2022-2023學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試仿真模擬試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試仿真模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若純虛數(shù)z滿足Z,（2—3［）=5+/ra,則實(shí)數(shù)加的值為（）

10

D.—

3

2.在二ABC中，a=6b=3,A=-,則此三角形（）

6

A.無(wú)解B.一解

C.兩解D.解的個(gè)數(shù)不確定

3.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）

A.BB.73C.立D.國(guó)

242

4.平面中兩個(gè)向量”，人滿足卜|=1,ad_b，則2a—8在a方向上的投影向量為（）

A.2B.2aC.-2aD.-2

5.圣?索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于

1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996

年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照

打卡的必到景點(diǎn)其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任

何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找

到一座建筑物AB,高為—在它們之間的地面上的點(diǎn)知（三點(diǎn)共線）

處測(cè)得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,

則小明估算索菲亞教堂的高度為（）

A.20mB.30mc.20晶D.

306m

6.在銳角△ABC中，NC為最大角，且sinA:sin8:sinC=2:（l+Z）:2Z,則實(shí)數(shù)人的取

值范圍（）

-5、I，3）D.（0,3）

A.1,-B.（1,3）C.

-3,

7.已知三棱錐P—ABC的高為1,底面一A8C為等邊三角形，PA=PB=PC,且P，A,

32）

B,C都在體積為——的球。的表面上，則該三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為（）

3

A.B.+C.3D.2幣

3

8.已知2E分別為_A8C的邊AB,AC上的點(diǎn)，線段8E和線段。。相交于點(diǎn)P，若

AD=2DB，且￡>P=/IPC，CE=pEA，其中4>0,〃>0，則<+’的最小值為（）

X（J.

A.2GB.4C.40D.6

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.歐拉公式ei,=cos6+isine（其中i為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)

立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變

函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是

（）

八夕忘拒.

A.e4----------1--------1

22

B.e至為純虛數(shù)

C.千的共貌復(fù)數(shù)為L(zhǎng)—且i

/22

D.已知復(fù)數(shù)4=?國(guó)，Z2=e.,則復(fù)數(shù)zZ在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱

10.在j48c中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,以下說(shuō)法中正確的是（）

A.若A>B,則sinA>sin6

2

B.若a=4,b=5,c=6,則一ABC為鈍角三角形

TT

C.若a=5/=10,A=—,則符合條件的三角形不存在

4

D.若acosA=bcosB，則一定是等腰三角形

11.在正方體ABCO-A4G。中，如圖M，N分別是正方形A3CQ，BCG4的中心.則

下列結(jié)論正確的是（）

A.平面D、MN與棱B?的交點(diǎn)是耳￡的三等分點(diǎn)

B.平面。MV與棱BC的交點(diǎn)是6C的中點(diǎn)

C.平面D、MN與棱AD的交點(diǎn)是AD的三等分點(diǎn)

D.平面。MN將正方體分成前后兩部分的體積比為2:1

12.已知向量Q,b,c滿足忖=2,忖=1,a-b=lf|c|~—2Z??<?+—=0,則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.若H=則c_L（c—Z?）

B.|c-/?=l

C.VreR,有M+ra2亭

D.若c=Xa+（1—,/iGR,則4=

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖，在平行四邊形A3。中，E和尸分別是邊CO和BC的中點(diǎn)，若

AC=AAE+^iAF,其中4〃eR,則義+〃=.

3

14.如圖，地平面上有一根旗桿OP,為了測(cè)得它高度，在地面上取一基線AB，

AB=20m,在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角NQAP=30，在8處測(cè)得點(diǎn)P的仰角NOBP=45

又測(cè)得405=30，則旗桿的高度是m.

15,復(fù)數(shù)Z］、z?滿足4=，〃+(4—加2)i,z2=2cos0+(/l+3sin^)i(m,2,^eR),若

Z1=z2,則2的取值范圍是.

16.如圖正四棱柱ABC?！狝B'。'。'中，AB=6AA=2,以。為球心，OC'為半

徑的球與側(cè)面BCC%'的交線為CE，點(diǎn)P為交線CE上一動(dòng)點(diǎn)，則P從C運(yùn)動(dòng)到E時(shí),

。產(chǎn)所形成的曲面面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知|。|=1,|b|=2,a與人的夾角是60。，計(jì)算

(1)計(jì)算〃包，修+。|;

(2)求〃+〃和a的夾角的余弦值.

4

18.已知復(fù)數(shù)z滿足目=J5,z2的虛部為2,Z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限.

(1)求Z;

(2)若z2,z—z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B,C,求cosNABC.

19.已知正三棱柱ABC-43G的邊長(zhǎng)均為26，E,F分別是線段AG和8田的中點(diǎn).

(1)求證：￡7"/平面A8C；

(2)求三棱錐C-ABE體積.

5

20.在直角梯形ABCD中，已知A8//CD,ZDAB=90°,AB=6,AD=CD=3,

對(duì)角線AC交5。于點(diǎn)。，點(diǎn)M在AB上，且OM_LBD.

(1)求AM包。的值;

(2)若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求AN的取值范圍.

21.江都種植花木，歷史悠久，相傳始于唐代，盛于清代，素有“花木之鄉(xiāng)”之稱，在國(guó)內(nèi)外

有較高的知名度.某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地AQB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別

種植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半徑為70米，圓心角為等，動(dòng)點(diǎn)P在扇形的弧

上，點(diǎn)。在OB上，且PQ//Q4.

(1)當(dāng)。。=5()米時(shí)，求尸。的長(zhǎng);

6

(2)綜合考慮到成本和美觀原因，要使郁金香種植區(qū)402。的面積盡可能的大：設(shè)

ZA0P=e,求402。面積的最大值.

22.從①sirB-sin'A+sirC-sinBsinCuO②bsirt4+J^acosB=,這兩個(gè)條件中

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答(注：若選擇多個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分).

在，ABC中，a/,c分別是角A,8,C的對(duì)邊，若.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若。是的中點(diǎn)，AO=6，求一ABC面積的最大值.

cosB.cosC-_

----AB+-----AC=2mA40

(3)若。為ABC的外接圓圓心，且sinCsinB，求實(shí)數(shù)加的值.

答案解析

7

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若純虛數(shù)z滿足z.（2-3，）=5+mi,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

151510

A-------B.—C.-------

223

【答案】D

5+mi（5+疝）（2+3i）10-3m15+2m.10-3w=0

【解析】由題意得,Z（2-3z）（2+3/）―13+131，則

2-3/15+2〃？w0

解得m=一,

3

故選：D.

2.在..ABC中，a=6，b=3,A=-,則此三角形（）

6

A.無(wú)解B.一解

C,兩解D.解的個(gè)數(shù)不確定

【答案】C

【解析】在ABC中，a=6，b=3,A=￡,

&./*-

由正弦定理得sinB=絲電4=二1&=且＜r

而A為銳角，且a<b，

、a_布_2

則8=&或5=—,

33

所以有兩解.

故選：C

3.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）

A.BB,73C.好D.顯

242

【答案】C

［解析】如圖，，A'B'C'是邊長(zhǎng)為2的正二48c的直觀圖，則AB'=2，C'D'=-CD=^-，

22

則高CE=CZ>'sin45=曲義立=旦,故A'B'C'的面積S=！x2x^=邁.

224244

故選：C.

8

4.平面中兩個(gè)向量q,b滿足卜|=1，a1b，則2a—Z?在a方向上的投影向量為（)

A.2B.2aC.-2aD.-2

【答案】B

【解析】由題意得：Qa—b)，a=2a-b?a=2，

a

極2a—〃在2方向上的投影向量為（2"一=2a,

故選：B

5.圣嗦菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于

1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996

年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照

打卡的必到景點(diǎn)其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任

何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找

到一座建筑物A8,高為（15石-15）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M（民/,。三點(diǎn)共線）

處測(cè)得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,

則小明估算索菲亞教堂的高度為（）

A.20mB.30m

9

306m

【答案】D

【解析】由題意知：NCW=45°,/4必7=105。所以/4皿=30°

ABAB

在ABM中，AM=

sinZAMBsin15°

AMCM

在“。加中，由正弦定理得-所以

sin30°sin45O

CM=AM^°=AFI-SIN45°

sin30°sinl50.sin3O0

在RfOCM中,

（15必15）乎乎

CD=CMsin60°="火sin45o_sin」0。30不

sin150-sin30°

2

故選：D

6.在銳角△ABC中，NC為最大角，且sinA:sin3:sinC=2:（l+Z）:2Z,則實(shí)數(shù)4的取

值范圍（）

A.B.(1,3)3D.(0,3)

7"[?J

【答案】A

【解析】設(shè)sinA:sin3:sinC=2:(l+左)：2%=加(加>0),

所以由正弦定理可得a：》：c=2:(1+%):2攵=加=a=2nt,b=Q+k)m,c=2km,

因?yàn)?C為最大角，所以c為最大邊,

2/mN(1+k)m

所以有，2km>2m=>1<Z:<3,

-(1+左)根|<2km<2m+(1+Z)"2

因?yàn)锳ABC是銳角三角形，且/C為最大角,

+了+(2〃。2—(2km')2

所以cosC=

2-(1+攵)〃？?2〃?3

因此14k<3,

3

故選：A

7.已知三棱錐P—ABC的高為1,底面_A8C為等邊三角形，PA=PB=PC,且P,A,

10

B,C都在體積為亍的球。的表面上，則該三棱錐的底面一43c的邊長(zhǎng)為（）

A.士■B.73C.3D.2百

3

【答案】C

327r4327r

【解析】設(shè)球。的半徑為R,由球的體積為二三可得，彳）&=?,解得尺=2.

因?yàn)槿忮FP—ABC的高/?為1,所以球心。在三棱錐外.

如圖，設(shè)點(diǎn)。為AABC的外心，則。&J?平面ABC.

在Rf/kAa。中，由AO；=OA2—O。；，且0Q1=R—%=1,得AQ=6.

2ABsin60。=且AB，

因?yàn)锳BC為等邊三角形，所以

33

所以AB=J5Aoi=3.

故選：C.

8.己知分別為一ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，線段BE和線段CO相交于點(diǎn)P,若

AD=2DB，且￡>P=/IPC，CE=/JEA,其中丸>0,〃>°，則：+一的最小值為（）

一X/Z

A.2有B.4C.4陰D.6

【答案】A

【解析】因?yàn)樗訟O=：AB,

又DP="C，所以。尸=工。。，

CE=pEA,所以AC=(1+〃)AE,

11

2A2A■?

??.AP=AD+DP=—AB+——DC=-AB+——(AC-AD)

31+231+A

2A2-I74

-AB+一(1+〃)AE——AB=------AB+——(1+〃)AE,

31+Z33(1+4)1+2

22

又B,P，E三點(diǎn)共線，所以三丁K+=（1+〃）=1，

1+4

化簡(jiǎn)得到;l*=1，《+工22］，一=23，當(dāng)且僅當(dāng)4=〃=立時(shí)取等號(hào)，

3%,辦3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.歐拉公式/°=cose+isine（其中i為虛數(shù)單位，8eR）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)

立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變

函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是

（）

A.e4=------F——1

22

B.e殳為純虛數(shù)

c.今的共貌復(fù)數(shù)為JL一9.i

e22

D.已知復(fù)數(shù)4=*,Z2=e-",則復(fù)數(shù)zrZ2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱

【答案】ABC

【解析】A選項(xiàng)：jLcos工+isin^=R2+，2i，故A正確；

4422

B選項(xiàng)：=cos—+isin—=i,??T為純虛數(shù)，故B正確;

22e

12

C選項(xiàng)：e?=cos工+isin至=L+且i,.?亨的共物復(fù)數(shù)為J_一且j,故C正確.

3322?22

D選項(xiàng)：e'=cos3+isin3，e_3i=cos(-3)+isin(-3)=cos3-isin3,

所以Z與Z2實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，

故復(fù)數(shù)z-z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)部對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,以下說(shuō)法中正確的是()

A.若4>B,則sinA>sin3

B.若a=4,b=5,c=6,則為鈍角三角形

C.若a=5,〃=10,A=2,則符合條件的三角形不存在

D.若acosA=bcosB,則」45C一定是等腰三角形

【答案】AC

【解析】若力>B,則。>>，所以由正弦定理可得sinA>sin5,故A正確；

若a=4,b=5,c=6,則/</+62,BpcosC=^LZ￡_土>o,所以角C為銳角,

即」ABC為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；

若a—5,b-10,A-5，根據(jù)正弦定理可得sin5=處￡與正=&>1

4a52

所以符合條件的三角形不存在，即C正確；

若acosA=》cosB,則sinAcosA=sin6cos6,即sin2A=sin26.因?yàn)?/p>

7T

24€（0,兀）,28€（0,兀）,所以24=28或24+25=4，即A=6或A+B=—,

2

所以..ABC為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.在正方體ABC?！狝4G。中，如圖M,N分別是正方形ABC。，8CC4的中心.則

下列結(jié)論正確的是()

AB

13

A.平面RMN與棱B,C,的交點(diǎn)是B￡的三等分點(diǎn)

B.平面RMN與棱3C的交點(diǎn)是BC的中點(diǎn)

C.平面D,MN與棱AD的交點(diǎn)是AD的三等分點(diǎn)

D.平面RMN將正方體分成前后兩部分的體積比為2:1

【答案】ACD

【解析】如圖，取8c的中點(diǎn)E，延長(zhǎng)。E，RN并交于點(diǎn)/，連接R0并延長(zhǎng)，設(shè)

FM(BC=P,FMfAD=Q,

連接PN并延長(zhǎng)交用G于點(diǎn)H,連接RQ，D.H,則四邊形D[HPQ就是平面D.MN與正

方體的截面，

QN是平面的中心，E是8c中點(diǎn)，.?.FE:ED=1:2,則EP:QQ=1:2,

可得點(diǎn)。是線段AD靠近點(diǎn)O的三等分點(diǎn)，由對(duì)稱性知點(diǎn)尸是線段BC靠近點(diǎn)8的三等分

點(diǎn)，

點(diǎn)H是線段耳G靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，故A正確，B錯(cuò)誤，C正確;

作出線段BC的另一個(gè)三等分點(diǎn)P，作出線段AA靠近D,的三等分點(diǎn)G,連接QP,HP,

QG,GH，

可知匕:梭他H-2尸尸=y.梭錐Q-Gf/R?

**%面體。？〃￡憫8=V長(zhǎng)方體Q/HG-DCGA=§匕E方體，

從而平面D、MN將正方體分成兩部分的體積比為2:1,

14

DiG

故D正確.

故選：ACD.

已知向量滿足忖忖=2則下列說(shuō)法

12,a，b，c=2,1,a-b=\^|C|-2^-C+|=0,

正確的是（）

A.若卜卜當(dāng)，則c_L（c-Z?）

B.|c-^|=l

C.X/teR,有1+>v

若c=/La+(l-/l)b,2GR,則4=±骼

D.

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,H哼

r11

所以b?c=-

2

所以c?（c-。故A正確;

對(duì)于B,

對(duì)于C,

rr

b+ta+2/a?方+JQ=J1+2/+4產(chǎn)故C

15

正確;

對(duì)于D,因?yàn)椤?/1。+(1—丸)/?,所以

r2rrr-12r2小rr

c=[4a+(l—4)〃1=A2a+(1-2)Z?+22(1-A)?-Z?=322+1

又8?c=b{4a+(l—4)。]=丸”,。+(1—4)力=4+(1—4)=1,則由卜1—2Z??c+[=0

得342+1—2+3=0,解得4=±走，故D正確，

46

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖，在平行四邊形A8CO中，E和尸分別是邊C。和5c的中點(diǎn)，若

AC^AAE+/JAF,其中；L,〃eA,則/1+〃=.

4

【答案】一

3

［解析】設(shè)AB=a,AD=h,

因?yàn)镋和尸分別是邊C￡＞和BC的中點(diǎn)，可得AE=La+"AF=a+」R

22

又因?yàn)锳C=a+〃，所以4C=|(4E+4F),

24

因?yàn)锳C=%?1￡1+/M/7,所以％=4=1，所以2+〃

_4

故答案為：一.

3

14.如圖，地平面上有一根旗桿。尸，為了測(cè)得它高度，在地面上取一基線A3,

AB=20m,在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角NQ4P=30，在8處測(cè)得點(diǎn)P的仰角NO3P=45，

又測(cè)得44。8=30，則旗桿的高度是m.

B

16

【答案】20

（解析】在中，。中，OP

Rtz^QAP4=-----——=舟；在RtAOBPOB=h；

tanZOAPtanNOBP

在中，由余弦定理得：AB2=Ofic+OB2-2OA-OBcosZAOB=4/?2-3h2=h2.

即川=202，.--/?=20,即旗桿的高度是20m.

故答案為：20.

15.復(fù)數(shù)Z］、z2滿足4=，〃+(4-〃，］,z?=2cos8+(X+3sine)i,X,ewR),若

4=z2,則X的取值范圍是.

9

【答案】一77,7

16

〃7=2cos。

【解析】因?yàn)?=z,則，

24-m2=2+3sin^

所以，2=4-4cos20-3sin3-4sin2-3sin=4|sin-j

I8j16

-l<sin^<L故4=4，in6-3]G——,7

I8J1616

9

故答案為：一;7,7

16

16.如圖正四棱柱ABCD—A5'C￡)'中，AB＜，AA'=2,以。為球心，0c為半

徑的球與側(cè)面3℃力'的交線為?！辏c(diǎn)P為交線C￡上一動(dòng)點(diǎn)，則P從C運(yùn)動(dòng)到E時(shí),

。尸所形成的曲面面積為.

17

【答案]恒

3

【解析】由題意可知，以。為球心，￡>c'=67Z=J7為半徑的球與側(cè)面BCC'B'的交線

為C'E,

那么交線C'E是一段圓弧，即平面5CC'5'截球所得的截面圓上的一段弧，

由于OC_L平面BCC'B',該截面圓的圓心是點(diǎn)C，截面圓的半徑等于。6=2,

故P從C運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，0P所形成的曲面是RtOC￡繞ZX7旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的側(cè)面的一

部分，該圓錐的母線長(zhǎng)等于。C'=J7，

由于DB=JZ,DC=DE=yjDB2+BE2=y）6+BE2=77，BE=T,

所以?！?。'七=^^^5=2,而CC'=2,

TT

故是正三角形，則NECC'=],

所以DP所形成的曲面面積為兀x2x"=匹,

63

故答案為：恒

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知|a|=1,16|=2,&與人的夾角是60。，計(jì)算

（1）計(jì)算〃，\a+b|；

（2）求Q+6和。的夾角的余弦值.

18

【答案】（1）a,b=l，\a+b\=y/l（2）rXL

7

【解析】（1）由題可得.?。=|《小卜。$60°=1X2*；=1,

|a+〃/=。2+2a,〃+〃2=l+2xl+4=7，所以|a+b|=";

（2）+。力=1+1=2,

設(shè)a+b和萬(wàn)的夾角為e,

（。+可?。22a

所以cose=「_T-rq-=-7=-=——'.

,“忖v7xl7

18.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=J5,z2的虛部為2,Z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限.

（1）求z；

（2）若z2，Z—Z?在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B,C,求cosNABC.

ofc

【答案】（1）z=l+i；（2）cosZABC=-.

5

【解析】（1）因Z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限，設(shè)NAOx=e（0<6</）,則

z=蟲（cos。+isin，），

有z2=2（cos26+isin26）,因z2的虛部為2,即2sin26>=2,解得。=工，

4

z=\/2（cos—+isin—）=1+i,

44

所以z=l+i

（2）由⑴知，z=l+i，z?=2i，z-z2=l-i，貝iJ點(diǎn)41」），3（。，2）,。（1,一1）,

BA=(1,-1),BC=(l,-3),因此,

c°s〃C=M=Ixl+（->（-3）;還

網(wǎng)“7+（-1）24+（-3）25，

所以cosNABC=域.

5

19.已知正三棱柱A8C-A1Q的邊長(zhǎng)均為26，E,尸分別是線段4a和B囪的中點(diǎn).

19

(1)求證：￡7"/平面ABC；

(2)求三棱錐C-ABE體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【解析】(1)證明：取AC的中點(diǎn)為G,連結(jié)GE,GB,

在△ACG中，EG為中位線，所以EG〃(:Ci,￡G=^CCP

又因?yàn)镃G〃3Bi,CG=B3i,F為BBi中點(diǎn)，

所以EG//BF,EG=BF,

所以四邊形EF8G為平行四邊形，

所以EF〃GB,又EF(Z平面ABC,G8u平面A8C,

所以EF〃平面ABC.

(2)因?yàn)镋為AG的中點(diǎn)，

所以E到底面ABC的距離是Ci到底面A8C的距離的一半，

即三棱錐E-ABC的高h(yuǎn)=^CC―色,

IX&BC的面積為S=也x(2#y=3,

4

20.在直角梯形ABC。中，己知A5//C。，ZDAB=90°,AB=6,AD=CD=3,

對(duì)角線AC交8。于點(diǎn)。，點(diǎn)M在A8上，且

(1)求的值;

20

(2)若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求4N-MN的取值范圍.

【答案】(1)-6：(2)-1,15.

_O

【解析】(1)(1)因?yàn)镹DW=90°,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD分別為乂丁軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖:

因?yàn)锳B//CO,AB=6,AD=CD=3,

所以A(0,0),8(6,0),C(3,3),D(0,3).

又因?yàn)閷?duì)角線AC交BD于煎。，

所以由=得AO=(3f,3f),即0(3/,3，)，

因此。0=(3t,3t-3),DB=(6,-3),

2

而DO//DB,所以一3x3,一6x(3,-3)=°，解得/=§,

因此。(2,2).

又因?yàn)辄c(diǎn)M在A8上，所以設(shè)M(〃2,0),

因此OM=(加一2,-2),3￡>=(-6,3),

而OM_L8D，所以=-6(機(jī)一2)-6=0,

解得m=1,即"(1,0),

因此AM=(1,0),而BD=(-6,3),

所以AM6，

即AM出方的值為-6：

(2)因N為線段AC上任意一點(diǎn)，

所以由(1)知：可設(shè)N(〃,〃)(0V〃K3)(包括端點(diǎn)),

因此AN=(n,n),MN=(n-l,n),

所以=—1)+〃2=2/一〃.

21

因?yàn)楹瘮?shù)y=2/-〃的圖象開口上，對(duì)稱軸為〃=^，

ffi]0<<3.

所以函數(shù)y=2/?一〃的值域?yàn)橐唬?15,

O

即AN-MZ的取值范圍是一三，15.

O

21.江都種植花木，歷史悠久，相傳始于唐代，盛于清代，素有“花木之鄉(xiāng)”之稱，在國(guó)內(nèi)外

有較高的知名度.某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地A08分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別

種植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半徑為70米，圓心角為等，動(dòng)點(diǎn)尸在扇形的弧

上，點(diǎn)。在OB上，且PQ//QA.

（1）當(dāng)。。=50米時(shí)，求尸。的長(zhǎng);

（2）綜合考慮到成本和美觀原因，要使郁金香種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大；設(shè)

ZAOP=e,求△OPQ面積的最大值.

【答案】（1）PQ長(zhǎng)為80米（2）12256平方米

【解析】（1）扇形的半徑0尸=70,

因?yàn)閳A心角為,，所以NPQO=工，又。。=50,

33

jr

在△OPQ中，由余弦定理可得，OP2=OQ1+PQ2-2OQ-PQ-cos-,

22

即702=50+PQ-2X50XPQX；

解得PQ=80或尸。=-30（舍去），

所以PQ的長(zhǎng)為80米.

27r

（2）因?yàn)閆AOP=e，0e（O,—）,

PQ_OP_70

在△QPQ中，由正弦定理可得，.,2^?.=sinZOCP=-7,

sin（---u）sin-