專題48直線的方程

專題48直線的方程知識(shí)梳理考綱要求考點(diǎn)預(yù)測(cè)常用結(jié)論方法技巧題型歸類題型一：直線的傾斜角與斜率題型二：求直線的方程題型三：直線方程的綜合應(yīng)用培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：訓(xùn)練二：訓(xùn)練三：訓(xùn)練四：訓(xùn)練五：訓(xùn)練六：強(qiáng)化測(cè)試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan__α.(2)計(jì)算公式①經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線【常用結(jié)論】直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：1．“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)法向量v＝(A，B)，一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．【方法技巧】1.斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法．2.傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性．3.求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫(xiě)出其方程．②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程．4.在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件，特別是對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程，使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用．5.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可以利用直線點(diǎn)斜式方程的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照得到定點(diǎn)坐標(biāo)．6.求解與直線方程有關(guān)的面積問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長(zhǎng)度，進(jìn)而求得多邊形面積．7.求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．二、【題型歸類】【題型一】直線的傾斜角與斜率【典例1】直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的變化范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))【解析】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).故選B.【典例2】過(guò)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))【解析】設(shè)切線的傾斜角為α，則α∈[0，π)，∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切線的斜率k＝tanα≥－1，則α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故選B.【典例3】若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，則k的取值范圍是________．【解析】當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))時(shí)，k＝tanα∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))；當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))時(shí)，k＝tanα∈[－eq\r(3)，0)．綜上得k∈[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).【題型二】求直線的方程【典例1】經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角為45°的直線方程為()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0【解析】?jī)A斜角為45°的直線的斜率為tan45°＝1，又該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，所以用點(diǎn)斜式求得直線的方程為y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.故選D.【典例2】已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0【解析】設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝k＝2，直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，所得直線的斜率k′＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3，又點(diǎn)M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故選D.【典例3】經(jīng)過(guò)兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量v＝(－3,2)的直線方程為_(kāi)_________．【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，∴直線過(guò)點(diǎn)(1,1)，∵直線的方向向量v＝(－3,2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3).則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.【題型三】直線方程的綜合應(yīng)用【典例1】已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．【解析】法一：設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)，S△AOB＝eq\f(1,2)(1－2k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋(－4k)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.法二：設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，且a＞0，b＞0，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值為eq\f(1,2)×ab＝eq\f(1,2)×8＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.【典例2】已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為_(kāi)_______．【解析】直線方程可化為eq\f(x,2)＋y＝1，故直線與x軸的交點(diǎn)為A(2，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0，1)，由動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，0≤b≤1，故當(dāng)b＝eq\f(1,2)時(shí)，ab取得最大值eq\f(1,2).【典例3】當(dāng)k>0時(shí)，兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為_(kāi)_______．【解析】直線2x＋ky－2＝0與x軸交于點(diǎn)(1，0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝0，,2x＋ky－2＝0，))解得y＝eq\f(2k,k2＋2)，所以兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(2k,k2＋2)＝eq\f(1,k＋\f(2,k))，又k＋eq\f(2,k)≥2eq\r(k·\f(2,k))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝eq\r(2)時(shí)取等號(hào)，故三角形面積的最大值為eq\f(\r(2),4).三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過(guò)，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.【訓(xùn)練二】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，可得，由此可得點(diǎn)在直線上，由此可得，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)為，則，且，即，所以點(diǎn)在直線上，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，故，所以，設(shè)，則，故，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以當(dāng)，時(shí)，取最小值，最小值為.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，直線方程的定義，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.【訓(xùn)練三】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l與曲線相交，交點(diǎn)依次為D、E、F，且，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得曲線的對(duì)稱中心為，則，設(shè)，由，得到，通過(guò)換元求出值，則得到的坐標(biāo)，最后寫(xiě)出直線方程即可.【詳解】，設(shè)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，且其對(duì)稱中心為，將向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，則得到，曲線的對(duì)稱中心為，由，可知點(diǎn)E為對(duì)稱中心，故E的坐標(biāo)為，不妨設(shè)，則由，得，即，令，則，即，，當(dāng)時(shí)，，又l過(guò)，則，直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，，又l過(guò)，則，直線l的方程為綜上，直線l的方程為故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線對(duì)稱中心為，從而得到，然后再去設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出的坐標(biāo)即可.【訓(xùn)練四】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線l：，圓C：，若直線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．r的取值范圍是B．若r的值固定不變，則當(dāng)時(shí)∠ACB最小C．若r的值固定不變，則的面積的最大值為D．若，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)直線l的斜率為1或【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，先整理直線方程，得到直線過(guò)的定點(diǎn)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到半徑r的范圍；B選項(xiàng)，利用平面幾何知識(shí)分析出當(dāng)時(shí)，∠ACB最小，再利用斜率之間的關(guān)系即可判斷；C選項(xiàng)，先將的面積用半徑r和圓心C到直線l的距離d表示，再利用二次函數(shù)的知識(shí)求最值即可；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)得到半徑r和圓心C到直線l的距離d之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，求得a，b之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l：，即，令，解得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，∠ACB最小，因?yàn)?，所以此時(shí)直線l的斜率為，即，即，故B正確；C選項(xiàng)：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則的面積，因?yàn)?，所以，①，即，則當(dāng)時(shí)，的面積最大，且；②若，即，則函數(shù)S隨著d的增大而增大，所以，綜上的面積的最大值為或，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)的面積最大，因?yàn)?，所以，整理得，所以或，因?yàn)椋灾本€l的斜率，所以或，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵：（1）整理直線方程，得到直線過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，并能利用平面幾何知識(shí)分析出圓心角何時(shí)最?。居?xùn)練五】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將兩圓方程作差，得到直線的方程，則（

）A．直線一定過(guò)點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)，使兩圓心所在直線的斜率為C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，兩圓心所在直線與直線垂直D．過(guò)直線上任意一點(diǎn)一定可作兩圓的切線，且切線長(zhǎng)相等【答案】BCD【分析】利用分離參數(shù)法求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)即可判斷A；利用兩圓心坐標(biāo)求斜率進(jìn)而判斷B；利用垂直直線的斜率之積為-1判斷C；設(shè)直線上一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式和勾股定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷D.【詳解】由題意知，，兩式相減，得，A：由，得，則，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：因?yàn)?，故C正確；D：，，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，又，得，即直線與圓相離，，得，即直線與圓相離，所以過(guò)直線上任一點(diǎn)可作兩圓的切線.在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到圓的切線長(zhǎng)為，到圓的切線長(zhǎng)為，則，，所以，即，故D正確.故選：BCD.【訓(xùn)練六】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．作出和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，可得；當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，可得．故k的取值范圍是．故答案為：四、【強(qiáng)化測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，令，解得，即直線恒過(guò)點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以的最大值為.故選：B.2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時(shí)，的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】首先求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，依題意當(dāng)時(shí)弦最小，求出直線的斜率，即可得解.【詳解】直線：，即，令，解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)時(shí)弦最小，因?yàn)?，所以，即，解?故選：B3．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點(diǎn)在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.4．（1991·全國(guó)·高考真題）如果且，那么直線不通過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】化簡(jiǎn)直線方程為直線的斜截式方程，結(jié)合斜率和在軸上的截距，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以、、均不為零，由直線方程，可化為，因?yàn)?，且，可得，，所以直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以不經(jīng)過(guò)第三象限．故選：C.5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)的圓的直徑的弦長(zhǎng)作答.【詳解】直線，即恒過(guò)定點(diǎn)，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，而圓的圓心，半徑，，所以.故選：B6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把直線方程化為，求得直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，又由，可得定點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點(diǎn)到的距離為3【答案】B【分析】對(duì)A，要使，則，所以，解之再驗(yàn)證即可判斷；對(duì)B，要使，，，解之再驗(yàn)證即可判斷；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，與重合，即可判斷；對(duì)D，根據(jù)點(diǎn)到直線距離列方程即可判斷.【詳解】對(duì)A，要使，則，所以，解之得，此時(shí)與重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，要使，，，解之得，所以B正確；對(duì)C，過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)在上，但是當(dāng)時(shí)，與重合，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，化簡(jiǎn)得，此方程，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以D錯(cuò)誤.故選：B.8．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線和直線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為．設(shè)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，的最小值是；③當(dāng)時(shí)，的最小值是；④無(wú)論為何值，都存在最小值．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)①：直接聯(lián)立方程求解，對(duì)②③④：由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線定義，數(shù)形結(jié)合找到t的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】對(duì)①：當(dāng)時(shí)，則直線，聯(lián)立方程，解得或（舍去），即，所以，故①正確；因?yàn)榈街本€的距離，可得，又因?yàn)椋瑒t，拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義知，即，故，因?yàn)榈街本€的距離，過(guò)且與直線垂直的直線為，聯(lián)立方程，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，則，所以的最小值是，此時(shí)點(diǎn)，故②正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槿〔坏近c(diǎn)，所以無(wú)最小值，故③④錯(cuò)誤；綜上所述：正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可得，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析最值，并注意等號(hào)成立的條件.二、多選題9．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．直線能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線都與圓相交D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，變形后聯(lián)立方程組，求出所過(guò)定點(diǎn)；B選項(xiàng)，在A的基礎(chǔ)上，得到直線不能表示直線，也不能表示不過(guò)點(diǎn)的直線；C選項(xiàng)，由點(diǎn)到直線距離公式得到在圓內(nèi)，從而得到直線都與圓相交；D選項(xiàng)，根據(jù)幾何關(guān)系得到弦長(zhǎng)最值.【詳解】對(duì)于A：直線的方程可化為，聯(lián)立，解得所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，∴A正確；對(duì)于B：由A可知，直線不能表示直線，也不能表示不過(guò)點(diǎn)的直線，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋手本€恒過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，所以直線與圓相交，∴C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，因?yàn)椋宰疃滔议L(zhǎng)為，∴D正確．故選：ACD．10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B．的最小值為C．點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．是銳角【答案】AB【分析】由兩圓方程相減可得交點(diǎn)弦，即可可判斷A，根據(jù)直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可求解C,由勾股定理即可判斷CD.【詳解】設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，可得所在直線方程：，即，故可知恒過(guò)定點(diǎn)A正確；到過(guò)定點(diǎn)的直線距離的最大值為：，，故最小值為.B正確，當(dāng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，且最大值為，故C錯(cuò)誤；圓心到的距離為，由于,在直角三角形中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正好時(shí)，此時(shí)最小，的張角最大，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于其它點(diǎn)時(shí)均為銳角，故，不恒為銳角，D錯(cuò)誤.故選：AB11．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．存在使得直與直線垂直C．對(duì)于任意，直線與圓相交D．若直線過(guò)第一象限，則【答案】ABC【分析】對(duì)于A：化簡(jiǎn)成點(diǎn)斜式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)論，C選項(xiàng)首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得出結(jié)論，B、C是通過(guò)特值得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：∵，∴，∴，故A正確；對(duì)于B：時(shí)符合題意，故B正確；對(duì)于C：化簡(jiǎn)得：∴，解得∴直線過(guò)定點(diǎn)，又∵∴該定點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓相交，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)此時(shí)直線為，經(jīng)過(guò)第一象限，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為 B．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則C．若，則或 D．若A，B，C，O四點(diǎn)共圓，則【答案】ACD【分析】判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、圓的對(duì)稱性、點(diǎn)到直線的距離公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】直線過(guò)點(diǎn)，圓，即①，圓心為，半徑為，由于，所以在圓內(nèi).，所以，此時(shí)，所以A選項(xiàng)正確.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過(guò)兩點(diǎn)，斜率為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，則，此時(shí)三角形是等腰直角三角形，到直線的距離為，即，解得或，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，的中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線為，則②，圓的方程為，整理得③，直線是圓和圓的交線，由①-③并整理得，將代入上式得，④，由②④解得，所以直線即直線的斜率為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解直線和圓位置關(guān)系有關(guān)題目，首先要注意的是圓和直線的位置，是相交、相切還是相離.可通過(guò)點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷，也可以通過(guò)直線所過(guò)定點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判斷.三、填空題13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則．【答案】13【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，所以.故答案為：13.14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l：被圓C：所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.【答案】9【分析】根據(jù)題意可知直線l恒過(guò)定點(diǎn)，分別求得直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值和最小值，利用對(duì)稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)；圓心，半徑；所以當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)取最大值，此時(shí)弦長(zhǎng)為直徑；易知，當(dāng)圓心與的連線與直線l垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，如下圖所示；此時(shí)弦長(zhǎng)為，所以截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)可取；由對(duì)稱性可知，當(dāng)弦長(zhǎng)為時(shí)，各對(duì)應(yīng)兩條，共8條，當(dāng)弦長(zhǎng)為8時(shí)，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：915．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，即可得到切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.【詳解】，，，，切線方程為：即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，三角形面積為：.故答案為：.16．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．作出和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，可得；當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，可得．故k的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．（2003·北京·高考真題）如圖，為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)寫(xiě)出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)線段上異于O，A的任一點(diǎn)K作的垂線，交橢圓于P，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線上．【答案】(1)橢圓的方程為，準(zhǔn)線方程為；(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)，點(diǎn)，由題可得直線與的方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證即得.【詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為，則，∴，所以橢圓的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)，點(diǎn)，其中，則，直線的方程為，直線的方程為，由，可得，所以，又，因?yàn)?，所以直線與交于點(diǎn)M在雙曲線上.18．（1977·北京·高考真題）一條直線過(guò)點(diǎn)，并且與直線平行，求這條直線的方程．【答案】【分析】根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再代入坐標(biāo)即可求解【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以設(shè)該直線為，將代入得，解得，所以這條直線的方程為19．（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長(zhǎng)(3)求AB邊的高所在直線方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點(diǎn)斜式得直線方程；（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得；（3）先求直線AB的斜率，由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率，可得高線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.【詳解】（1）法一：由兩點(diǎn)式寫(xiě)方程得，即；法二：直線的斜率為，直線