2022-2023學年廣東省肇慶市高一年級下冊學期期中聯(lián)考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年廣東省肇慶市高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算求出z，然后由虛部定義可得.【詳解】由題得所以復數(shù)z的虛部為.故選：A2．關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【分析】利用向量的概念可判斷ABD選項，取可判斷C選項.【詳解】對于A選項，若，但、不一定相等，A錯；對于B選項，若，則，B對；對于C選項，取，則，成立，但、不一定共線，C錯；對于D選項，若，但、不能比較大小，D錯.故選：B.3．如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．4．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則為（

）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【答案】C【分析】由正弦定理可得，即可得解.【詳解】在中，，，，所以由正弦定理得，所以，又，所以.故選：C.【點睛】本題考查了正弦定理解三角形的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知向量滿足，則（

）A．8 B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)模長平方可得.【詳解】因為，所以，又因為所以，所以.故選：D.6．如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點，從A點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因為在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A7．已知為棱長4的正四面體，則該正四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過補形的方法求得正確答案.【詳解】將正四面體補形成正方體如下圖所示，正四面體的棱長為，所以正方體的邊長為，所以正方體的對角線長為，所以正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為，所以外接球的表面積為.故選：C

8．在中，則為（

）A．直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰非等邊三角形【答案】C【分析】通過平面向量的數(shù)量積將化簡，結(jié)合正弦定理可得的關(guān)系，再將化簡可得B，進而可以判斷三角形的形狀.【詳解】由題意：，∴，∴，即，由正弦定理：，∵是三角形內(nèi)角，∴由，所以三角形是等邊三角形.故選：C.二、多選題9．用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何體可能是A．圓錐 B．圓柱 C．三棱錐 D．正方體【答案】ACD【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，三棱錐平行于底面的截面是三角形，正方體的截面可能是三角形，如圖：故選：ACD【點睛】此題考查物體截面辨析，關(guān)鍵在于熟悉常見幾何體的幾何特征，分析截面可能的情況.10．已知復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則共軛復數(shù) B．若復數(shù)，則C．若復數(shù)z為純虛數(shù)，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)每個選項里的條件，求出相應(yīng)的結(jié)果，即可判斷選項的正誤.【詳解】對于A，時，，則，故A錯誤；對于B，若復數(shù)，則滿足，解得，故B正確；對于C，若復數(shù)z為純虛數(shù)，則滿足，解得，故C錯誤；對于D，若，則，，故D正確.故選：BD.【點睛】本題主要考查對復數(shù)相關(guān)概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基礎(chǔ)題.11．已知向量，，則（

）A．若與垂直，則 B．若，則的值為C．若，則 D．若，則與的夾角為【答案】BC【解析】利用平面向量垂直的坐標表示可判斷A選項的正誤；利用平面向量共線的坐標表示與平面向量數(shù)量積的坐標表示可判斷B選項的正誤；利用平面向量的模長公式可判斷C選項的正誤；利用平面向量夾角余弦的坐標表示可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，則，解得，A選項錯誤；對于B選項，，，，B選項正確；對于C選項，若，則，所以，，C選項正確；對于D選項，若，則，，此時，與的夾角不是，D選項錯誤.故選：BC.12．已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且，，，則下列命題中正確命題為（

）A．； B．；C．； D．【答案】BCD【分析】利用向量加法、減法、數(shù)乘運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】，A錯誤.，B正確.，C正確.，D正確.故選：BCD三、填空題13．在中，已知，，，則.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理即可求出的余弦值.【詳解】在中，.故答案為：14．已知，，，則向量在向量上的投影向量為．【答案】【分析】求出和即得解.【詳解】∵，又，∴，又，所以向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：15．若，且，則的最小值為【答案】4【分析】利用復數(shù)的幾何意義，可知則表示z點對應(yīng)的復數(shù)與點(3,4)之間的距離，再求出其最小值.【詳解】復數(shù)z滿足，點z表示以原點為圓心、1為半徑的圓，則表示z點對應(yīng)的復數(shù)與點(3,4)之間的距離.原點O到點(3,4)之間的距離d=5，∴的最小值為5-1=4.故答案為：4.16．祖暅（公元5-6世紀），祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學家．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等；該原理在西方直到十七世紀才由意大利數(shù)學家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖將底面直徑皆為2b，高皆為a的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高d處可橫截得到及兩截面，可以證明總成立．據(jù)此，b為，a為的橢球體的體積是．【答案】【分析】根據(jù)題意利用圓柱體和圓錐體計算對應(yīng)橢球體的體積即可．【詳解】根據(jù)題意知，該橢球體的體積是．故答案為：四、解答題17．求實數(shù)m的值或取值范圍，使得復數(shù)分別滿足：(1)z是實數(shù)；(2)z是純虛數(shù)；(3)z是復平面中對應(yīng)的點位于第二象限.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)復數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；（3）根據(jù)復數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，所以；（2）由題意得，所以；（3）由題意得，所以.18．已知向量，，．（1）若點A，B，C共線，求實數(shù)m的值；（2）若△ABC為直角三角形，求實數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）或【分析】首先求出，，的坐標；（1）依題意可得，再根據(jù)平面向量共線的坐標表示計算可得；（2）對直角分三種情況討論，若為直角，則，所以，即可求出參數(shù)的值，其余類似；【詳解】解：（1）因為，，，所以，因為、、三點共線，所以，所以，解得（2）①若為直角，則，所以，解得②若為直角，則，所以，解得③若為直角，則，所以，即，因為，所以方程無解；綜上可得，當或時為直角三角形19．正棱錐S﹣ABCD的底面邊長為4，高為1.求：（1）棱錐的側(cè)棱長和側(cè)面的高；（2）棱錐的表面積與體積.【答案】（1）側(cè)棱長為，側(cè)面的高為；（2）表面積，體積為.【分析】（1）設(shè)為正四棱錐的高，則，作，連結(jié)，分別在和，即可求得棱錐的側(cè)棱長和側(cè)面的高；（2）由（1）利用棱錐的側(cè)面積公式和體積公式，即可求解.【詳解】（1）如圖所示，設(shè)為正四棱錐的高，則，作，則為中點，連結(jié)，則，因為，可得，在中，，在中，，所以棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面的高為.（2）棱錐的表面積為=，幾何體的體積為.20．設(shè)向量（I）若（II）設(shè)函數(shù)【答案】（I）（II）【詳解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，從而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，當x∈時，－≤2x－≤π，∴當2x－＝時，即x＝時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.21．如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為20海里的C處有一艘緝私艇奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間．【答案】緝私艇沿北偏東行駛才能最快追上走私船，所需時間小時【分析】設(shè)緝私艇在點D處追上走私船，所需t小時，在中，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得，從而可得，在中，由正弦定理即可得出答案.【詳解】解：設(shè)緝私艇在點D處追上走私船，所需t小時，則海里，海里，因為，在中，由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得，所以，所以BC為東西方向，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，即，即（小時），所以緝私艇沿北偏東行駛才能最快追上走私船，所需時間小時.22．已知銳角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且．(1)證明：；(2)若為的角平分線，交AB于D點，且．求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合角