第九章重積分

第九章重積分第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二重積分的計算統(tǒng)一定義：上函數(shù)f(x)的黎曼積分第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月xozyD二重積分定義：D第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分的幾何意義第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月1.x－型區(qū)域與y－型區(qū)域x－型區(qū)域：穿過D內(nèi)部且垂直于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個。D表示為：a

x

b

1(x)

y

2(x)xoyDy=2(x)y=1(x)axb一、直角坐標(biāo)系下二重積分的計算第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月D：c

y

d

1(x)

x

2(x)y－型區(qū)域xoycdDx=2(y)x=1(y)y第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月yxzo2.計算公式的推導(dǎo)(形式推導(dǎo))(1)設(shè)f(x,y)0,D為x–型區(qū)域從幾何意義考慮，求曲頂柱體體積用平面x=x0截曲頂柱體，得一截面x0aby=2(x)y=1(x)

1(x0)

2(x0)A(x0)第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月此截面面積為A(xo)，則將之投影到y(tǒng)–z平面上，曲邊梯形由y=

1

(xo),y=

2(xo),z=0,z=f(xo,y)圍成，故第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月故體積為記為第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，二重積分的計算公式為(f(x,y)任意符號)(1)(2)同理，對y–型區(qū)域D：c

y

d,

1(y)x

2(y)(2)第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)當(dāng)D既是x－型區(qū)域：a

x

b,

1(x)y

2(x)(3)又是y－型區(qū)域：c

y

d,

1(y)x

2(y)有xoyy=2(x)y=1(x)axbydcx=2(y)x=1(y)第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)當(dāng)D是任意區(qū)域時，用直線將D先分割為x－型區(qū)域和y－型區(qū)域，D1,D2,…Dn，再利用積分在區(qū)域上的可加性xoyD1D2D3xoyD1D2D3D4第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.例題：例1.計算，其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的區(qū)域.解法1:由圖5－5，D可表示為x型區(qū)域：于是，由公式(2)，得第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月x0y1D21y=x圖5－5第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解法2:由圖5－5，區(qū)域D可表示為y型區(qū)域：于是，由公式(3)，得第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.計算解:第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.計算,其中D是由拋物線y2=x與直線y=x–2所圍成的區(qū)域。解:聯(lián)立方程組解此方程組得D的兩條邊界線的交點為A(1,–1),B(4,2).0xyA(1,

1)B(4,2)y2=xy=x–2由圖5－6可知，應(yīng)將D視為y型區(qū)域，選擇先對x后對y的積分順序.圖5－6第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月由公式(3)，得第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月此題若選擇先對y后對x的積分順序，則必須對D進(jìn)行劃分.則用x=1將D分成兩個區(qū)域D1和D2：第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.交換下列積分的積分順序：解:由積分可知，積分區(qū)域D為它是由直線y=0,y=1及曲線x0yy=11D2D3D1第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解方程組得交點：聯(lián)立方程組第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月利用直線將區(qū)域D分成D1，D2和D3三個部分：第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月于是第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例題1.則第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.求由曲線所圍成的平面圖形的面積A.解:

由故所求面積為圖中的陰影部分D.x0y2y=2x第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月交點為(2,4),(3,2),(5,10).從而聯(lián)立方程組，求交點：第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月故所求面積第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2.

求D由y=0,x=1,y=x圍成.解:思考：前一個不定積分如何求出來的？xoy1y=x第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月1.曲線之間的變換與區(qū)域之間的變換二、二重積分換元法第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月將xy面上的區(qū)域變換成uv面上的區(qū)域.將xy面上線變換成uv面上的線xoyuovMDxyM'Duv在一定條件下通過變換將xy面上點變換成uv面上的點第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，u=xy,v=y/x點(1,1)(1,1)

xoy(1,1)xy=1xy=2D(1/2,2)(1,4)第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月線xy=1

u=1

區(qū)域D

D'uov(1,1)(2,1)(2,4)(1,4)D'xy=2

u=2y=x

v=1y=4x

v=4第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)變換T:x=x(u,v),y=y(u,v)將uv平面上的有界閉區(qū)域Duv變?yōu)閤y平面上的有界閉區(qū)域Dxy，2.定理(換元法)且滿足第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月注1：注2：一定要將有界區(qū)域變?yōu)橛薪鐓^(qū)域.如將但將第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例5:計算解:作變換即,第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月故第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.計算解:積分區(qū)域D如圖所示.則作變換Tx+y=1–

x+y=1x+y=–1x–y=1xy0第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月而故=0第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.求由曲線所圍成的平面圖形D的面積A.解:令第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月在變換T下,由曲線所圍成的平面區(qū)域D變成區(qū)域D＊：由公式(5)，得所求面積第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3.求橢圓所圍成的區(qū)域的面積.解:所求面積將題中橢園變?yōu)閡v面上園:u2+v2=1=ab第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)直角坐標(biāo)系下二重積分的積分區(qū)域Dxy經(jīng)變換變成相坐標(biāo)系下的區(qū)域三、利用極坐標(biāo)計算二重積分=r

因第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月故得利用極坐標(biāo)計算二重積分的公式其中r,

的累次積分上下限的確定不外乎下列諸情形之一.第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)Dr

:oA第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)Dr

:oA第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)Dr

:oA第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.計算解:令故(如果直接運用直角坐標(biāo)進(jìn)行計算，則由于積分不能用初等函數(shù)表示,所以積分算不出來.)第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月P202例1證明證:令則由化重積分為累次積分的公式，得注意到夾在以原點為中心,半徑分別為a和的兩個圓域之間，第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月其中故xy0第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月運用極坐標(biāo)計算上述不等式左、右兩端的二重積分：第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有即第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.計算解:令第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.計算解:該曲線即令是圓心為xy0第54頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月由對稱性，有第55頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.求位于圓r=a以外及圓r=2acos

以內(nèi)的平面部分的面積A.