2022屆上海延安高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點P（2&,-a）,漸近線方程為y=的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

3.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：2017年該工廠

口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%）,根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）

A.2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少

B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯

C.三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩

D.口罩的產(chǎn)量逐年增加

4.設(shè)加，〃是空間兩條不同的直線，a,/是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題:

①若m/1a,nl//3,a11/3,則

②若a_L/?,m±j3,m^a,則加//a；

③若/〃_L〃，〃?_La,a!IP,貝!]〃//月；

④若。"L/?,an，=/，mlla,mil,則〃其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）

.326j

A.----+64B.8百+6萬

3

「327316萬c仄16〃

D.8。3H----

333

/（X）是定義在（0,+8）上的增函數(shù)，且滿足：/（X）的導(dǎo)函數(shù)存在，且犬^<x,則下列不等式成立的是（

6.)

A./(2)<2/(1)B.3H3)<4〃4)

C.2/(3)<3/(4)D.3/(2)<2/(3)

7.中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A、3、C、

D、E為頂點的多邊形為正五邊形，且PT=苴二!?AP,則否一避二1函=（）

22

A

p

bc

△理萬年而浮而dH■鋌

8.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖D,充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)

學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太

陽光線）的夾角等于黃赤交角.

圖2

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表:

黃赤交角23。4r23°57,24°13,24。28'24。44'

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

x—2y—2<0

9.若工、滿足約束條件r—y+lNO，則z=3x+2y的最大值為（）

y<0

A.5B.9C.6D.12

10.設(shè)/（幻=廠4'*咒貝!1/（/（-2））=（）

2r,x<0

11

A.-1B.-C.-

42

11.正三棱柱ABC-AAG中，A\=4iAB,。是3C的中點，則異面直線與AC所成的角為（）

71K冗TC

A.B.

6472

12.已知函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xe(l,”)時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，設(shè)a=b=/(3),c=/(O),

則。、b、c的大小關(guān)系為()

A.h<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<h<c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛q｝滿足q=2,靠「?=2,若％=2阿，則數(shù)列也｝的前〃項和S,=.

14.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，4+g=-2,々+生=6,則％=.

15.滿足約束條件12+2|丫氏2的目標(biāo)函數(shù)2=y一%的最小值是.

16.如圖所示，點A(l,2),3均在拋物線y2=4x上，等腰直角AABC的斜邊為8C,點C在x軸的正半軸上，則點

B的坐標(biāo)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，高二年級準(zhǔn)備成立一個環(huán)境保

護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理

科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4

人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.

(1)設(shè)事件A為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有“，求事件A發(fā)

生的概率；

(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(12分)已知函數(shù)/(%)=!%-21+|%-4|.

(1)解關(guān)于x的不等式/")?4；

(2)若函數(shù)/(x)的圖象恒在直線機-1］的上方，求實數(shù)用的取值范圍

19.(12分)已知點A為圓C：(x—1)2+V=1上的動點，。為坐標(biāo)原點，過尸(0,4)作直線的垂線(當(dāng)A、0

重合時，直線。4約定為)，軸)，垂足為M，以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求點M的軌跡的極坐標(biāo)方程；

(不、\0A\

(2)直線/的極坐標(biāo)方程為psin6+-=4,連接。4并延長交/于B,求舄的最大值.

20.(12分)已知矩陣股=［；'：］(9eR)不存在逆矩陣，且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量〃==,求a,。的值.

h41

21.(12分)如圖，設(shè)A是由〃x〃個實數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，其中劭①j=i,2,3,…，〃)表示位于第i行第/

列的實數(shù)，且劭e{L-1}.記S(〃，")為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于Ae(〃，〃)，記r,(A)為A的第i行各數(shù)之積,

q(A)為A的第j列各數(shù)之積.令/(A)=2)；(4)+Zc/(A)

<=1

?11412…d\n

021022ain

????????????

???dnn

(I)請寫出一個AeS(4,4),使得4閨=0；

(II)是否存在A€S(9,9),使得兒4)=0?說明理由；

(IH)給定正整數(shù)〃，對于所有的AeS(〃，〃)，求/(4)的取值集合.

-121「10］

22.(10分)已知矩陣加=,MN=.

21J|_01

(1)求矩陣N；

⑵求矩陣N的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為y=±也X,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.再把點（20,一夜）代入，

求得k的值，可得要求的雙曲線的方程.

【詳解】

?.?雙曲線的漸近線方程為y=土近X,.?.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.又（2夜,-J5）在雙曲線上，則

22

k=16-2=14,即雙曲線的方程為2x2一2=14,.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為上一上=]

714

故選：B

【點睛】

本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項4G當(dāng)xf（T時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.

【詳解】

（九、

y-sinx——-In|x|=-cosxln|x|,

<2）

丁?-cos（-x）In|—x|=—cosxIn|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項A,G

當(dāng)正數(shù)x越來越小，趨近于0時，-cosx<0,ln|x|<0,

所以函數(shù)^二五!!（尤一!^）ln|x|>0,故排除選項8,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

3.C

【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的

正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法

比較，故A、B、D選項錯誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最

多的是口罩，C選項正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：①：〃?、〃也可能相交或異面，故①錯

②：因為a_L/7,mL/3,所以機ua或加//&,

因為Wa,所以m//a,故②對

③：〃//月或〃u力，故③錯

④：如圖

因為尸，。口，=/,在內(nèi)a過點E作直線/的垂線

則直線aLl

又因為/〃//a,設(shè)經(jīng)過〃?和夕相交的平面與a交于直線b,則加//8

又機_U,所以人_U

因為a_U,b±l,bua,aua

所以。//a/〃w,所以故④對.

故選：C

【點睛】

考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體，分別求解兩個部分的體積，加和得到結(jié)果.

【詳解】

由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個圓柱，上半部分為一個四棱錐

1,1,

半個圓柱體積為：匕=—萬廣。=—乃x2~x3=6萬

22

四棱錐體積為：V,=-S/Z=-X4X3X2A/3=8^

?33

原幾何體體積為：V=h+%=8百+6〃

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.

6.D

【解析】

根據(jù)“X)是定義在(0,+紇)上的增函數(shù)及〈界有意義可得r(x)>0,構(gòu)建新函數(shù)g(x)=/5,利用導(dǎo)數(shù)可得

g(x)為(0,+紇)上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.

【詳解】

因為“％)是定義在(0,+。)上的增函數(shù)，故r(x)“.

f(x\

又分'有意義，故/'(力工0,故/'(x)>0,所以/(司<4'(%).

令g(x)=W，貝！|g，(x)=/(U)〉0，

故g(x)在(0,+紀(jì))上為增函數(shù)，所以g⑶〉g⑵即W>W，

整理得到2/(3)>3/(2).

故選：D.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.

7.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】

解：行—墾1屈=而—既=麗=墾1森.

22

故選：A

【點睛】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤

交角，即可得到正確選項.

【詳解】

解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為￡，春秋分日光與垂直線夾角為￡,

則a-萬即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

/小tana—tan￡1.6-0.66八

tan(a-/7)=---------------=--------------------?0.457.

1+tana?tan°l+1.6x0.66

?.?0.455<0.457<0.461,

估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及

數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

9.C

【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=3x+2y,找出直線在）’軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)

計算即可.

【詳解】

x-2y-2<0

作出滿足約束條件x-y+lNO的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示.

y.

/<?\/x-y+1=0

□4737

由z=3x+2y,得y=+7平移直線y=—；x+：,當(dāng)直線y=—+￡經(jīng)過點（2,0）時，該直線在）'軸上

的截距最大，此時Z取最大值，

即Zmax=3x24-2x0=6.

故選：C.

【點睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

試題分析：???/(-2)=2q=1,.?./(/(一2))=/[1]=]_/!=]_'=!.故C正確.

414,V422

考點：復(fù)合函數(shù)求值.

11.C

【解析】

取片G中點后，連接AE，CE,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出A￡〃AO,則/。建即為異面直線AO與AC所

CE

成角，求出tan/C4E=”，即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，取用G中點E,連接A|E,CE,

由于正三棱柱ABC-4&G,則B&±底面A四G,

而AEu底面AMG，所以

由正三棱柱的性質(zhì)可知，△A4G為等邊三角形，

所以且AEn6G=E,

所以4后，平面8BCC，

而ECu平面BBCC，則

則4石〃皿“EC=9?！?

:.NC4E即為異面直線AO與4c所成角，

設(shè)AB=2,則AA=2X/LAE=6，C￡=3,

則tanZ.CA^E=--=—f==G,

J3

??乙=-?

故選：c.

【點睛】

本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.

12.A

【解析】

根據(jù)〃x+l）圖象關(guān)于軸對稱可知“X）關(guān)于X=1對稱，從而得到“X）在（一8,1）上單調(diào)遞增且/（3）=/（-1）；

再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】

Q/（x+l）為偶函數(shù)；./（x+l）圖象關(guān)于）'軸對稱

???/（x）圖象關(guān)于x=l對稱

3?1,+8）時，“X）單調(diào)遞減時，“X）單調(diào)遞增

又/⑶=/（一1）且T<—3<。?-即。

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的

單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

嘰-％=2,求得乙的通項，進而求得a”=21?,得b”通項公式，利用等比數(shù)列求和即可.

n+1nn

【詳解】

由題1%］為等差數(shù)列，.?.％=號+n-1x2=2na”=2/b_=22n,=叩一叫=--4，故答案為

InJn1ni-43

4n+,-4

3

【點睛】

本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

14.81

【解析】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,利用等比數(shù)列通項公式求出《國，代入等比數(shù)列通項公式即可求解.

【詳解】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為心由題意知，

q+a2

因為％+4=-2,由等比數(shù)列通項公式可得，

%-3q=-2,解得％=1,

由等比數(shù)列通項公式可得，

a5=ad=1x(-3)，=81.

故答案為：81

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.

15.-2

【解析】

可行域|x|+21)，|<2是如圖的菱形ABCD,

代入計算,

知ZA=0-2=-2為最小.

16.(3,2⑹

【解析】

設(shè)出8,C兩點的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得B的坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)B(a,0),C(c,0),(a,"c>0),由于B在拋物線上，所以=4。.由于三角形ABC是等腰直角三角形，ACVBA,

所以廉?岫=占?|51=一1.由I^RACl得J(l_4+(2-Op=j4+(l—c『，化為

，〃2Y642「-|r-

1--+(2—4=4+；~~可得(4一〃)216+(2+方=64x16+(2+4，所以〃一4=8,解得

\4J(2+。)

6=26，則a=3.所以8(3,26).

故答案為：(3,273)

【點睛】

本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)會(2)見解析

【解析】

(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可(2)由超

幾何分布求解即可

【詳解】

(1)因為學(xué)生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人,

文科男生1人，女生3人.

的以P(小CW404

所以P(A)——加一萬.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

X的分布列為

X0123

￡31

P

621030

11316

EX=0x-+lx-+2xj3x—=

6210305

【點睛】

本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題

18.(1)[1,5](2)(-1,3)

【解析】

(D零點分段法分XW2,2Vx<4,xN4三種情況討論即可;

(2)只需找到了(x)的最小值即可.

【詳解】

-2x+6,x<2

(1)由/(x)=?2,2<x<4.

2x-6,x>4

若xW2時，/(x)=—2x+6W4,解得|<x<2；

若2Vx<4時，/(x)=2<4,解得2<xv4；

若xN4時，/(x)=2x-6<4,解得4<xW5；

故不等式/*)44的解集為[1,5].

(2)由/(x)(x—2)—(x—4)|=2,有|，九一1|<2,得一

故實數(shù)山的取值范圍為(T,3).

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題，考查學(xué)生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題.

19.(1)p=4sin6；(2)2+^

8

【解析】

(1)設(shè)"的極坐標(biāo)為(夕,。)，在AOPM中，有。=4sin。，即可得結(jié)果；

⑵設(shè)射線。4：0=a,L圓。的極坐標(biāo)方程為。=2cos8,聯(lián)立兩個方程，可求出儂，聯(lián)立

、

Psin^+y

4..sin〔2a+fTC1+g,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

可得|o@,則計算可得

731_43O

3=a

【詳解】

(1)設(shè)M的極坐標(biāo)為(°,。)，在AOPM中，有。=4sin。,

???點M的軌跡的極坐標(biāo)方程為P=4sin0；

7T7T\

(2)設(shè)射線04：0=a,ctG圓C的極坐標(biāo)方程為。=2cose,

p=2cos0

由*得：|。4|=4=2cosa,

6=a

4

「sin(8+?4俎.1°回=2=一

由，71

7得：sina+

0=a3

,儂2cosa

,\0B-4-

.兀

sina+一

I3

—+巴7t

23

1.(.71.71

二一cosasinsincrcos—+cosasin—

233

L…a+&)s2a

44

=gsin2a+(cos2a+1)

△sin2a+兀W+V3

43V

7in

Qae

2兀八汽4兀

.----<2a+—<—

333

2+73

???當(dāng)2a+?q

即a=—時9

1I聞8

max

\0A\2+S

??.舄的最大值為

\0B\8

【點睛】

本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

。=4

20.

b=—\

【解析】

由M不存在逆矩陣，可得出?=T,再利用特征多項式求出特征值3,0,Ma=3a，利用矩陣乘法運算即可.

【詳解】

因為“不存在逆矩陣，det(M)=1；=。，所以"Z.

2+1-a

矩陣M的特征多項式為/□)==A2—3A—4—ab=A2—32,

-b2-4

令./?(/l)=0,則2=3或2=0,

所以Me=3a,即入[]=3，

—1+tz—3a=4

所以《,,°，所以〈

8+4=3h=-1

【點睛】

本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題，考查學(xué)生的運算能力，是一道容易題.

21.(I)答案見解析；(II)不存在,理由見解析；(HD析(〃-2?|%=0,1,2,…

【解析】

(I)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意；

(D)用反證法證明：假設(shè)存在，得出矛盾，從而證明結(jié)論；

(m)通過分析正確得出/(A)的表達式，以及從A。如何得到小，A2……,以此類推可得到4.

【詳解】

(I)答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.

因為晨A)e{1,-1},Cj(A)e{l,—l}(i,/=1,23…,9),

所以/;(A),弓(A),4(A),q(A),C2(A),...?。式A)這18個數(shù)中有9個1,9個-1.

令M=/j(A)-^(A)...^(A)-c1(A).c2(A)...c9(A).

一方面，由于這18個數(shù)中有9個1,9個-1,從而加=(一1)9=—1①，

另一方面，4(A)"(A)…6(A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個實數(shù)之積為機)；

。(A),。2(A)…C9(A)也