2022-2023學年度高二數(shù)學期中考試卷

2022-2023學年度高二數(shù)學期中考試卷

試卷副標題

考試范圍：XXX；考試時間：100分鐘：命題人：XXX

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

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第II卷(非選擇題)

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一、解答題

1.已知函數(shù)/(x)=χ2+2ov+3,xe[-4,β].

(1)當α=-2時，求/G)的最值；

(2)求實數(shù)。的取值范圍，使y=fG)在區(qū)間[Y,6]上是單調函數(shù)；

2.已知定義域為R的函數(shù)/(X)=絲包是奇函數(shù).

2χ+a

(1)求。，〃的值；

(2)用定義證明/(χ)在(《,”)上為減函數(shù)；

(3)若對于任意teR,不等式/(n-2r)+∕(2"-%)<0恒成立，求k的范圍.

3.運貨卡車以每小時X千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：

千米/時).假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2+益)升，司機的工資是每

小時14元.

(1)求這次行車總費用N關于X的表達式；

(2)當X為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.

4.經市場調查，新街口某新開業(yè)的商場在過去一個月內(以30天計)，顧客人數(shù)/⑺(千

人)與時間，(天)的函數(shù)關系近似滿足/")=4+[CwN*),人均消費gQ)(元)與

/

Uoof(I≤r≤7j∈N*),

時間f(天)的函數(shù)關系近似滿足g。)=“八S/2八"?

[130-r(7<t<30"∈N*).

(1)求該商場的日收益W⑴(千元)與時間，(天)(l≤f≤30,r∈N*)的函數(shù)關系式；

(2)求該商場日收益的最小值(千元).

5.因新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產企業(yè)為了提高產品的產

試卷第1頁，共2頁

2022-2023學年度高二數(shù)學期中考試卷--第1頁

量，投入90萬元安裝了一臺新設備，并立即進行生產，預計使用該設備前φleNJ年的

材料費、維修費、人工工資等共為(-?2+5?)萬元，每年的銷售收入55萬元.設使用該

2

設備前〃年的總盈利額為萬元.

(1)寫出小,關于”的函數(shù)關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利；

(2)使用若干年后，對該設備處理的方案有兩種：案一：當總盈利額達到最大值時，

該設備以10萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設備出0萬

元的價格處理；問哪種方案處理較為合理？并說明理由.

6.已知函數(shù)/(x)=l+二(α為常數(shù))是奇函數(shù)

(1)求。的值；

(2)函數(shù)g(x)=y(X)-Iog2&，若函數(shù)g(x)有零點，求參數(shù)A的取值范圍.

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參考答案

1.(1)最小值是-1,最大值是35.;(2)0≤-6或a24.

【分析】

(1)根據二次函數(shù)的性質求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可；

(2)求出函數(shù)的對稱軸，得到關于“的不等式，求出。的范圍即可.

【詳解】

解：(1)當。=-2時,/(x)=%2-4x+3=(%-2)2-1,

由于XeL4,61，.?jQ)在上單調遞減，在(2,6］上單調遞增，

??］。)的最小值是/(2)=-1,又/(-4)=35,"6)=15,故/(x)的最大值是35.

(2)由于函數(shù)/G)的圖像開口向上，對稱軸是X=-a9

所以要使/(x)在［-4,6］上是單調函數(shù)，應有-％-4或-啰6,即飛-6或?4.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查二次函數(shù)的性質，是一道中檔題.

2.(1)a=l,?=1;(2)證明見解析；(3)(-∞,-∣).

【分析】

(1)根據奇函數(shù)定義，利用/(O)=O且fJD=-/(D,列出關于。、b的方程組并解之得

a=b=?；

(2)根據函數(shù)單調性的定義，任取實數(shù)X、％,通過作差因式分解可證出：當x<x時，

?212

/(X)-∕(X)>O,即得函數(shù)/(用在(-嗎+8)上為減函數(shù)；

12

(3)根據函數(shù)的單調性和奇偶性，將不等式〃"-2，)+/(2四一奇<0轉化為：&<3r2-2f對

任意的f∈R都成立，結合二次函數(shù)的圖象與性質，可得k的取值范圍.

【詳解】

解：(1)???∕(x)為R上的奇函數(shù)，??J(0)=0,可得(=1

X"/(-O=-/(1)

經檢驗當α=l且b=1時，/?=—,滿足/(T)=-/(X)是奇函數(shù).

2.1+1

答案第1頁，共5頁

2022-2023學年度高二數(shù)學期中考試卷--第3頁

(2)由(1)得/(χ)="i_-=-1+---，

2Λ+12r+l

v

任取實數(shù)1、％，且?<x

1Z12

∏nι,./、”、222(2-rj-2χ,)

貝∣j∕(x)T(X)=7一~--T---------=~_：\-1、

?22A,+12&+1(2-rl+1)(2A2+1)

???X<X,可得2.V,<2弓，且(2ΛI+l)(2r,+l)>0

I211

：.f(X)-f(X)>0,即/(x)>∕(x),函數(shù)/(X)在(-8,+8)上為減函數(shù)；

1212

(3)根據(1)(2)知，函數(shù)F(X)是奇函數(shù)且在(-8,+8)上為減函數(shù).

，不等式/(n-2r)+∕(2"-k)<0恒成立，即f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)

也就是：屋一2/>-2f2+A對任意的/都成立.

變量分離，得^<3/2—2/對任意的IsR都成立，

3/2-2t=3(r-?)2-?,當才=3時有最小值為一§

即&的范圍是(-∞,-g)?

【點睛】

本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，研究了函數(shù)的單調性和奇偶性，并且用之解關于X的不

等式，考查了基本初等函數(shù)的簡單性質及其應用，屬于中檔題.

3.⑴y=130x18+^122?χ□[50,100](或y=衛(wèi)竺+?x,二[50,100]).(2)當x=18

X360X18

J而千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26J而元.

【分析】

(1)先確定所用時間，再乘以每小時耗油與每小時工資的和得到總費用表達式，(2)利用

基本不等式求最值即得結果.

【詳解】

(1)設所用時間為f=U(h),

X

y------×2×1^2+-——]+14χ-----,X□[50,100].

XI360)X

所以，這次行車總費用y關于X的表達式是V=巴處竺+三等X，x□[50,100]

X360

23401&

(或歹=----+—X,x□[50,100]).

X18

答案第2頁，共5頁

2022-2023學年度高二數(shù)學期中考試卷一第4頁

°、130×18,2×130L

(2?=-------+--x≥26√1(),

x360

當且僅當—=2χ,

X360

即x=18J訪時等號成立.

故當x=1866千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26，5元.

【點睛】

本題考查函數(shù)解析式以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題

400r+100,l≤r≤7√∈iV*,

1210

4.(1)w(f)=,130；(2)千元

519-4，+干,7<r≤3O,r∈7√*.3

【詳解】

試題分析：(1)根據該商場的日收益=顧客人數(shù)X人均消費的錢數(shù)得w(t)與t的解析式；(2)

根據第一問得到w(t)為分段函數(shù)，分別求出各段的最值，第一段運用基本不等式求出最

值，第二段是一個遞減的一次函數(shù)求出最值比較即可

400r+100,l<f≤7√eΛΓ*,

(1)W(D=130

519-4r÷—,7<r≤3O√∈2V*.

(2)l≤f≤7時，w(f)單調遞增，最小值在，=1處取到，W(D=500；

7<f≤30時，519-4,單調遞減，最小值在1=30時取到,

㈣單調遞減，最小值在f=30時取到，則WG)最小值為卬(30)=519-120+型=四，

t303

由32<500,可得卬。)最小值為；°.

答：該商場日收益的最小值為詈千元.

5.(1)∕5)=-∣"2+50”-90,3年；(2)第二種方案更合適，理由見解析.

【分析】

(1)利用〃年的銷售收入減去成本，求得了(")的表達式，由解一元二次不等式

求得從第3年開始盈利.

(2)方案一：利用配方法求得總盈利額的最大值，進而求得總利潤；

方案二：利用基本不等式求得”=6時年平均利潤額達到最大值，進而求得總利潤.

比較兩個方案獲利情況，作出合理的處理方案.

答案第3頁，共5頁

2022-2023學年度高二數(shù)學期中考試卷--第5頁

【詳解】

(1)由題意得：

f(n)=55n-90-(?n?+5n)=~^n2+50”-90

由/(")>0得-￡“2+50”-90>0即n2-20∕ι+36<0.

2

解得2<〃<18

由”eN+，設備企業(yè)從第3年開始盈利

(2)方案一總盈利額

/(n)=-∣(n-10)2+160,當〃=10時，/(n)ma=160

故方案一共總利潤160+10=170,此時"=10

方案二：每年平均利潤

=50-—(n+—)≤50--,×2>/36=20>當且僅當"=6時等號成立

n2n2

故方案二總利潤6x20+50=170,此時〃=6

比較兩種方案，獲利都是170萬元，但由于第一種方案只需要10年，而第二種方案需要6

年，故選擇第二種方案更合適.

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，屬于中檔題

6.(1)a=2；(2)(θφU(2,+∞).

【分析】

(1)利用F(X)-AX)=O列方程，化簡求得”的值.

(2)令gG)=O,轉化為1+工=Iogk,求得1+三的值域，由此列不等式，解不等

式求得k的取值范圍.

【詳解】

(I)函數(shù)F(X)的定義域為(-8,0)U(O,+8),

根據奇函數(shù)的定義，應有VXG(→o,0)U(0,+∞),∕(-x)+/(X)=0,

即1+/一+I+-—=。，

2-?v—12入—1

即2+(°3+丁70，

XZ-X—Iz-2?Zt—1