,2)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,3)))∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[－eq\f(5,2)π＋6kπ，eq\f(π,2)＋6kπ](k∈Z)．∴f(x)在區(qū)間[－2π，0]是增函數(shù)．2．(文)(2022·廣州五校聯(lián)考)若將函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，與函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的圖像重合，則ω的最小值為()\f(1,6) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)[答案]D[解析]本題考查正切函數(shù)的圖像的平移變換．將函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到的函數(shù)為y＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6)＋\f(π,4)))，由題意，得－eq\f(ωπ,6)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，∴ω＝eq\f(1,2).(理)已知函數(shù)f(x)＝sinωx的圖像的一部分如圖(1)，則圖(2)的函數(shù)圖像所對應(yīng)的解析式可以為()A．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2))) B．y＝f(2x－1)C．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1)) D．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))[答案]B[解析]由圖得，圖(2)是將圖(1)中的圖像先向右平移1個單位，再將所有點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍得到，即y＝f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．二、填空題3．(2022·江蘇卷，9)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)的部分圖像如下圖所示，則f(0)的值是________．[答案]eq\f(\r(6),2)[解析]由圖像可知，A＝eq\r(2)，eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，∴ω＝2，則y＝eq\r(2)sin(2x＋φ)，將(eq\f(7,12)π，－eq\r(2))代入，解之得φ＝eq\f(π,3)，從而y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,3))，f(0)＝eq\f(\r(6),2).4．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤eq\f(π,2))是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.[答案]2±2eq\r(2)[解析]由題意知：φ＝0，A＝2，∴f(x)＝2sinωx又當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值2，∴2ω＝eq\f(π,2)＋2kπ，∴ω＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，令k＝2n，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2nπ))x，∵n∈Z，x∈Z，∴f(x)＝2sineq\f(π,4)x.由函數(shù)周期性可得：f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2eq\r(2)同理，當(dāng)k為奇數(shù)時可得：f(1)＋f(2)＋…f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2－2eq\r(2).三、解答題5．(2022·湖南理，17)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC.(1)求角C的大?。?2)求eq\r(3)sinA－cos(B＋eq\f(π,4))的最大值，并求取得最大值時角A，B的大?。甗解析](1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因為0<A<π，所以sinA>0，從而sinC＝cosC，又cosC≠0，所以tanC＝1，則C＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，B＝eq\f(3π,4)－A，于是eq\r(3)sinA－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(3)sinA－cos(π－A)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6))).因為0<A<eq\f(3π,4)，所以eq\f(π,6)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(11π,12)，從而當(dāng)A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即A＝eq\f(π,3)時，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))取最大值2.綜上所述，eq\r(3)sinA－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))的最大值為2，此時A＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(5π,12).6．(文)已知向量m＝(sinωx＋cosωx，eq\r(3)cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中ω>0，函數(shù)f(x)＝m·n，若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離為eq\f(π,2).(1)求ω的值，并求f(x)的最大值及相應(yīng)x的集合；(2)在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，△ABC的面積S＝5eq\r(3)，b＝4，f(A)＝1，求邊a的長．[解析](1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))，由題意可得T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝1時，f(x)有最大值2，∴2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，∴x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴x的集合為{x|x＝eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z}．(2)f(A)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝1∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)0<A<π，∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，∴A＝eq\f(π,3)，S＝eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝5eq\r(3)，∴c＝5，由余弦定理得：a2＝16＋25－2×4×5coseq\f(π,3)＝21，∴a＝eq\r(21).(理)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖像的一條對稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)證明直線5x－2y＋c＝0與函數(shù)y＝f(x)的圖像不相切．[解析](1)令2×e