第6章 數(shù)列 第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和

索索引引第六章數(shù)列第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和考試要求1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.知識診斷基礎夯實內容索引考點突破題型剖析分層訓練鞏固提升知識診斷

基礎夯實ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI1知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于

同一個

非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.qab索引；2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1_qn－1通項公式的推廣：an＝amqn－m.索引3.等比數(shù)列的性質已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.k(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有a

·al＝

.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為

.(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為

.索引am·anqmqn常用結論索引診斷自測1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)索引(1)等比數(shù)列的公比q是一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù).(×

)(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(×

)××解析

(1)在等比數(shù)列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0滿足b2＝ac，但a，b，c不成等比數(shù)列.(3)當a＝1時，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，則S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比數(shù)列.2.(2021·北京一模)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－2，前6項和S6＝21，則a6＝(

D

)A.－32B.－16C.16D.32即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32.索引A索引3.(2021·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝()A.7B.8

C.9D.10解析

易知S2，S4－S2，S6－S4構成等比數(shù)列，由等比中項得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.4.若{an}是公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項和，則下列說法不正確的是(C

)A.若a1＞0，0＜q＜1，則{an}為遞減數(shù)列B.若a1＜0，0＜q＜1，則{an}為遞增數(shù)列C.若q＞0，則S4＋S6＞2S5解析

A，B顯然是正確的；索引5.(2022·全國百校大聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a1a3a11＝8，則a2a8＝4

解析

設公比為q，則an＝a1qn－1，則a1·a1q2·a1q10＝8，索引6.(易錯題)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是

.解析

當q＝1時，a3＝7，S3＝21，符合題意；索引考點突破 題型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUXI2考點一 等比數(shù)列基本量的運算1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝索引C.4D.2由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4.因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.(

C

)A.16

B.8解析

設等比數(shù)列{an}的公比為q，BA.2n－1C.2－2n－1B.2－21－nD.21－n－1解析

設等比數(shù)列{an}的公比為q，索引索引4.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通項公式；解

設{an}的公比為q(q>1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.因此q＝2，a1＝2，所以{an}的通項公式an＝2n.索引(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.解

易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，則數(shù)列{(－1)n－122n＋1}公比為－4.故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1索引感悟提升索引考點二 等比數(shù)列的判定與證明例1

Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；解

易知q≠1，解得a1＝1，q＝3，索引(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.解

假設存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，索引1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.感悟提升索引訓練1

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝n.(1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；證明

∵an＋Sn＝n①，∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1②.②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，又a1＋a1＝1，索引(2)求數(shù)列{an}的通項公式.解

由(1)知索引考點三 等比數(shù)列的性質及應用角度1 項與和的性質例2

(1)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a10＝9，則log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝(

B

)索引解析

log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a

log995＝5，故選B.(2)(2021·衡水模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝1，S30＝7，則S40＝索引

15

.解析

∵等比數(shù)列{an}的前n項和為S10＝1，S30＝7，∴S10、S20－S10、S30－S20、S40－S30成等比數(shù)列，即1、S20－1、7－S20、S40－7成等比數(shù)列，∴(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1、2、4、S40－7成等比數(shù)列，所以S40－7＝8，解得S40＝15.B角度2 等比數(shù)列的最值又3a1＋S1＝4a1＝4，故a1＝1.索引解之得3≤n≤4.索引等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.涉及等比數(shù)列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.感悟提升索引訓練2

(1)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為索引B.9

C.10D.11解析

∵公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.(

B

)A.8(2)(2022·成都診斷)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9A.25C.15B.20D.10解析

在正項等比數(shù)列{an}中，Sn>0，因為S8－2S4＝5，則S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比數(shù)列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，＋a10＋a11＋a12的最小值為(

B

)因為a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.索引解析

法一 由等比數(shù)列的性質知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，設S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6為等比數(shù)列，即a，2a，S9－S6成等比數(shù)列，所以S9－S6＝4a，索引等比數(shù)列前n項和性質的延伸微點突破索引解析

由題設，S偶＝S奇－80，S2n＝－240.例

(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝

2

.索引解析

設等比數(shù)列{an}的公比q，易知S3≠0.則S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.索引3

分層訓練 鞏固提升FENCENGXUNLIAN

GONGGUTISHENGA級基礎鞏固)索引1234567891011121314B.{an}是等差數(shù)列C.當b＝－1時，{an}是等比數(shù)列

D.當b≠－1時，{an}是等比數(shù)列解析

當n＝1時，a1＝S1＝3＋b，當n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，當b＝－1時，a1＝2適合an＝2·3n－1，{an}為等比數(shù)列.當b≠－1時，a1不適合an＝2·3n－1，{an}不是等比數(shù)列.1.設b∈R，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋b，則(CA.{an}是等比數(shù)列D索引1234567891011121314C解析

設等比數(shù)列{an}公比為q，則a7＝a2q5，索引12345678910111213144.(2021·安慶三模)某工廠生產A、B、C三種產品的數(shù)量剛好構成一個公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，現(xiàn)從全體產品中按分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本容量為260的樣本進行調查，其中C產品的數(shù)量為20，則抽取的A產品的數(shù)量為(

C

)A.100

B.140

C.180

D.120解析

∵A、B、C三種產品的數(shù)量剛好構成一個公比為q的等比數(shù)列，C產品的數(shù)量為20，索引1234567891011121314索引12345678910111213145.(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設甲：q＞0，乙：{Sn索引1234567891011121314是遞增數(shù)列，則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析

當a1＜0，q＞1時，an＝a1qn－1＜0，此時數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當數(shù)列{Sn}遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，則qn＜0(n∈N*)，不存在這樣的q，所以甲是乙的必要條件.綜上，甲是乙的必要條件但不是充分條件.BA.32B.31C.30D.29B索引1234567891011121314索引1234567891011121314∵最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，∴a13＝2a1，即a1q12＝2a1，可得q12＝2，索引12345678910111213148.(2021·河南六市聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則a1＝

1

.解析

由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.∴q3＝8，q＝2.索引12345678910111213149.(2022·上海外國語附中月考)設數(shù)列{xn}滿足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)若x1＋x2＋…＋x100＝100，則x101＋x102＋…＋x200＝

100a100

.索引1234567891011121314∴數(shù)列{xn}是公比為a的等比數(shù)列，∵x1＋x2＋…＋x100＝100，∴x101＋x102＋…＋x200＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100.10.等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；解

設數(shù)列{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故{an}的通項公式為an＝(－2)n－1或an＝2n－1.索引1234567891011121314(2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm＝63，求m.索引1234567891011121314由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解.若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.11.已知數(shù)列{an}的前n項和為S