數(shù)學(xué)人教A版必修3課堂探究2.2用樣本估計總體（第2課時）

課堂探究1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系剖析：(1)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計值就是最高矩形上端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積相等，但是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的特征，因而從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計值往往與樣本的實際中位數(shù)的值不一致．(3)平均數(shù)顯然是頻率分布直方圖的“重心”．在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差剖析：(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．(3)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．題型一計算方差(標(biāo)準(zhǔn)差)【例題1】從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如下表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為________．分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010解析：這100人的總成績?yōu)?×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成績?yōu)閑q\f(300,100)＝3，則該100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(1,100)[(5－3)2×20＋(4－3)2×10＋(3－3)2×30＋(2－3)2×30＋(1－3)2×10])＝eq\f(2\r(10),5).答案：eq\f(2\r(10),5)反思求一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的步驟如下：①先求平均數(shù)eq\x\to(x).②代入公式得方差和標(biāo)準(zhǔn)差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2]).題型二眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用【例題2】某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計月工資(元)22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計22000150001100020000100069000(1)指出這個問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．(2)這個問題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？解：(1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為(22000＋15000＋11000＋20000＋1000)÷23＝69000÷23＝3000(元)．(2)雖然平均數(shù)為3000元/月，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平．反思(1)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值．在實際應(yīng)用中，如果同時知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端數(shù)據(jù)信息，幫助我們作出決策．(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的特征，它是各個數(shù)據(jù)的重心.題型三方差的應(yīng)用【例題3】甲、乙兩臺包裝機(jī)同時包裝質(zhì)量為200克的糖果，從中各抽出10袋，測得其實際質(zhì)量分別如下(單位：克)：甲：203204202196199201205197202199乙：201200208206210209200193194194(1)分別計算兩個樣本的平均數(shù)與方差．(2)從計算結(jié)果看，哪臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的平均質(zhì)量更接近于200克？哪臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定？解：(1)eq\x\to(x甲)＝eq\f(1,10)(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8.eq\x\to(x乙)＝eq\f(1,10)(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝201.5.seq\o\al(2,甲)＝7.96，seq\o\al(2,乙)＝38.05.(2)∵200＜eq\x\to(x甲)＜eq\x\to(x乙)，∴甲臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的平均質(zhì)量更接近于200克．∵seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定．反思研究兩個樣本的波動情況或比較它們的穩(wěn)定性、可靠性等性能好壞的這類題，先求平均數(shù)，比較一下哪一個更接近標(biāo)準(zhǔn)．若平均數(shù)相等，則再比較兩個樣本方差的大小來作出判斷．在計算過程中，要仔細(xì)觀察所給樣本數(shù)據(jù)的特征，選擇恰當(dāng)?shù)墓絹碛嬎闫骄鶖?shù)和方差，這樣可避免計算的煩瑣，降低錯誤率.題型四易錯辨析【例題4】小明是班里的優(yōu)秀學(xué)生，他的歷次數(shù)學(xué)成績是96,98,95,93分，但最近的一次考試成績只有45分，原因是他帶病參加了考試．期末評價時，怎樣給小明評價？錯解：這五次數(shù)學(xué)考試的平均分是eq\f(96＋98＋95＋93＋45,5)＝85.4，則按平均分給小明一個“良好”．錯因分析：這種評價是不合理的，盡管平均分是反映一組數(shù)據(jù)平均水平的重要特征，但任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起它的變化，而中位數(shù)則不受某些極端值的影響．本