數(shù)學(xué)分析課件 高斯公式與斯托克斯公式

§3高斯公式與斯托克斯公式高斯公式與斯托克斯公式都是格林公式的推廣.格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系;高斯公式建立了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的第二型曲面積分之間的關(guān)系;斯托克斯公式建立了空間曲面上的第二型曲面積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系.返回一、高斯公式

二、斯托克斯公式

一、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).(1)式稱為高斯公式.證下面只證讀者可類似這些結(jié)果相加便得到高斯公式(1).先設(shè)V是一個(gè)

xy

型區(qū)域,即其邊界曲面

S由曲面證明其余兩式:及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積分的計(jì)算方法,有其中都取上側(cè).又由于平面上投影面

從而得到對于不是

xy型區(qū)域的情形,一般可用有限個(gè)光滑積為零,所以曲面將它分割成若干個(gè)

xy型區(qū)域來討論.例1

計(jì)算其中

S是邊長為

a的正立方體表面并取外側(cè).解應(yīng)用高斯公式,注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域

V

的體積的公式:例2計(jì)算其中為曲面上的部分,并取

上側(cè).解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面并取下側(cè),則構(gòu)成一封閉曲面.于是而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的

靜電場中,電場強(qiáng)度向外穿過任何包含在其內(nèi)

部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充分小的球面使全部

落在所包含的區(qū)域內(nèi)部,并將坐標(biāo)原點(diǎn)取在處.由電學(xué)知識,在點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為設(shè)其中易驗(yàn)證(參見圖22-8

)所以穿過的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑為的球體.在與所圍的空間區(qū)域上應(yīng)用高斯公式,其邊

界的外測是的外側(cè)和的內(nèi)側(cè).因?yàn)樗源┻^的電通量為二、斯托克斯公式先對雙側(cè)曲面

S的側(cè)與其邊界曲線

L的方向作如下規(guī)定:設(shè)有人站在

S上指定的一側(cè),若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€

L

的正向;若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的右方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€

L的負(fù)向.這個(gè)規(guī)定也稱為右手法則,如圖

22-9所示.定理22.4設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.證先證其中曲面

S由方程確定,它的正側(cè)法線方(3)

若

S