第四章-解析函數(shù)的級數(shù)表示課件

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2023/9/111目錄第二章第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示

本章的主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一些基本概念和性質(zhì)；重點(diǎn)介紹復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的冪級數(shù)和由正、負(fù)整次冪項(xiàng)所組成的洛朗級數(shù).關(guān)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的某些概念和定理都是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相應(yīng)的內(nèi)容在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的直接推廣，因此，在學(xué)習(xí)中結(jié)合高等數(shù)學(xué)中無窮級數(shù)部分的復(fù)習(xí)，并在對此中進(jìn)行學(xué)習(xí)．2023/9/112第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示本章的主要內(nèi)容是：復(fù)第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.4洛朗級數(shù)本章小結(jié)思考題2023/9/113第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限

定義：

定理1：2023/9/114第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限定義：2023/8/3證明：必要性

充分性

2023/9/115證明：必要性充分性2023/8/35例1．解：2023/9/116例1．解：2023/8/362023/9/1172023/8/37定義：

例1．解：二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

2023/9/118定義：例1．解：二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念2023/8/38定理2：證明：定理3：2023/9/119定理2：證明：定理3：2023/8/39定理3：證明：2023/9/1110定理3：證明：2023/8/310說明：例2．下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？

解：2023/9/1111說明：例2．下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？解：2023/第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

定義：

稱表達(dá)式：稱為級數(shù)的部分和．2023/9/1112第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義：稱表達(dá)式二、冪級數(shù)

1．冪級數(shù)概念定義：形如2023/9/1113二、冪級數(shù)1．冪級數(shù)概念定義：形如2023/8/31定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2023/9/1114定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2023/8/3證明：充分性用反證可以證明．（略）

必要性2023/9/1115證明：充分性用反證可以證明．（略）必要性2023/8/32．收斂圓與收斂半徑定義：

注意：

2023/9/11162．收斂圓與收斂半徑定義：注意：2023/8/316例1．解：冪級數(shù)的部分和故級數(shù)發(fā)散.2023/9/1117例1．解：冪級數(shù)的部分和故級數(shù)發(fā)散.2023/8/3173．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2023/9/11183．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2023/8/定理3：（根值法）例1．求下列冪級數(shù)的收斂半徑解：2023/9/1119定理3：（根值法）例1．求下列冪級數(shù)的收斂半徑解：20所以不能直接用公式．

用比較審斂法:2023/9/1120所以不能直接用公式．用比較審斂法:2023/8/3204．冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)（1）冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

2023/9/11214．冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)（1）冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2023/82023/9/11222023/8/322（2）復(fù)合運(yùn)算這個運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來將函數(shù)展為冪級數(shù)．

例2．解：2023/9/1123（2）復(fù)合運(yùn)算這個運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來將函數(shù)展為冪級（3）冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分

2023/9/1124（3）冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分例3．試求給定冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2023/9/1125例3．試求給定冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2023/8/3第三節(jié)泰勒級數(shù)前面已討論了已知冪級數(shù)，如何求收斂圓、和函數(shù)，并且知道和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是一個解析函數(shù)，下面研究與此相反的問題：即任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？

2023/9/1126第三節(jié)泰勒級數(shù)前面已討論了已知冪級數(shù)，如何求收斂

2023/9/11272023/8/3272023/9/11282023/8/328定理5：2023/9/1129定理5：2023/8/329說明：由此可見解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，即展開式是唯一的．

2023/9/1130說明：由此可見解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，即展開一、利用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

例1．解：2023/9/1131一、利用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)例1．解：2023/8/3二、利用間接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

借助于已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)，以唯一性為理論依據(jù)得到函數(shù)的泰勒展開式．

2023/9/1132二、利用間接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)借助于已知函數(shù)例2．解：例3．解：2023/9/1133例2．解：例3．解：2023/8/333例4．解：例4．2023/9/1134例4．解：例4．2023/8/334三、將函數(shù)展成的冪級數(shù)

例5．解：2023/9/1135三、將函數(shù)展成的冪級數(shù)例5．解：2023/8/335例6．解：2023/9/1136例6．解：2023/8/336例7．解：2023/9/1137例7．解：2023/8/337第四節(jié)洛朗級數(shù)2023/9/1138第四節(jié)洛朗級數(shù)2023/8/3382023/9/11392023/8/3392023/9/11402023/8/3402023/9/11412023/8/341一、直接展開法

定理6（洛朗定理）證明：證明：2023/9/1142一、直接展開法定理6（洛朗定理）證明：證明：2023/8/2023/9/11432023/8/3432023/9/11442023/8/3442023/9/11452023/8/3452023/9/11462023/8/346例1．解：---------直接展開法2023/9/1147例1．解：---------直接展開法2023/8/347證明：2023/9/1148證明：2023/8/348二、間接展開法

根據(jù)由正、負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級數(shù)的唯一性，可通過代數(shù)運(yùn)算、變量代換、函數(shù)求導(dǎo)、積分等方法將函數(shù)展開，這種方法稱為間接展開法．

例2．解：2023/9/1149二、間